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7.3: Permutaciones y combinaciones

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Vimos en el último apartado que, al trabajar con permutaciones, el orden siempre es importante. Si estuviéramos eligiendo a 3 personas de un grupo de 7 para que sirvieran en un comité sin funciones asignadas, la naturaleza del problema cambiaría.
    Por ejemplo, si estuviéramos eligiendo a 3 personas de un grupo de 7 para que sirvieran en una comisión como presidente, vicepresidente y tesorero, la respuesta sería\(_{7} P_{3}=210\) Pero -si quisiéramos elegir a 3 personas de un grupo de 7 sin papeles asignados, entonces algunas de las opciones en la permutación serían las mismo.
    En una permutación:
    1er lugar: Alice 1er lugar: Bob 2do lugar: Bob\(\quad\) 2do lugar: Charlie 3er lugar: Charlie\(\quad\) 3er lugar: Alice
    las dos opciones enumeradas anteriormente serían consideradas como diferentes y se contarían por separado. En una “combinación” en la que el orden de selección no es importante y no hay roles asignados, debemos compensar estas opciones extras.

    Si estamos eligiendo a 3 personas de un grupo de 7 para que sirvan en un comité sin roles asignados entonces debemos considerar que cualquier selección de una permutación que incluya a las mismas tres personas solo debe contarse una vez.
    Entonces, cuando seleccionamos a las tres personas, debemos considerar cuántas formas diferentes hay de agruparlas y luego eliminar esas opciones adicionales. En este ejemplo, estamos eligiendo a tres personas. Cada grupo de tres se puede organizar de seis maneras diferentes\(3 !=3 * 2=6,\) para que cada grupo distinto de tres se cuente seis veces.
    Para encontrar el número real de elecciones tomamos el número de posibles permutaciones y dividimos entre 6 para llegar a la respuesta real:
    \ [
    _ {7} C_ {3} =\ frac {7 P_ {3}} {3!} =\ frac {7!} {4! * 3!}
    \]
    En una combinación en la que el orden no es importante y no hay roles asignados el número de posibilidades se define como:
    \ [
    _ {n} C_ {r} =\ frac {n!} {(n-r)! * r!}
    \]
    Una forma de recordar la diferencia entre una permutación y una combinación es que en una pizza combinada no hace ninguna diferencia si la salchicha continúa antes del pepperoni o si las cebollas se ponen primero, así que en una combinación, ¡el orden no es importante!

    EJERCICIOS 7.3
    Encuentra el valor de las siguientes expresiones.
    1)\(\quad _{10} C_{4}\)
    2)\(\quad _{8} C_{3}\)
    3)\(\quad _{10} C_{6}\)
    4)\(\quad _{8} C_{5}\)
    5)\(\quad _{15} C_{12}\)
    6)\(\quad _{18} C_{2}\)
    7)\(\quad _{n} C_{4}\)
    8)\(\quad _{9} C_{r}\)
    9) Cuántas pizzas de tres topping se pueden hacer si hay doce coberturas para elegir?
    10) ¿Cuántas manecillas puente de 13 cartas son posibles de una baraja de 52 cartas?
    11) ¿Cuántas manos de póquer de 5 cartas son posibles de una baraja de 52 cartas?
    12) ¿Cuántas manecillas de puente diferentes de 13 cartas son posibles si ninguna de las cartas es superior a 10 (es decir, no hay cartas faciales)?
    13) ¿Cuántas manos de póquer diferentes de 5 cartas son posibles si ninguna de las cartas es superior a\(8 ?\)
    14) Si una persona tiene 10 playeras diferentes, ¿cuántas formas hay de elegir 4 para llevar en un viaje?
    15) Si una banda ha practicado 15 canciones, ¿cuántas formas hay para que seleccionen 4 canciones para tocar en una batalla de las bandas? ¿Cuántas actuaciones diferentes de cuatro canciones son posibles?
    16) Quince niños y 12 niñas están en un viaje de campamento. Cuantas formas se puede seleccionar un grupo de siete para recolectar leña:
    \(\quad\) a) sin condiciones
    \(\quad\) b) el grupo contiene cuatro niñas y tres niños
    \(\quad\) c) el grupo contiene al menos cuatro niñas
    17) Una clase de 25 alumnos es compuesto por 15 niñas y 10 niños. De cuántas formas se puede seleccionar un comité de 8 alumnos si:
    \(\quad\) a) no hay restricciones
    \(\quad\) b) no se incluyen varones en el comité
    \(\quad\) c) no se incluyen mujeres en el comité
    \(\quad\) d) el comité debe tener 5 niños y 3 niñas
    18) De un grupo de 12 tenistas masculinos y 12 femeninos, se elegirán dos hombres y dos mujeres para competir en un partido de dobles hombres-vs-mujeres. ¿Cuántos partidos diferentes son posibles?
    19) En una clase de baile de séptimo grado, hay 20 niñas y 17 niños.
    \(\quad\)a) ¿De cuántas formas se pueden emparejar a los estudiantes para crear parejas de baile compuestas por un niño y una niña?
    \(\quad\)b) ¿Cuántas formas hay de crear un grupo de 17 parejas niño/niña?
    \(\quad\)c) ¿Cuántas formas hay de crear un grupo de 18 parejas sin restricciones?

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