7.2: Notación factorial y permutaciones

Al considerar el número de posibilidades de diversos eventos, escenarios particulares suelen surgir en diferentes problemas. Uno de estos escenarios es la multiplicación de números enteros consecutivos. Por ejemplo, ante la pregunta de cuántas formas hay para sentar a un número dado de personas en una fila de sillas, obviamente no habrá repetición de los individuos. Entonces, si quisiéramos saber cuántas formas diferentes hay de sentar a 5 personas en una fila de cinco sillas, habría 5 opciones para el primer asiento, 4 opciones para el segundo asiento, 3 opciones para el tercer asiento y así sucesivamente.
\ [
\ underline {5} *\ underline {4} *\ underline {3} *\ underline {2} *\ underline {1} =120\ text {choices}
\]
En estas situaciones el 1 a veces se omite porque no cambia el valor de la respuesta. Este proceso de multiplicar números enteros decrecientes consecutivos se denomina “factorial”. La notación para un factorial es un signo de exclamación. Entonces el problema anterior podría ser respondido:\(5 !=120 .\) Por definición,\(0 !=1 .\) Aunque esto puede no parecer lógico intuitivamente, la definición se basa en su aplicación en problemas de permutación.

Una “permutación” utiliza factoriales para resolver situaciones en las que no se seleccionarán todas las posibilidades.

Entonces, por ejemplo, si quisiéramos saber de cuántas maneras pueden ocurrir los primeros, segundos y terceros puestos en una carrera con 7 concursantes, habría siete posibilidades para el primer lugar, luego seis opciones para el segundo lugar, luego cinco opciones para el tercer lugar.
Entonces, hay formas\(\underline{7} * \underline{6} * \underline{5}=210\) posibles de lograr esto.
La notación estándar para este tipo de permutación es generalmente\(_{n} P_{r}\) o\(P(n, r)\)
Esta notación representa el número de formas de asignar\(r\) distintos elementos en posiciones separadas de un grupo de\(n\) posibilidades.

En el ejemplo anterior la expresión se\(\underline{7} * \underline{6} * \underline{5}\) representaría como\(_{7} P_{3}\) o
\ [
P (7,3)
\]

La definición estándar de esta notación es:
\ [
_ {n} P_ {r} =\ frac {n!} {(n-r)!}
\] Se
puede ver que, en el ejemplo, nos interesaba\(_{7} P_{3},\) cuál se calcularía como:
\ [
_ {7} P_ {3} =\ frac {7!} {(7-3)!} =\ frac {7!} {4!} =\ frac {7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1} {4 * 3 * 2 * 1}
\]
El\(4 * 3 * 2 * 1\) en el numerador y denominador se cancelan entre sí, así que nos quedamos con la expresión que fouind intuitivamente:
\ [
_ {7} P_ {3} =7 * 6 * 5=210
\]
Aunque la notación formal puede parecer engorrosa en comparación con la solución intuitiva, es útil cuando se trabaja con problemas más complejos, problemas que involucran números grandes o problemas que involucran variables.

Obsérvese que, en este ejemplo, es importante el orden de terminar la carrera. Es decir que los mismos tres concursantes podrían comprender diferentes órdenes de acabado.
1er lugar: Alice 1er lugar: Bob 2do lugar: Bob\(\quad\) 2do lugar: Charlie 3er lugar: Charlie\(\quad\) 3er lugar: Alice
Los dos acabados enumerados anteriormente son opciones distintas y se cuentan por separado en las 210 posibilidades. Si solo nos preocupaba seleccionar a 3 personas de un grupo de\(7,\) entonces el orden de las personas no sería importante; esto generalmente se refiere a una “combinación” en lugar de una permutación y se discutirá en la siguiente sección.

Volviendo al ejemplo original en esta sección: ¿cuántas formas diferentes hay de sentar a 5 personas en una fila de 5 sillas? Si usamos la definición estándar de permutaciones, entonces esta sería\(_{5} P_{5}\)
\ [
_ {5} P_ {5} =\ frac {5!} {(5-5)!} =\ frac {5!} {0!} =\ frac {120} {1} =120
\]
Esta es la razón por la\(0 !\) que se define como 1

EJERCICIOS 7.2
1)\(\quad 4 * 5 !\)
2)\(\quad 3 ! * 4 !\)
3)\(\quad 5 ! * 3 !\)
4)\(\quad \frac{8 !}{6 !}\)
5)\(\quad \frac{10 !}{7 !}\)
6)\(\quad \frac{9 ! * 6 !}{3 ! * 7 !}\)
7)\(\quad \frac{12 ! * 3 !}{8 ! * 6 !}\)
8)\(\quad_{10} P_{4}\)
9)\(\quad_{4} P_{3}\)
10) \(\quad_{7} P_{5}\)
11)\(\quad_{9} P_{2}\)
12)\(\quad_{8} P_{4}\)
13)\(\quad\) así\(P_{3}\)
14)\(\quad n_{1}\)
15)\(\quad_{10} P_{r}\)
16) Listar todas las permutaciones de las letras\(\{a, b, c\}\)
17) Listar todas las permutaciones de las cartas\(\{a, b, c\}\) tomadas dos a la vez.
18) Cuantas permutaciones hay del grupo de letras\(\{a, b, c, d, e\} ?\)
19) Cuántas permutaciones hay del grupo de letras\(\{a, b, c, d\} ?\)

Enumere estas permutaciones.
20) ¿De cuántas maneras se puede elegir a un presidente, vicepresidente y secretario de un grupo de 20 estudiantes?
21) ¿De cuántas maneras se puede elegir a un presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de un grupo de 50 estudiantes?
22) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 niños y 5 niñas en fila con diez escaños:
\(\quad\) a) sin restricciones?
\(\quad\)b) si niños y niñas deben alternar asientos?
23) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 niños y 4 niñas en fila con nueve escaños:
\(\quad\) a) sin restricciones?
\(\quad\)b) si niños y niñas deben alternar asientos?
24) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas si hay 10 sillas para elegir?
25) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 4 personas si hay 9 sillas para elegir?
26) ¿De cuántas maneras puede sentarse un grupo de 8 personas en fila de 8 asientos si dos personas insisten en sentarse juntas?
27) ¿De cuántas maneras puede sentarse un grupo de 10 personas en fila de 10 asientos si tres personas insisten en sentarse juntas?