6.2: Secuencias aritméticas y geométricas

Dos tipos comunes de secuencias matemáticas son las secuencias aritméticas y las secuencias geométricas. Una secuencia aritmética tiene una diferencia constante entre cada par de términos consecutivos. Esto es similar a las funciones lineales que tienen la forma\(y=m x+b .\) Una secuencia geométrica tiene una relación constante entre cada par de términos consecutivos. Esto crearía el efecto de un multiplicador constante.

Ejemplos Secuencia

Aritmética:
\(\{5,11,17,23,29,35, \dots\}\)
Observe aquí la diferencia constante es 6. Si quisiéramos escribir un término general para esta secuencia, existen varios enfoques. Un enfoque es tomar la diferencia constante como coeficiente para el\(n\) término:\(a_{n}=6 n+?\) Entonces solo necesitamos rellenar el signo de interrogación con un valor que coincida con la secuencia. Podríamos decir para la secuencia: También
\(\{5,11,17,23,29,35, \dots\}\)
\(a_{n}=6 n-1\)
hay una fórmula que puedes memorizar que dice que cualquier secuencia aritmética con una diferencia constante\(d\) se expresa como:
\(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)
Observe que si enchufa los valores de nuestro ejemplo, obtenemos la misma respuesta que antes:
\(a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)
\(a_{1}=5, d=6\)
Entonces,\(a_{1}+(n-1) d=5+(n-1) * 6=5+6 n-6=6 n-1\)
o\(a_{n}=6 n-1\)
Si los términos de una secuencia aritmética son cada vez más pequeños, entonces la diferencia constante es negativa número.
\(\{24,19,14,9,4,-1,-6, \dots\}\)
\(a_{n}=-5 n+29\)

Secuencia geométrica
En una secuencia geométrica siempre hay un multiplicador constante. Si el multiplicador es mayor que\(1,\) entonces los términos se harán más grandes. Si el multiplicador es menor que\(1,\) entonces los términos se harán más pequeños.
\(\{2,6,18,54,162, \dots\}\)
Observe en esta secuencia que hay un multiplicador constante de\(3 .\) Esto significa que 3 debe elevarse a la potencia de\(n\) en la expresión general para la secuencia. El hecho de que estos no sean múltiplos de 3 significa que debemos tener un coeficiente antes del\(3^{n}\)
\(\{2,6,18,54,162, \dots\}\)
\(a_{n}=2 * 3^{n-1}\)
Si los términos son cada vez más pequeños, entonces el multiplicador estaría en el denominador:
\(\{50,10,2,0.4,0.08, \dots\}\)
Aviso aquí que cada término se inicia dividido por 5 (o multiplicado por\(\frac{1}{5}\)).
\(\{50,10,2,0.4,0.08, \ldots .\}\)
\(a_{n}=\frac{50}{5^{n-1}}\)o\(a_{n}=\frac{250}{5^{n}}\) o\(a_{n}=50 *\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}\) y así sucesivamente

Ejercicios 6.2
Determinar si cada secuencia es aritmética, geométrica o ninguna.
Si es aritmética, determinar la diferencia constante.
Si es geométrica determinar la relación constante.
1)\(\quad\{18,22,26,30,34, \dots\}\)
2)\(\quad\{9,19,199,1999, \dots\}\)
3)\(\quad\{8,12,18,27, \dots\}\)
4)\(\quad\{15,7,-1,-9,-17, \dots\}\)
5)\(\quad\left\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots\right\}\)
6)\(\quad\{100,-50,25,-12.5, \dots\}\)
7)\(\quad\{-8,12,32,52, \dots\}\)
8)\(\quad\{1,4,9,16,25, \dots\}\)
9)\(\quad\{11,101,1001,10001, \ldots\}\)
10) \(\quad\{12,15,18,21,24, \dots\}\)
11)\(\quad\{80,20,5,1.25, \dots\}\)
12)\(\quad\{5,15,45,135,405, \dots\}\)
13)\(\quad\{1,3,6,10,15, \dots\}\)
\(\begin{array}{ll}\text { 14) } & \{2,4,6,8,10, \dots\}\end{array}\)
15)\(\quad\{-1,-2,-4,-8,-16, \dots\}\)
16)\(\quad\{1,1,2,3,5,8,13,21, \dots\}\)