8.5: Simplificar expresiones racionales complejas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Simplifica una expresión racional compleja escribiéndola como división
Simplifique una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Si te pierdes algún problema, vuelve a la sección listada y revisa el material.

Simplificar:$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}}$.
Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 1.6.25.
Simplificar:$\frac{1−\frac{1}{3}}{4^2+4·5}$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.6.31.

Las fracciones complejas son fracciones en las que el numerador o denominador contiene una fracción. En el Capítulo 1 simplificamos fracciones complejas como estas:

\[\begin{array}{cc} {\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}}&{\frac{\frac{x}{2}}{\frac{xy}{6}}}\\ \nonumber \end{array}\]

En esta sección simplificaremos expresiones racionales complejas, que son expresiones racionales con expresiones racionales en el numerador o denominador.

Definición: Expresión racional compleja

Una expresión racional compleja es una expresión racional en la que el numerador o denominador contiene una expresión racional.

Aquí hay algunas expresiones racionales complejas:

$\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}$

$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}$

$\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}$
Recuerda, siempre excluimos valores que harían cero cualquier denominador.

Utilizaremos dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas.

Simplifique una expresión racional compleja escribiéndola como división

Ya hemos visto esta compleja expresión racional anteriormente en este capítulo.

$\frac{\frac{6x^2−7x+2}{4x−8}}{\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6}}$

Señalamos que las barras de fracciones nos dicen dividir, por lo que la reescribimos como el problema de la división

$(\frac{6x^2−7x+2}{4x−8})÷(\frac{2x^2−8x+3}{x^2−5x+6})$

Entonces multiplicamos la primera expresión racional por la recíproca de la segunda, tal como lo hacemos cuando dividimos dos fracciones.

Este es un método para simplificar las expresiones racionales. Lo escribimos como si estuviéramos dividiendo dos fracciones.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}$.

Responder

	$\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}$
Reescribir la fracción compleja como división.	$\frac{4}{y−3}÷\frac{8}{y^2−9}$
Reescribir como producto de primeras veces el recíproco del segundo.	$\frac{4}{y−3}·\frac{y^2−9}{8}$
Multiplicar.	$\frac{4(y^2−9)}{8(y−3)}$
Factor para buscar factores comunes.	$\frac{4(y−3)(y+3)}{8(y−3)}$
Simplificar.	$\frac{y+3}{2}$

¿Hay algún valor o valores de y que no se deban permitir? La expresión racional simplificada tiene apenas una constante en el denominador. Pero la compleja expresión racional original tenía denominadores de y−3 y$y^2−9$. Esta expresión sería indefinida si y=3 o y=−3

Ejemplo$\PageIndex{2}$

$\frac{\frac{2}{x^2−1}}{\frac{3}{x+1}}$.

Responder: $\frac{2}{3(x−1)}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

$\frac{\frac{1}{x^2−7x+12}}{\frac{2}{x−4}}$.

Responder: $\frac{1}{2(x−3)}$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}$.

Responder

	$.$
Simplifica el numerador y denominador.
Encuentra el LCD y suma las fracciones en el numerador. Encuentra la pantalla LCD y suma las fracciones en el denominador.	$.$
Simplifica el numerador y denominador.	$.$
Simplifica el numerador y denominador, otra vez.	$.$
Reescribir la expresión racional compleja como problema de división.	$.$
Multiplique los primeros tiempos por el recíproco del segundo.	$.$
Simplificar.	$.$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}+\frac{1}{12}}$.

Responder: $\frac{14}{11}$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

$\frac{\frac{3}{4}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}+\frac{5}{6}}$.

Responder: $\frac{10}{23}$

Cómo simplificar una expresión racional compleja escribiéndola como división

Ejemplo$\PageIndex{7}$

$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}$.

Responder: $La imagen de arriba tiene tres columnas. La imagen muestra pasos sobre cómo dividir expresiones racionales complejas en tres pasos. El primer paso es simplificar el numerador y el denominador. Simplificaremos la suma en el numerador y la diferencia en el denominador para el ejemplo 1 dividido por x más 1 dividido por y dividido por y dividido por y menos y dividido por x Encontrar un denominador común y sumar las fracciones en el numerador y encontrar un denominador común y restar las fracciones en el numerador para obtener 1 veces y dividido por x veces y más 1 veces x dividido por y veces x dividido por x veces x dividido por y veces x menos y veces y dividido por x veces y. Entonces, obtenemos y dividido por x y más x más x y dividido por x cuadrado dividido por x y menos y cuadrado dividido por x y. Ahora tenemos sólo una expresión racional en el numerador y uno en el denominador, y más x dividido por x y dividido por x al cuadrado menos y al cuadrado dividido por x y.$ $El segundo paso es reescribir la expresión racional compleja como problema de división. Escribimos el numerador dividido por el denominador.$ $El paso tres es dividir las expresiones. Multiplique el primero por el recíproco del segundo para obtener y más x dividido por x y veces x y dividido por x cuadrado menos y cuadrado. Facturar cualquier expresión si es posible. Ahora tenemos x y veces y más x dividido por x y veces x menos y por x más y. Eliminar factores comunes. Tache x, y e y más x del numerador. Tache x, y y x más y del denominador. Simplifica para obtener 1 dividido por x menos y.$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}$.

Responder: $\frac{y+x}{y−x}$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a^2}−\frac{1}{b^2}}$.

Responder: $\frac{ab}{b−a}$

Definición: SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN RACIONAL COMPLETA ESCRIBI

Simplifica el numerador y denominador.
Reescribir la expresión racional compleja como problema de división.
Dividir las expresiones.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

$\frac{n−\frac{4n}{n+5}}{\frac{1}{n+5}+\frac{1}{n−5}}$

Responder

	$.$
Simplifica el numerador y denominador.
Encuentra el LCD y suma las fracciones en el numerador. Encuentra la pantalla LCD y suma las fracciones en el denominador.	$.$
Simplifica los numeradores.	$.$
Restar las expresiones racionales en el numerador y sumar en el denominador.	$.$
Reescribir como división de fracciones.	$.$
Multiplicar las primeras veces el recíproco de la segunda.	$.$
Facturar cualquier expresión si es posible.	$.$
Eliminar factores comunes.	$.$
Simplificar.	$.$

Ejemplo$\PageIndex{11}$

$\frac{b−\frac{3b}{b+5}}{\frac{2}{b+5}+\frac{1}{b−5}}$.

Responder: b (b+2)

Ejemplo$\PageIndex{12}$

$\frac{1−\frac{3}{c+4}}{\frac{1}{c+4}+\frac{c}{3}}$.

Responder: 3c+3

Simplifique una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD

“Limpiamos” las fracciones multiplicando por la LCD cuando resolvimos ecuaciones con fracciones. Podemos usar esa estrategia aquí para simplificar expresiones racionales complejas. Multiplicaremos el numerador y denominador por LCD de todas las expresiones racionales.

Veamos la compleja expresión racional que simplificamos de una manera en Ejemplo. Lo simplificaremos aquí multiplicando el numerador y denominador por el LCD. Cuando$\frac{LCD}{LCD}$ multiplicamos por estamos multiplicando por 1, así el valor permanece igual.

Ejemplo$\PageIndex{13}$

Simplificar:$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}$.

Responder

	$.$
El LCD de todas las fracciones en toda la expresión es 6.
Despeja las fracciones multiplicando el numerador y el denominador por esa LCD.	$.$
Distribuir.	$.$
Simplificar.	$.$
	$.$
	$.$

Ejemplo$\PageIndex{14}$

Simplificar:$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{10}+\frac{1}{5}}$.

Responder: $\frac{7}{3}$

Ejemplo$\PageIndex{15}$

Simplificar:$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}−\frac{5}{16}}$.

Responder: $\frac{7}{3}$

Cómo simplificar una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD

Ejemplo$\PageIndex{16}$

Simplificar:$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{x}{y}−\frac{y}{x}}$.

Responder: $La imagen de arriba tiene 3 columnas. Muestra los pasos para simplificar una expresión racional compleja usando la LCD para 1 dividido por x más 1 dividido por y dividido por x dividido por y menos y dividido por x El primer paso es encontrar la LCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja. El LCD de todas las fracciones es x y Multiplica el numerador y el denominador por la LCD.$ $El paso dos es multiplicar tanto el numerador como el denominador por x y para obtener x y por 1 dividido por x más 1 dividido por y dividido x y por x dividido por y menos y dividido por x.$ $El paso tres es simplificar la expresión. Distribuir para obtener x y veces 1 dividido por x más x y veces 1 dividido y dividido por x y veces x dividido por y menos x y veces y dividido por x Simplificar para obtener y más x dividido por x al cuadrado menos y al cuadrado. Eliminar factores comunes. Tache y más x en el numerador. Tache x más y en el numerador. Simplifica para obtener 1 dividido por x menos y.$

Ejemplo$\PageIndex{17}$

Simplificar:$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{a}{b}−\frac{b}{a}}$.

Responder: $\frac{b+a}{a^2+b^2}$

Ejemplo$\PageIndex{18}$

Simplificar:$\frac{\frac{1}{x^2}−\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x}−\frac{1}{y}}$.

Responder: $\frac{y−x}{xy}$

Definición: SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN RACIONAL COMPLETA MEDIANTE EL

Encuentra el LCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja.
Multiplica el numerador y el denominador por el LCD.
Simplifica la expresión.

Asegúrese de comenzar factorizando todos los denominadores para que pueda encontrar el LCD.

Ejemplo$\PageIndex{19}$

Simplificar:$\frac{\frac{2}{x+6}}{\frac{4}{x−6}−\frac{4}{x^2−36}}$.

Responder

	$.$
Encuentra el LCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja. La pantalla LCD es (x+6) (x−6)
Multiplique el numerador y el denominador por el LCD.	$.$
Simplifica la expresión.
Distribuir en el denominador.	$.$
Simplificar.	$.$
Simplificar.	$.$
Para simplificar el denominador, distribuir y combinar términos similares.	$.$
Eliminar factores comunes.	$.$
Simplificar.	$.$
Observe que no hay más factores comunes al numerador y denominador.

Ejemplo$\PageIndex{20}$

Simplificar:$\frac{\frac{3}{x+2}}{\frac{5}{x−2}−\frac{3}{x^2−4}}$.

Responder: $\frac{3x−6}{5x+7}$

Ejemplo$\PageIndex{21}$

Simplificar:$\frac{\frac{2}{x−7}−\frac{1}{x+7}}{\frac{6}{x+7}−\frac{1}{x^2−49}}$.

Responder: $\frac{x+21}{6x+43}$

Ejemplo$\PageIndex{22}$

Simplificar:$\frac{\frac{4}{m^2−7m+12}}{\frac{3}{m−3}−\frac{2}{m−4}}$.

Responder

	$.$
Encuentra el LCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja. La pantalla LCD es (m−3) (m−4)
Multiplique el numerador y el denominador por el LCD.	$.$
Simplificar.	$.$
Simplificar.	$.$
Distribuir.	$.$
Combina términos similares.	$.$

Ejemplo$\PageIndex{23}$

Simplificar:$\frac{\frac{3}{x^2+7x+10}}{\frac{4}{x+2}+\frac{1}{x+5}}$.

Responder: $\frac{3}{5x+22}$

Ejemplo$\PageIndex{24}$

Simplificar:$\frac{\frac{4y}{y+5}+\frac{2}{y+6}}{\frac{3y}{y^2+11y+30}}$.

Responder: $\frac{6y+34}{3y}$

Ejemplo$\PageIndex{25}$

Simplificar:$\frac{\frac{y}{y+1}}{1+\frac{1}{y−1}}$.

Responder

	$.$
Encuentra el LCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja.
La pantalla LCD es (y+1) (y−1)
Multiplique el numerador y el denominador por el LCD.	$.$
Distribuir en el denominador y simplificar.	$.$
Simplificar.	$.$
Simplifica el denominador, y deja el numerador factorizado.	$.$
	$.$
Factorizar el denominador y eliminar los factores comunes con el numerador.	$.$
Simplificar.	$.$

Ejemplo$\PageIndex{26}$

Simplificar:$\frac{\frac{x}{x+3}}{1+\frac{1}{x+3}}$.

Responder: $\frac{x}{x+4}$

Ejemplo$\PageIndex{27}$

Simplificar:$\frac{1+\frac{1}{x−1}}{\frac{3}{x+1}}$.

Responder: $\frac{x(x+1)}{3(x−1)}$

Conceptos clave

Simplificar una expresión racional escribiéndola como división
1. Simplifica el numerador y denominador.
2. Reescribir la expresión racional compleja como problema de división.
3. Dividir las expresiones.
Para simplificar una expresión racional compleja mediante el uso de la pantalla LCD
1. Encuentra el LCD de todas las fracciones en la expresión racional compleja.
2. Multiplique el numerador y el denominador por el LCD.
3. Simplifica la expresión.

Glosario

expresión racional compleja: Una expresión racional compleja es una expresión racional en la que el numerador o denominador contiene una expresión racional.

	\(\frac{\frac{4}{y−3}}{\frac{8}{y^2−9}}\)
Reescribir la fracción compleja como división.	\(\frac{4}{y−3}÷\frac{8}{y^2−9}\)
Reescribir como producto de primeras veces el recíproco del segundo.	\(\frac{4}{y−3}·\frac{y^2−9}{8}\)
Multiplicar.	\(\frac{4(y^2−9)}{8(y−3)}\)
Factor para buscar factores comunes.	\(\frac{4(y−3)(y+3)}{8(y−3)}\)
Simplificar.	\(\frac{y+3}{2}\)

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