6.4: Suma de una serie

Para encontrar soluciones aproximadas a problemas en las ciencias, muchas veces es necesario calcular la suma de una serie finita o infinita. Hay una variedad de fórmulas que se utilizan para lograr esto. Algunas de estas fórmulas se presentarán con pruebas, pero otras no. Si está interesado en las pruebas que no están incluidas, por favor hágamelo saber.
Fórmulas Generales Serie
Constante - observe que no hay\(k\) en la suma, la\(c\) es una constante que no depende del valor de\(k\)
\(\sum_{k=1}^{n} c=c+c+c+\cdots+c=n * c\)
Suma de los primeros\(n\) enteros:
\(\sum_{k=1}^{n} k=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
Suma de los primeros cuadrados\(n\) perfectos:
\(\sum_{k=1}^{n} k^{2}=1+4+9+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Suma de los primeros cubos\(n\) perfectos:
\(\sum_{k=1}^{n} k^{3}=1+8+27+\cdots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\)
La primera fórmula debe ser obvia. Las otras tres fórmulas generalmente se prueban mediante inducción matemática, que no cubriremos en este curso. Si te interesan estas pruebas y cómo funciona la inducción matemática, por favor házmelo saber.
Fórmulas para la suma de series aritméticas y geométricas: Serie
aritmética: como una secuencia aritmética, una serie aritmética tiene una diferencia constante\(d .\) Si escribimos los términos de la serie:
\(\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\)
podemos reescribir esto en términos del primer término\(\left(a_{1}\right)\) y la diferencia constante\(d\)
\(\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{2}+2 d\right)+\cdots+\left(a_{1}+(n-1) d\right)\)
Esta expresión es equivalente a:
\(\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\left(a_{1}+a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{1}\right)+(d+2 d+3 d+\cdots(n-1) d)\)
\(\sum_{k=1}^{n} a_{k}=n a_{1}+d(1+2+3+\cdots(n-1))\)
Usar la fórmula anterior para la suma nos\(1+2+3+\dots+(n-1)\) da:
\(\sum_{k=1}^{n} a_{k}=n a_{1}+d\left(\frac{(n-1) n}{2}\right)\)
Esta fórmula a menudo se afirma en diversas formas:
\(\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\frac{n}{2}\left(2 a_{1}+(n-1) d\right)\)
o
\(\sum_{k=1}^{n} a_{k}=\frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\)
desde Serie\(a_{1}+(n-1) d=a_{n}\)

Geométrica:
Dada una serie geométrica, cuyo primer término es\(a\) y con una relación constante de\(r\)\(\sum_{k=1}^{n} a * r^{k-1},\) podemos escribir los términos de la serie de una manera similar a la que hicimos para la serie aritmética.
\(\sum_{k=1}^{n} a * r^{k-1}=a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\cdots+a r^{n-1}\)
El truco para encontrar una fórmula para la suma de este tipo de series es multiplicar ambos lados de la ecuación anterior por\(r\)
Por simplicidad, cambiemos el nombre de la suma de la serie\(\sum_{k=1}^{n} a * r^{k-1}\) como\(S_{n}\)
So,
\(S_{n}=a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\dots+a r^{n-1}\)
y
\(r * S_{n}=r\left(a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\dots+a r^{n-1}\right)=a r+a r^{2}+a r^{3}+\dots+a r^{n}\)
Si restamos estas dos ecuaciones, tendremos:
\(S_{n}=a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\dots+a r^{n-1}\)
\(-\left(r * S_{n}=a r+a r^{2}+a r^{3}+\cdots+a r^{n}\right)\)
Entonces tendremos:
\(S_{n}-r S_{n}=a-a r^{n}\)
Facturar hacia fuera\(S_{n}\) en el lado izquierdo :
\(S_{n}(1-r)=a-a r^{n}\)
y dividir en ambos lados para aislar\(S_{n}:\)
\(\frac{S_{n}(1-r)}{(1-r)}=\frac{a-a r^{n}}{(1-r)}\)
\(S_{n}=\frac{a-a r^{n}}{1-r}\)
Así que para una serie geométrica finita, podemos usar esta fórmula para encontrar la suma. Esta fórmula también se puede utilizar para ayudar a encontrar la suma de una serie geométrica infinita, si la serie converge. Normalmente esto será cuando el valor de\(r\) esté entre -1 y
1. En otras palabras,\(|r|<1\) o\(-1<r<1 .\) Esto es importante porque hace que el\(a r^{n}\) término en la fórmula anterior se acerque a 0 como\(n\) se vuelve infinito. Entonces, si\(-1<r<1,\) entonces la suma de una serie geométrica infinita será:
\(S_{n}=\frac{a}{1-r}\)

Ejercicios 6.4
Encuentra la suma para cada una de las siguientes series geométricas finitas.
1)\(\sum_{k=1}^{7} 3\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}\)
2)\(\sum_{k=1}^{7} 16\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\)
3)\(\sum_{k=1}^{7} 3^{k}\)
4)\(\sum_{k=1}^{10} 2^{k-1}\)
5)\(\sum_{k=1}^{5} 4^{k-1}\)
6)\(\sum_{k=1}^{4} 6^{k-1}\)
7)\(\sum_{k=1}^{7} 2^{k}\)
8)\(\sum_{k=1}^{8} 3^{k}\)
9)\(\sum_{k=1}^{5} 2^{k+2}\)
10)\(\sum_{1}^{6} 3^{k-4}\)

Determinar si cada una de las siguientes series geométricas tiene una suma. Si lo hace, usa la fórmula\(S_{n}=\frac{a}{1-r}\) para encontrar la suma.
11)\(\sum_{k=1}^{\infty} 5 *\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\)
12)\(\sum_{k=1}^{\infty} 12 *\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\)
13)\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{k-1}\)
14)\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\)
15)\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{k+1}\)
16)\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}\)
17)\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{k-1}\)
18)\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}\)
19)\(\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{3}\right)^{k+2}\)
20) \(\sum_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k+4}\)