2.5: Encontrar factores desde las raíces

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Un método para resolver ecuaciones implica encontrar los factores de la expresión polinómica en la ecuación y luego establecer cada factor igual a cero.
\ [
\ begin {array} {c}
x^ {2} +8 x+15=0\\
(x+5) (x+3) =0\\
x+5=0\ quad x+3=0\\
x=-5\ quad x=-3
\ end {array}
\]
En este proceso, el razonamiento es que si\((x+5)\) veces \((x+3)\)es igual a cero, entonces una de esas expresiones debe ser igual a cero. Al establecerlos iguales a cero, encontramos las soluciones de\(x=-5,-3 .\) Plugging them back into the factorizado expression we see the following:
\ [
(-5+5) (-5+3) =0 *-2=0
\]
y
\ [
(-3+5) (-3+3) =2 * 0=0
\]
Este proceso también funciona a la inversa. Es decir, si conocemos una raíz de la función, podemos encontrar factores para la expresión.
Ejemplo
Encuentra una ecuación cuadrática que tenga raíces de -2 y +3
\ [
\ begin {array} {cc}
x=-2 & x=3\\
x+2=0 & x-3=0\\
(x+2) (x-3) =0\\
x^ {2} -x-6=0
\ end {array}
\]

Las raíces que son fracciones son un poco más complicadas, pero realmente no más difíciles:
Ejemplo
Encuentra una ecuación cuadrática que tenga raíces de -5 y\(\frac{2}{3}\)

\ [\ begin {array} {cc}
x=-5 & x=\ frac {2} {3}\\
x+5=0 & 3 x=2\\
x+5=0 & 3 x-2=0\\
(x+5) (3 x-2) =0\\
3 x^ {2} +13 x-10=0
\ end {array}
\]

Ejercicios 2.5
Encuentra una ecuación cuadrática que tenga las raíces indicadas.
1)\(\quad 4,-1\)
2)\(\quad -2,7\)
3)\(\quad \frac{3}{2}, 1\)
4)\(\quad-\frac{1}{5}, \frac{2}{3}\)
5)\(\quad \frac{1}{3}, 3\)
6)\(\quad-4, \frac{2}{5}\)
7)\(\quad \frac{1}{2},-\frac{7}{2}\)
8)\(\quad-1, \frac{3}{5}\)
9)\(\quad-\frac{2}{3},-3\)
10)\(\quad-\frac{2}{3},-\frac{3}{4}\)
11)\(\quad-\frac{5}{2}, 3\)
12)\(\quad-6,-2\)