3.3: Resolver ecuaciones exponenciales

Debido a que los logaritmos son exponentes, las reglas para trabajar con logaritmos son similares a las que rigen las expresiones exponenciales. Una regla de igualdad muy útil para trabajar con logaritmos está relacionada con la regla exponencial para elevar un poder a un poder. Recordamos una de las reglas de los exponentes como:
\ [
\ left (b^ {x}\ right) ^ {y} =b^ {x * y}
\]
en otras palabras
\ [
\ left (5^ {2}\ right) ^ {4} =\ left (5^ {2}\ right)\ left (5^ {2}\ right)\ left (5^ {2}\ right) left\ (5^ {2}\ derecha) =5^ {2 * 4} =5^ {8}
\]
En notación logarítmica, esta regla funciona como:
\ [
\ log _ {b} M^ {p} =p *\ log _ {b} M
\]
La razón de esto proviene de la regla para exponentes. Digamos que\(\log _{b} M=x\)
Entonces:
\ [
\ log _ {b} M=X
\]
esto significa que
\ [
b^ {x} =M
\]
y
\ [
\ begin {array} {c}
\ left (b^ {x}\ derecha) ^ {p} = (M) ^ {p}\\
\ text {so}\\
b^ {p * x} =M^ {p}
\ end {array}
\]

Ahora, volvemos a la cuestión de\(\log _{b} M^{p}=?\). Esta expresión\(\left(\log _{b} M^{p}\right)\) está haciendo la pregunta “¿A qué poder\(b\) elevamos para obtener una respuesta de
\(M^{p} ?\) El resultado de la página anterior muestra que:
\ [
b^ {p x} =M^ {p}
\]
Esto quiere decir que debemos plantear\(b\) al\(p x\) poder de obtener una respuesta de\(M^{p}\). Recuerda que\(x=\log _{b} M .\) Esto significa que:
\ [
\ begin {array} {c}
b^ {p x} =M^ {p}\\
\ text {so}\\
\ log _ {b} M^ {p} =p x=p *\ log _ {b} M
\ end {array}
\]
Esta declaración de igualdad es útil si estamos tratando de resolver ecuaciones en las que la variable es un exponente.
Ejemplo
Resolver para\(x\)
\ [
4^ {x} =53
\]
Comenzamos tomando un logaritmo en ambas ecuaciones. Así como podemos sumar a ambos lados de una ecuación, o multiplicar en ambos lados de una ecuación, o elevar ambos lados de una ecuación a una potencia, también podemos tomar el logaritmo de ambos lados. Siempre y cuando dos cantidades sean iguales, entonces sus logaritmos también serán iguales.
\ [
\ begin {alineado}
4^ {x} &=53\\
\ log 4^ {x} &=\ log 53\\
x\ log 4 &=\ log 53\\
x &=\ frac {\ log 53} {\ log 4}\ approx 2.864
\ end {alineado}
\]

ya que la base logarítmica 10 y la base logarítmica\(e\) están programadas en la mayoría de las calculadoras, estas son las bases más utilizadas para logaritmos
Ejemplo
Resolver para\(x\)
\ [
5^ {2 x+3} =17
\]
Comenzamos este problema de la misma manera, pero esta vez usaremos un logaritmo a la base\(e:\)
\ [
\ begin {array} {c}
5 ^ {2 x+3} =17\\
\ ln 5^ {2 x+3} =\ ln 17\\
(2 x+3)\ ln 5=\ ln 17
\ end {array}
\]
Existen varias posibilidades para terminar el problema desde este punto. Nos centraremos en dos de ellos que son los más útiles para resolver problemas más complejos. Primero, distribuiremos el\(\ln 5\) entre paréntesis y luego obtendremos el\(x\) por sí mismo.

\ [
\ comenzar {alineado}
(2 x+3)\ ln 5 &=\ ln 17\\
x * 2\ ln 5+3\ ln 5 &=\ ln 17\
-3\ ln 5 &=-3\ ln 5\\
x * 2\ ln 5 &=\ ln 17-3\ ln 5\ ln 5\\
x &=\ frac {\ ln 17-3\ ln 5} {2\ ln 5}\ aprox-0.620
\ end { alineado}
\]
Y podemos verificar la respuesta enchufándola de nuevo:
\ [
5^ {2 * (-0.0620) +3}\ approx 5^ {1.760}\ approx 16.9897\ approx 17
\]

También podemos aproximar los logaritmos en el problema y resolver para una respuesta aproximada:
\ [
\ begin {aligned}
(2 x+3)\ ln 5 &=\ ln 17\\
x * 2\ ln 5+3\ ln 5 &=\ ln 17\\
3.2189 x+4.8283 &\ aprox 2.8332\\
-4.8283 &\ approx-4.8283\\
3.2189 x &\ approx-1.9951\\
x &\ approx-0.620

\ end {alineado}\]
Si usas el método de aproximación, es importante hacer una buena aproximación. Al menos los\(4-5\) decimales son necesarios para una respuesta precisa.
Veamos un ejemplo que tiene variables en ambos lados de la ecuación:

Ejemplo
Resolver para\(x\)
\ [
4^ {3 x} =9^ {2 x-1}
\]
Utilizaremos log base 10 en este problema.
\ [
\ begin {alineado}
4^ {3 x} &=9^ {2 x-1}\\
\ log 4^ {3 x} &=\ log 9^ {2 x-1}\\
3 x *\ log 4 & =( 2 x-1)\ log 9\\
x * 3\ log 4 &=x * 2\ log 9-\ log 9\ log 9
\ end {alineado}
\]

Si recogemos términos similares, terminaremos con:
\ [
\ begin {aligned}
x * 3\ log 4 &=x * 2\ log 9-\ log 9\\ log 9
\\ log 9 &=x * 2\ log 9-x * 3
\ log 4\ end {aligned}
\]
En este punto, si queremos obtener el \(x\)por sí mismo, necesitamos factorizar el\(x\) en el lado derecho:
\ [
\ begin {array} {l}
\ log 9=x * 2\ log 9-x * 3\ log 4\\
\ log 9=x (2\ log 9-3\ log 4)
\ end {array}
\]

Luego divide en ambos lados por el coeficiente entre paréntesis:
\ [
\ frac {\ log 9} {2\ log 9-3\ log 4} =\ frac {x\ cancel {(2\ log 9-3\ log 4)}} {\ cancel {2\ log 9-3\ log 4}}\
\\ frac {\ log 9} {2\ log 9-3\ log 4} =x\
9.327\ aprox x
\]
Nuevamente, podemos verificar nuestra respuesta enchufándola de nuevo a la ecuación:
\ [
4^ {3 * 9.327}\ approx 4^ {27.981}\ aprox 7.0184 * 10^ {16}
\]
\ [
9^ {2 * 9.327-1}\ approx 9^ {17.654}\ approx 7.0177 * 10^ {16}
\]

También podríamos haber resuelto esta ecuación aproximando los logaritmos al principio.
\ [
\ begin {alineado}
4^ {3 x} &=9^ {2 x-1}\
\ log 4^ {3 x} &=\ log 9^ {2 x-1}\\
3 x *\ log 4 & =( 2 x-1)\ log 9\\
3 x (0.60206) &\ approx (2 x-1) 0.95424\\
1.80618 x &\ aprox 1.9085 0.95424\\
0.95424 &\ approx 0.10232 x\\
9.326 &\ approx x
\ end {aligned}
\]
Esta respuesta es menos precisa que la otra aproximación\((9.326036 \text { vs. } 9.327424)\) La precisión de una respuesta depende de las aproximaciones originales para los logaritmos.

Resolver para la variable indicada.
1)\(\quad 2^{x}=5\)
2)\(\quad 2^{x}=9\)
3)\(\quad 3^{x}=7\)
4)\(\quad 3^{x}=20\)
5)\(\quad 2^{x+1}=6\)
6)\(\quad 7^{x+1}=41\)
7)\(\quad 5^{x+1}=36\)
8)\(\quad 8^{x-2}=6\)
9)\(\quad 4^{2 x+3}=50\)
10)\(\quad 4^{x+2}=5^{x}\)
11)\(\quad 5^{2 x+1}=9\)
12)\(\quad 6^{x+4}=10^{x}\)
13)\(\quad 7^{y+1}=3^{y}\)
14)\(\quad 2^{x+1}=3^{x-2}\)
15)\(\quad 6^{y+2}=5^{y}\)
16)\(\quad 7^{x-3}=3^{x+1}\)
17)\(\quad 6^{2 x+1}=5^{x+2}\)
18)\(\quad 9^{1-x}=12^{x+1}\)
19)\(\quad 5^{2 x-1}=3^{x-3}\)
20)\(\quad 3^{x-2}=4^{2 x+1}\)
21)\(\quad 8^{3 x-2}=9^{x+2}\)
22)\(\quad 2^{2 x-3}=5^{-x-1}\)
23)\(\quad 10^{3 x+2}=5^{x+3}\)
24)\(\quad 5^{3 x}=3^{x+4}\)
25)\(\quad 3^{x+4}=2^{1-3 x}\)
26)\(\quad 4^{2 x+3}=5^{x-2}\)
27)\(\quad 3^{2-3 x}=4^{2 x+1}\)
28)\(\quad 2^{2 x-3}=5^{x-2}\)