3.5: Aplicaciones de la función exponencial negativa

Al inicio del Capítulo\(3,\) trabajamos con problemas de aplicación y los resolvimos usando la calculadora gráfica. En esta sección, revisaremos algunos de estos problemas de aplicación y utilizaremos los métodos de solución discutidos en las secciones anteriores para resolver estos problemas algebraicamente.
Desintegración radiactiva
La desintegración de un elemento radiactivo en su forma no radiactiva ocurre siguiendo una línea de tiempo dictada por la “vida media” del elemento.. La vida media es la cantidad de tiempo que tarda la mitad del material radiactivo existente en descomponerse a su forma no radiactiva.
Considera la ecuación:
\ [
A (t) =A_ {0} e^ {-k t}
\]
donde\(A(t)\) está la cantidad de material que queda en el tiempo\(t, A_{0}\) es la cantidad presente en\(t=0,\) y\(k\) es una constante que se puede determinar en función de la vida media de el material.

Si sabemos que después de una vida media, habrá voluntad\(50 \%\) del material radiactivo restante, entonces podemos decir que:
\ [
0.5 A_ {0} =A_ {0} e^ {-k t_ {h}}
\]

donde\(t_{h}\) está la vida media. Para resolver esta ecuación para primero\(k,\) dividiríamos en ambos lados por\(A_{0}:\)
\ [
\ begin {array} {c}
\ frac {0.5 A_ {0}} {A_ {0}} =\ frac {A_ {0} e^ {-k t_ {h}}} {A_ {0}}\\
0.5=e^ {-k t_ {h}}
\ end {array}
\]

Luego toma el logaritmo natural de ambos lados y baja el exponente delante de la expresión como coeficiente:
\ [
\ begin {aligned}
0.5 &=e^ {-k t_ {h}}\\
\ ln (0.5) &=\ ln\ left (e^ {-k t_ {h}}\ right)\\
\ ln (0.5) &=-k t_ {h} * \ ln (e)\\
\ ln (0.5) &=-k t_ {h} * 1\\
-\ frac {\ ln (0.5)} {t_ {h}} &=k
\ end {alineado}
\]
El valor de se\(k\) puede usar entonces en la ecuación\(A(t)=A_{0} e^{-k t}\) para determinar la cantidad de material que queda después de cualquier tiempo\(t\)

Ejemplo
El isótopo Gold-198\(\left(^{198} \mathrm{Au}\right)\) es un tipo de oro que a veces se usa en aplicaciones médicas y tiene una vida media de 2.7 días. ¿Cuánto de una muestra de 65 gramos\(^{198} \mathrm{Au}\) quedará después de 6 días? ¿Cuánto tiempo tardaría en quedar 10 gramos?
Si conocemos la vida media, podemos calcular el valor de la constante\(k\)
\ [
\ begin {array} {l}
k=-\ frac {\ ln (0.5)} {t_ {h}}\\
k=-\ frac {\ ln (0.5)} {2.7}\\
k\ approx 0.2567
\ end {array}
\ ]

Ahora que conocemos el valor de\(k\), podemos calcular directamente la cantidad de\(^{198} \mathrm{Au}\) izquierda después de 6 días:
\ [
\ begin {aligned}
A (t) &=A_ {0} e^ {-k t}\\
&=65 e^ {-0.2567 * 6}\\
&\ aprox 13.932
\ end {alineado}
\]
Entonces, aproximadamente 13.932 gramos de\(^{198}\) Au quedarían después de 6 días.
Para calcular cuánto tiempo tardan 10 gramos de\(^{198}\) Au en quedar, tendremos que resolver para\(t\) en la ecuación\(A(t)=A_{0} e^{-k t}\) con\(A(t)=10:\)
\ [
\ begin {aligned}
A (t) &=A_ {0} e^ {-k t}\\
10 &=65 e^ {-0} e^ {-0 .2567 t}
\ end {alineado}
\]
Primero, dividiremos en ambos lados por 65
\ [
\ begin {array} {l}
\ frac {10} {65} =\ frac {65 e^ {-0.2567 t}} {65}\
\ frac {10} {65} =e^ {-0.2567 t}
\ end {array}
\]

Luego, toma el logaritmo natural en ambos lados:
\ [
\ ln\ izquierda (\ frac {10} {65}\ derecha) =\ ln\ izquierda (e^ {-0.2567 t}\ derecha)
\]

Calcularemos un valor aproximado para\(\ln \left(\frac{10}{65}\right)\) y reformularemos el lado derecho de la ecuación usando las propiedades de logaritmos:
\ [
\ begin {aligned}
-1.872 &\ aprox-0.2567 t *\ ln e\\
-1.872 &\ aprox-0.2567 t * 1\\
-1. 872 &\ aprox-0.2567 t\\
7.3 &\ approx t
\ end {alineado}
\]
Entonces, tardarían alrededor de 7.3 días para que los 65 gramos de\(^{198}\) Au se descompongan a 10 gramos.

Ley de enfriamiento de
Newton La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura de un objeto se puede determinar usando la ecuación:
\ [
T=T_ {a} +C e^ {-k t}
\]
donde\(T_{a}\) está la temperatura ambiente del entorno circundante. Los valores de las constantes\(C\) y a menudo se\(k\) pueden calcular a partir de la información dada.

Ejemplo
Una botella de refresco a temperatura ambiente\(\left(72^{\circ} \mathrm{F}\right)\) se coloca en un refrigerador donde la temperatura es\(44^{\circ} \mathrm{F}\)

Después de media hora, el refresco se ha enfriado a\(61^{\circ} \mathrm{F}\). ¿Cuál es la temperatura del refresco después de otra media hora?

Primero, ya que el refresco se coloca en el refrigerador donde está la temperatura ambiente\(44^{\circ} \mathrm{F},\) entonces También\(T_{a}=44 .\) sabemos que a\(t=0, T=72,\) cuál está la temperatura de la lata de refresco cuando se pone por primera vez en el refrigerador. Esto nos permitirá calcular la constante\(C\).

\ [
\ begin {aligned}
T &=T_ {a} +C e^ {-k t}\\
72 &=44+C e^ {-k * 0}\\
72 &=44+C e^ {0} =44+C * 1\\
72 &=44+C\\
28 &=C
\ end {alineado}
\]
Ahora sabemos que \(T_{a}=44\)y\(C=28 .\) Podemos utilizar la otra pieza de información del problema para calcular el valor de\(k .\) El problema establece que después de 30 minutos el refresco se ha enfriado a\(61^{\circ} \mathrm{F}\). Eso significa que cuando\(t=30\) (o\(t=0.5\) dependiendo de las unidades que elija) la temperatura\(T\) será\(61^{\circ} \mathrm{F}\). Luego podemos configurar la ecuación para reflejar esto y calcular la vlaue de\(k:\)
\ [
\ begin {array} {l}
T=44+28 e^ {-k t}\\
61=44+28 e^ {-k * 30}
\ end {array}
\]

Primero, restaremos 44 en ambos lados y dividiremos por 28:
\ [
\ begin {array} {l}
61=44+28 e^ {-k * 30}\\
17=28 e^ {-30 k}\\
\ frac {17} {28} =e^ {-30 k}
\ end {array}
\]

Ahora, tomaremos el logaritmo natural en ambos lados para sacar el\(-30 k\) abajo del exponente:
\ [
\ begin {array} {l}
\ ln\ left (\ frac {17} {28}\ right) =\ ln\ left (e^ {-30 k}\ right)\
\ ln\ left (\ frac {17} {28}\ right) =-30 k *\ ln e\
-0.499\ aprox-30 k\\
0.01663\ approx k
\ end {array}
\]
Ahora, tenemos la fórmula completa para calcular la temperatura en este escenario:
\ [
T=44+28 e^ {-0.01663 t}
\]

Para saber qué sucede después de 60 minutos, simplemente podemos enchufar 60 para\(t\)
\ [
\ begin {array} {l}
T=44+28 e^ {-0.01663 t}\\
T=44+28 e^ {-0.01663\ cdot 60}\\
T=44+28 e^ {-0.9978}\\
T\ approx 44+28 * 0.3687\\
T\ approx 44+10.3236\ aprox 54.3^ {\ circ}\ mathrm {F}
\ end {array}
\]

Ejercicios 3.5
1) Si la vida media del cesio radiactivo- 137 es de 30 años, encuentra el valor de\(k\) en la ecuación\(A(t)=A_{0} e^{-k t}\)
a) Dada una muestra de 10 gramos de cesio-137, ¿cuánto quedará después de 80 años?
b) ¿Cuánto tiempo tardará en quedar solo 2 gramos de cesio-137?
2) La vida media para el torio radiactivo- 234 es de aproximadamente 25 días. Usa esto para encontrar el valor de\(k\) en la ecuación\(A(t)=A_{0} e^{-k t}\)
a) ¿Cuánto de una muestra de 40 gramos quedará después de 60 días?
b) ¿Después de cuánto tiempo quedarán solo 10 gramos de torio- 234?
3) Dada una muestra de estroncio-90, se sabe que después de 18 años\(32 \mathrm{mg}\) quedan y después de 65 años\(10 \mathrm{mg}\) quedan. Utilice esta información para conocer la cantidad de estroncio-90 en la muestra para empezar, y también determinar la vida media del estroncio-90.
4)\(\quad\) Una muestra de 12 mg de polonio radiactivo se descompone\(7.26 \mathrm{mg}\) en 100 días.
a) ¿Cuál es la vida media del polonio?
b) ¿Cuánto de la muestra de 12 mg queda después de 180 días?

5) Un plato caliente de sopa se sirve en una cena. Comienza a enfriarse de acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton para que su temperatura en el tiempo\(t\) viene dada por:
\ [
y=65+145 e^ {-0.05 t}
\]
donde\(t\) se mide en minutos y\(y\) se mide en grados Fahrenheit.
a) ¿Cuál es la temperatura inicial de la sopa?
b) ¿Cuál es la temperatura después de 10 minutos?
c) Después de cuánto tiempo será la temperatura\(100^{\circ} ?\)
6) La Ley de Enfriamiento de Newton se utiliza en las investigaciones de homicidios para determinar la hora de la muerte. La temperatura corporal normal es\(98.6^{\circ} \mathrm{F}\). Inmediatamente después de la muerte, el cuerpo comienza a enfriarse. Este proceso utiliza la Ley de Enfriamiento de Newton:
\ [
y=t_ {a} +C e^ {-k t}
\]
Si la temperatura ambiente es\(60^{\circ},\) y el cuerpo se ha enfriado a\(72^{\circ} \mathrm{F}\) después de 6 horas, utilice esta información para determinar el valor de\(k\) en la ecuación.

7) La policía descubre el cuerpo de una víctima de homicidio. Crítico para resolver el delito es determinar cuándo se cometió el asesinato. El forense llega a la escena del crimen a las 12 del mediodía. Inmediatamente toma la temperatura del cuerpo y la encuentra\(94.6^{\circ} \mathrm{F}\). Luego toma la temperatura 1.5 horas después y encuentra que así es\(93.4^{\circ} \mathrm{F}\). Si la temperatura de la habitación es\(70^{\circ} \mathrm{F}\), ¿cuándo se cometió el asesinato?

8) Un pavo asado se toma del horno cuando su temperatura ha alcanzado
\(185^{\circ} \mathrm{F}\) y se coloca sobre una mesa en una habitación donde la temperatura es\(75^{\circ} \mathrm{F}\)
a) Si la temperatura del pavo es\(150^{\circ} \mathrm{F}\) después de 30 minutos, ¿cuál es su temperatura después de 45 minutos?
b) ¿Cuándo se enfriará el pavo\(100^{\circ} \mathrm{F}\)?

9) Una tetera llena de agua se lleva a ebullición en una habitación con una temperatura ambiente de\(20^{\circ} \mathrm{C}\). Después de 15 minutos, la temperatura del agua ha disminuido de\(100^{\circ} \mathrm{C}\) a\(75^{\circ} \mathrm{C} .\) Encontrar una ecuación usando la Ley de Enfriamiento de Newton para representar a la temperatura en el tiempo\(t .\) Encuentra la temperatura del agua después de 25 minutos.

10)\(\quad\) Una taza de café con una temperatura de\(105^{\circ} \mathrm{F}\) se coloca en un congelador con una temperatura de\(0^{\circ} \mathrm{F}\). Después de 5 minutos, la temperatura del café es\(70^{\circ} \mathrm{F}\). Encuentra una ecuación usando la Ley de Enfriamiento de Newton para representar a la temperatura en el momento\(t\) ¿Cuál será la temperatura en 10 minutos?