3.4: Resolver ecuaciones logarítmicas

En la sección anterior, tomamos ecuaciones exponenciales y utilizamos las propiedades de logaritmos para reformularlas como ecuaciones logarítmicas. En esta sección, tomaremos ecuaciones logarítmicas y usaremos propiedades de logaritmos para reformularlas como ecuaciones exponenciales. En la sección anterior, utilizamos la propiedad de logaritmos que decía\(\log _{b} M^{p}=p \log _{b} M .\) En esta sección, haremos uso de dos propiedades adicionales de logaritmos:
\ [
\ log _ {b} (M * N) =\ log _ {b} M+\ log _ {b} N
\]
y
\ [
\ log _ {b} \ frac {M} {N} =\ log _ {b} M-\ log _ {b} N
\]
Así como nuestra propiedad anterior de logaritmos era simplemente una redefinición de las reglas de los expoenents, estas dos propiedades de logaritmos también dependen de las reglas de los exponentes. ya que nos interesa\(\log _{b} M\) y\(\log _{b} N,\) vamos a reafirmar estos en términos de exponentes:
Si\(\log _{b} M=x\) entonces\(b^{x}=M\) y si\(\log _{b} N=y\) entonces\(b^{y}=N\)
Las propiedades de logaritmos que nos interesa justificar tienen que ver\(M * N\) y\(\frac{M}{N},\) así veamos esas expresiones en términos de exponentes:
\ [
\ begin {array} {c}
M * n=b^ {x} * b^ {y} =b^ {x+y}\\
\ texto {y}\\
\ frac {M} {N} =\ frac {b^ {x}} {b^ {y}} =b^ {x-y}
\ final {array}
\]

Si nos interesa\(\log _{b}(M * N),\) entonces estamos haciendo la pregunta “¿A qué poder elevamos\(b\) para conseguir\(M * N ? "\) Podemos ver arriba que elevarnos\(b\) al\(x+y\) poder nos da\(M * N .\) desde\(y=\log _{b} N\) entonces\(x=\log _{b} M\) y entonces\(x+y=\)\(\log _{b} M+\log _{b} N,\) así:
\ [
\ log _ {b} (M * N) =x+y=\ log _ {b} M+\ log _ {b} N
\]
Así mismo, si\(\log _{b} \frac{M}{N},\) nos interesa nos estamos haciendo la pregunta “¿A qué poder\(b\) elevamos para llegar\(\frac{M}{N} ? "\) ya que elevarnos\(b\) al\(x-y\) poder nos da\(\frac{M}{N}\) y\(x-y=\log _{b} M-\log _{b} N,\) luego:
\ [
\ log _ {b}\ frac {M} {N} =x-y=\ log _ {b} M-\ log _ {b} N
\]

Veamos un ejemplo para ver cómo usaremos esto para resolver ecuaciones:

Ejemplo
Resolver para\(x\)

\ [\ log _ {2} x+\ log _ {2} (x-4) =2
\]
Lo primero que podemos hacer aquí es combinar las dos sentencias logarítmicas en una. desde\(\log _{b}(M * N)=\log _{b} M+\log _{b} N,\) entonces\(\log _{2} x+\log _{2}(x-4)=\log _{2}[x(x-4)]\)
\ [
\ begin {aligned}
\ log _ {2} x+\ log _ {2} (x-4) &=2\\
\ log _ {2} [x (x-4)] &=2
\ end {alineado}
\]
Luego reformularemos la relación logarítmica resultante como una relación exponencial:
\ [
\ begin { alineado}
2^ {2} &=x (x-4)\\
4 &=x^ {2} -4 x\\
0 &=x^ {2} -4 x-4\\
4.828, -0.828 &\ x aprox
\ final {alineado}
\]

La mayoría de los libros de texto rechazan respuestas que resultan en tomar el logaritmo de un número negativo, como sería el caso de\(x \approx-0.828 .\) Sin embargo, los logaritmos de números negativos dan como resultado respuestas complejas valoradas, en lugar de una cantidad indefinida. Por esa razón, en este texto, incluiremos todas las respuestas.

Si un problema involucra una diferencia de logaritmos, podemos usar la otra propiedad de logaritmos introducida en esta sección.
Ejemplo
Resolver para\(x\)

\ [\ log (5 x-1) -\ log (x-2) =2
\]
Nuevamente, nuestro primer paso es reafirmar la diferencia de logaritmos usando la propiedad\(\log _{b} \frac{M}{N}=\log _{b} M-\log _{b} N:\)
\ [
\ begin {aligned}
\ log (5 x-1) &-\ log (x-2) =2\\
\ log\ left [\ frac {5 x-1} {x-2}\ right] &=2
\ end {aligned}
\]
Estamos trabajando con un logaritmo en base 10 en este problema, así que en nuestro siguiente paso diremos:
\ [
\ begin {array} {c}
\ log\ left [\ frac {5 x-1} {x-2}\ derecha] =2\\
\ frac {5 x-1} {x-2} =10^ {2}
\ end {array}
\]

Luego multiplica en ambos lados por\(x-2\)
\ [
\ begin {array} {c}
10^ {2} =\ frac {5 x-1} {x-2}\\
(x-2) * 100=\ frac {5 x-1} {\ cancel {(x-2)}} *\ cancel {(x-2)}
\ end {array}
\]

Y, resuelve para\(x\)
\ [
\ begin {array} {c}
100 x-200=5 x-1\\
95 x=199\\
x=\ frac {199} {95}
\ end {array}
\]
En algunas ecuaciones, todos los términos se establecen usando logartihms. Estas ecuaciones suelen salir en una forma que dice\(\log _{b} x=\log _{b} y .\) Si este es el caso, entonces podemos concluir que\(x=y\)

Parece razonable que si el exponente\(b\) al que elevamos para conseguir\(x\) es el mismo exponente\(b\) al que elevamos para poder llegar\(y,\) entonces\(x\) y\(y\) son lo mismo.
Supongamos:

\ [\ log _ {b} x=\ log _ {b} y
\]
entonces
\ [
b^ {a} =x\ text {y} b^ {a} =y
\]
si ambos\(x\) y\(y\) son iguales a\(b^{a},\) entonces\(x=y\)

Ejemplo
Resolver para\(x\)
\(\log _{5}(4-x)=\log _{5}(x+8)+\log _{5}(2 x+13)\)

Primero, usemos las propiedades de logaritmos para reformular la ecuación de manera que solo haya un logaritmo en cada lado.
\ [
\ begin {array} {l}
\ log _ {5} (4-x) =\ log _ {5} (x+8) +\ log _ {5} (2 x+13)\
\ log _ {5} (4-x) =\ log _ {5} [(x+8) (2 x+13)]
\ end {array}
\]
Entonces, usaremos la propiedad de logarismo ritmos que acabamos de discutir:
\ [
\ text {Si}\ log _ {b} x=\ log _ {b} y
\]
entonces
\ [
\ begin {array} {c}
x=y\
\ log _ {5} (4-x) =\ log _ {5} [(x+8) (2 x+13)]\\
4-x =( x+8) (2 x+13)\
0=2 x^ {2} +29 x+104\\
0=2 (x+5) (x+10)\\
-5, -10=x
\ fin {matriz}
\]

Ejercicios 3.4

Resuelve para la variable indicada en cada ecuación.
1)\(\quad \log _{3} 5+\log _{3} x=2\)
2)\(\quad \log _{4} x+\log _{4} 5=1\)
3)\(\quad \log _{2} x=2+\log _{2} 3\)
4)\(\quad \log _{5} x=2+\log _{5} 3\)
5)\(\quad \log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2\)
6)\(\quad \log _{6} x+\log _{6}(x-5)=1\)
7)\(\quad \log (3 x+2)=\log (x-4)+1\)
8)\(\quad \log (x-1)-\log x=-0.5\)
9)\(\quad \log _{2} a+\log _{2}(a+2)=3\)
10)\(\quad \log _{3} x+\log _{3}(x-2)=1\)
11)\(\quad \log _{2} y-\log _{2}(y-2)=3\)
12)\(\quad \log _{2} x-\log _{2}(x+3)=2\)
13)\(\quad \log _{3} x+\log _{3}(x+4)=2\)
14)\(\quad \log _{4} u+\log _{4}(u+1)=1\)
15)\(\quad \log 5+\log x=\log 6\)
16)\(\quad \ln x+\ln 4=\ln 2\)
17)\(\quad \log _{7} x-\log _{7} 12=\log _{7} 2\)
18)\(\quad \log 2-\log x=\log 8\)
19)\(\quad \log _{3} x-\log _{3}(x-2)=\log _{3} 4\)
20)\(\quad \log _{6} 2-\log _{6}(x-2)=\log _{6} 9\)
21)\(\quad \log _{4} x-\log _{4}(x-4)=\log _{4}(x-6)\)
22)\(\quad \log _{9}(2 x+7)-\log _{9}(x-1)=\log _{9}(x-7)\)
23)\(\quad 2 \log _{2} x=\log _{2}(2 x-1)\)
24)\(\quad 2 \log _{4} y=\log _{4}(y+2)\)
25)\(\quad 2 \log (x-3)-3 \log 2=1\)
26)\(\quad 2 \log _{5} 7-\log _{5}(x+1)=\log _{5}(2 x-5)\)