3.2: Notación logarítmica

Un logaritmo es un exponente. A principios del\(1600^{\prime}\) s, el matemático escocés John Napier ideó un método para expresar números en términos de sus potencias de diez con el fin de simplificar el cálculo. desde el advenimiento de las calculadoras digitales, los métodos de cálculo utilizando logaritmos se han vuelto obsoletos, sin embargo el concepto de logaritmos sigue siendo utilizado en muchas áreas de las matemáticas.

La idea fundamental de la notación logarítmica es que es simplemente una reafirmación de una relación exponencial. La definición de un logaritmo dice:
\ [
\ log _ {b} n=x\ fila derecha b^ {x} =N
\]
La notación anterior se leería como “log a la base\(b\) de\(N\) iguales\(x\) significa que\(b\) a la\(x\) potencia es igual\(N . "\) En este nos centraremos principalmente en familiarizarnos con esta notación. En secciones posteriores, aprenderemos a utilizar este proceso para resolver ecuaciones.

Ejemplo
Expresar la sentencia dada usando notación exponencial:
\ [
\ log _ {2} 32=5
\]
Si\(\log _{2} 32=5,\) entonces\(2^{5}=32\)

Ejemplo
Expresar la declaración dada usando notación exponencial:
\(\log _{7} 4 \approx 0.7124\)
Si\(\log _{7} 4 \approx 0.7124,\) entonces\(7^{0.7124} \approx 4\)

Si la notación logaritmo aparece sin una base, generalmente se asume que la base debe ser 10

Ejemplo
Expresar la sentencia dada usando notación exponencial:
\ [
\ begin {array} {l}
\ log 100=2\\
\ text {If}\ log 100=2,\ text {then} 10^ {2} =100
\ end {array}
\]

La notación\(\ln N=x\) se usa típicamente para indicar un logrithm a la base\(e\). Esto significa que:
\ [
\ ln n=X\ fila derecha e^ {x} =N
\]

Ejemplo
Expresar la declaración dada usando notación exponencial:
\(\ln 15 \approx 2.708\)
Si\(\ln 15 \approx 2.708,\) entonces\(e^{2.708} \approx 15\)
En algunos casos, nos gustaría cambiar una declaración exponencial en una declaración logarítmica.

Ejemplo
Expresar la instrucción dada usando notación logarítmica:
\(12^{4}=20,736\)
Si\(12^{4}=20,736\) entonces\(\log _{12} 20,736=4\)

Ejemplo
Expresar la instrucción dada usando notación logarítmica:
\(10^{2.5} \approx 316.23\)
Si\(10^{2.5} \approx 316.23\) entonces\(\log 316.23 \approx 2.5\)

Ejemplo
Expresar la instrucción dada usando notación logarítmica:
\(e^{6} \approx 403.4\)
Si\(e^{6} \approx 403.4,\) entonces\(\ln 403.4 \approx 6\)

Ejercicios 3.2
Reescribir cada uno de los siguientes usando notación exponencial.
1)\(\quad t=\log _{5} 9\)
2)\(\quad h=\log _{7} 10\)
3)\(\quad \log _{5} 25=2\)
4)\(\quad \log _{6} 6=1\)
5)\(\quad \log 0.1=-1\)
6)\(\quad \log 0.01=-2\)
7)\(\quad \log 7 \approx 0.845\)
8)\(\quad \log 3 \approx 0.4771\)
9)\(\quad \log _{2} 35 \approx 5.13\)
10)\(\quad \log _{12} 50 \approx 1.5743\)
11)\(\quad \ln 0.25 \approx-1.3863\)
12)\(\quad \ln 0.989 \approx-0.0111\)

Reescribe cada uno de los siguientes usando notación logarítmica.
13)\(\quad 10^{2}=100\)
14)\(\quad 10^{4}=10,000\)
15)\(\quad 4^{-5}=\frac{1}{1024}\)
16)\(\quad 5^{-3}=\frac{1}{125}\)
17)\(\quad 16^{\frac{3}{4}}=8\)
18)\(\quad 8^{\frac{1}{3}}=2\)
19)\(\quad 10^{1.3} \approx 20\)
20)\(\quad 10^{0.301}=2\)
21)\(\quad e^{3} \approx 20.0855\)
22) \(\quad e^{2} \approx 7.3891\)
23)\(\quad e^{-4} \approx 0.0183\)
24)\(\quad e^{-2} \approx 0.1353\)