7.4: Problemas generales de combinatoria

Como suele ser el caso, practicar un tipo de problema a la vez es útil para dominar las técnicas necesarias para resolver ese tipo de problema. Más difícil es decidir en qué tipo de problema estás trabajando y elegir qué técnicas usar para resolver el problema. En esta sección se combinan los tipos de problemas de las tres secciones anteriores.

EJERCICIOS 4.4
SET I
1) Cuántas cadenas de seis letras minúsculas del alfabeto inglés contienen
\(\quad\) a) la letra\(a ?\)
\(\quad\) b) las letras\(a\) y \(b\)en posiciones consecutivas con\(a\) precedentes\(b\), con todas las letras distintas?
\(\quad\)c) las letras\(a\) y\(b\), ¿dónde\(a\) está en algún lugar a la izquierda de\(b\) en la cadena, con todas las letras distintas?
2) Siete mujeres y nueve hombres están en la facultad en el departamento de matemáticas de una escuela.
\(\quad\)a) ¿De cuántas formas hay de seleccionar un comité de cinco integrantes del departamento si al menos una mujer debe estar en el comité?
\(\quad\)b) ¿De cuántas formas hay de seleccionar un comité de cinco miembros del departamento si al menos una mujer y al menos un hombre deben estar en el comité?
3) Supongamos que un departamento contiene 10 hombres y 15 mujeres. ¿Cuántas formas hay de formar un comité con 6 integrantes si debe tener el mismo número de hombres y mujeres?
4) El alfabeto inglés contiene 21 consonantes y 5 vocales. ¿Cuántas cadenas de 6 letras minúsculas del alfabeto inglés contienen:
\(\quad\) a) exactamente una vocal?
\(\quad\)b) exactamente 2 vocales?
\(\quad\)c) ¿al menos 1 vocal?
\(\quad\)d) ¿al menos 2 vocales?
5) ¿Cuántas formas hay de seleccionar 12 países en las Naciones Unidas para servir en un consejo si se seleccionan 3 de un bloque de 45,4 de un bloque de\(57,\) y los demás se seleccionan de los 69 países restantes?
6) Supongamos que un departamento contiene 10 hombres y 15 mujeres. ¿Cuántas formas hay de formar un comité con 6 integrantes si debe tener más mujeres que hombres?
7) ¿Cuántas placas que constan de tres letras seguidas de tres dígitos no contienen ni letra ni dígito dos veces?
8) En el torneo de tenis femenino de Wimbledon, dos finalistas, A y B, están compitiendo por el título, que se otorgará al primer jugador en ganar dos sets. ¿De cuántas maneras diferentes se puede completar el partido?
9) En el torneo de tenis masculino de Wimbledon, dos finalistas,\(A\) y\(B\), están compitiendo por el título, que se otorgará al primer jugador en ganar tres sets. ¿De cuántas maneras diferentes se puede completar el partido?
10) ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir un panel de 12 jurados y 2 jurados alternos de un grupo de 30 posibles jurados?

SET II
11) Una clase cuenta con 20 alumnos, de los cuales 12 son femeninos y 8 son masculinos. ¿De cuántas maneras se puede elegir un comité de cinco alumnos de la clase si:
\(\quad\) a) No se imponen restricciones a la elección de los estudiantes
\(\quad\) b) No se incluyen varones en el comité
\(\quad\) c) El comité debe tener tres miembros femeninos y 2 miembros masculinos
12) Se elegirá un comité de baile escolar de entre un grupo de estudiantes compuesto por seis estudiantes de primer año, ocho estudiantes de segundo año, doce juniors y diez seniors. Si el comité consistiera en dos estudiantes de primer año, tres estudiantes de segundo año, cuatro juniors y cinco seniors, ¿de cuántas formas se puede hacer esto?
13) Una compañía de teatro consta de 22 actores - 10 hombres y 12 mujeres. En la siguiente obra, el director necesita elegir a un protagonista, protagonista, papel masculino de apoyo, papel femenino de apoyo y ocho extras (tres hombres y cinco mujeres). ¿De cuántas maneras se puede emitir esta obra?
14) Un entrenador de hockey cuenta con 20 jugadores de los cuales doce juegan al frente, seis juegan a la defensa y dos son porteros. ¿De cuántas maneras puede el entrenador elegir una alineación compuesta por tres delanteros, dos jugadores de defensa y un portero?
15) ¿De cuántas maneras se pueden organizar diez alumnos seguidos para una foto de clase si John y Jane quieren pararse uno al lado del otro y Ed y Sally también quieren pararse uno al lado del otro?
16) ¿De cuántas maneras se pueden arreglar los alumnos del problema anterior si Ed y Sally quieren pararse uno al lado del otro, pero John y Jane se niegan a pararse uno al lado del otro?
17) De cuántas maneras pueden sentarse cuatro hombres y cuatro mujeres en fila de ocho escaños si:
\(\quad\) a) El primer escaño lo ocupa un hombre
\(\quad\) b) El primer y último escaños son ocupados por mujeres

SET III
18) El número de seguro social de una persona es una secuencia de nueve dígitos que no son necesariamente distintos. ¿Cuántos números de seguro social son posibles?
19) Un nombre de variable en el lenguaje de programación BASIC es una letra del alfabeto o una letra seguida de un dígito. ¿Cuántos nombres distintos de variables hay en el lenguaje BASIC?
20) a) ¿Cuántos números pares hay entre 0 y 100?
b) Cuántos números pares con dígitos distintos hay entre 0 y
\(100 ?\)
21) Hay seis caracteres -tres letras del alfabeto inglés seguidas de tres dígitos- que aparecen en el panel posterior de una marca particular de impresora como identificación número. Encuentre el número de posibles números de identificación si
\(\quad\) a) los caracteres pueden repetirse
\(\quad\) b) los dígitos no pueden repetirse
\(\quad\) c) las letras no pueden repetirse
\(\quad\) d) los caracteres no pueden repetirse
22) Una secuencia de caracteres se llama palíndromo si lee lo mismo hacia adelante y hacia atrás. Por ejemplo\(\mathrm{K} 98 \mathrm{EE} 89 \mathrm{K}\) es un palíndromo de ocho caracteres y\(\mathrm{K} 98 \mathrm{E} 89 \mathrm{K}\) es un palíndromo de siete caracteres. UN HOMBRE UN PLAN UN CANAL PANAMA también es un palíndromo como lo son FUE UNA RATA QUE VIO, TACO CAT, TANGY GNAT, Y NUNCA IMPAR O IMPAR. Encuentra el número de palíndromos de nueve caracteres que se pueden formar usando las letras del alfabeto de tal manera que ninguna letra aparezca más de dos veces en cada una.
23) Encontrar el número de formas de formar una secuencia de cuatro letras usando las letras\(A\),
B,\(C, D\) y\(E\) si:
\(\quad\) a) se permiten repeticiones
\(\quad\) b) no se permiten repeticiones
\(\quad\) c) la secuencia contiene la letra\(A\) pero no se permiten repeticiones
\(\quad\) d) la secuencia contiene la letra\(A\) y se permiten repeticiones
24) Hay 10 integrantes A, B, C, D, E, F, G, H, I y J en una comisión de recaudación de fondos. La primera tarea del comité es elegir un presidente, un secretario y un tesorero de este grupo. Ningún individuo puede ocupar más de un cargo. ¿De cuántas formas se pueden cubrir estos tres cargos si:
\(\quad\) a) nadie tiene ninguna objeción para ocupar alguno de estos cargos?
\(\quad\) b) Cnecesita ser el presidente
\(\quad\) c)\(\quad\) B no quiere ser el presidente
\(\quad\)d)\(\quad\) A no está dispuesto a fungir como presidente o secretario
\(\quad\) e) ya sea I o J debe ser el tesorero
\(\quad\) f)\(\quad\) E\(F\) o\(G\) debe ocupar uno de los tres cargos
25) Encontrar el número de formas de recogiendo cada uno de los siguientes de una baraja estándar de cartas.
\(\quad\)a) un rey y una reina
\(\quad\) b) un rey o una reina
\(\quad\) c) un rey y una tarjeta roja
\(\quad\) d) un rey o una tarjeta roja
26) Hay tres puentes que conectan dos pueblos A y B. Entre los pueblos B y
C hay cuatro puentes. Un vendedor necesita viajar de A a C vía B. Encuentre:
\(\quad\) a) el número de opciones posibles de puentes de A a\(C\)
\(\quad\) b) el número de opciones para un viaje de ida y vuelta de A a C y de regreso a A
\(\quad\) c) el número de opciones para una ronda viaje si ningún puente puede cruzarse dos veces
27) Una secuencia de dígitos en la que cada dígito es 0 o 1 se llama número binario. Los números binarios de ocho dígitos a menudo se denominan “bytes”.
\(\quad\)a) ¿Cuántos bytes son posibles?
\(\quad\)b) Cuántos bytes comienzan con 10 y terminan con\(01 ?\)
\(\quad\) c) Cuántos bytes comienzan con 10 pero no terminan con\(01 ?\)
\(\quad\) d) Cuántos bytes comienzan con 10 o terminan con\(01 ?\)
28) Un grupo de 12 es ser sentado en una fila de sillas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto si:
\(\quad\) a) dos personas,\(A\) y\(B\) deben estar sentadas una al lado de la otra?
\(\quad\)b) dos personas\(A\) y no\(B\) deben estar sentadas una al lado de la otra?
29) Una variable en el lenguaje FORTRAN es una secuencia que tiene como máximo seis caracteres siendo el primer carácter una letra del alfabeto y los caracteres restantes (si los hay) siendo letras o dígitos. ¿Cuántos nombres de variables distintos son posibles?
30) Cuatro camionetas, cinco sedanes y seis camionetas se van a estacionar en una fila de
15 espacios. Encuentra el nubmer de formas de estacionar los vehículos si:
\(\quad\) a) los vagones de la estación están estacionados al inicio, luego los sedanes, luego las camionetas
\(\quad\) b) los vehículos del mismo tipo deben estacionarse juntos