2.2: Los sistemas de coordenadas rectangulares y las gráficas

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Objetivos de aprendizaje

Trazar pares ordenados en un sistema de coordenadas cartesianas.
Gráfica ecuaciones trazando puntos.
Ecuaciones gráficas con utilidad gráfica.
Encuentra$x$ -intercepciones e$y$ -intercepciones.
Usa la fórmula de distancia.
Utilice la fórmula de punto medio.

Tracie partió de Elmhurst, IL, para ir a Franklin Park. En el camino, hizo algunas paradas para hacer recados. Cada parada está indicada por un punto rojo en la Figura$\PageIndex{1}$. Colocando una cuadrícula de coordenadas rectangular sobre el mapa, podemos ver que cada parada se alinea con una intersección de líneas de cuadrícula. En esta sección, aprenderemos a usar líneas de rejilla para describir ubicaciones y cambios en ubicaciones.

Mapa de ruta de una ciudad con nombres de calles en una cuadrícula de coordenadas x, y. Varios puntos están marcados en rojo en las líneas de la cuadrícula indicando diferentes ubicaciones en el mapa. — Figura$\PageIndex{1}$

Trazado de pares ordenados en el sistema de coordenadas cartesianas

Una vieja historia describe cómo el filósofo/matemático del siglo XVII René Descartes inventó el sistema que se ha convertido en la base del álgebra mientras estaba enfermo en la cama. Según la historia, Descartes estaba mirando a una mosca que se arrastraba por el techo cuando se percató de que podía describir la ubicación de la mosca en relación con las líneas perpendiculares formadas por las paredes adyacentes de su habitación. Vio las líneas perpendiculares como ejes horizontales y verticales. Además, al dividir cada eje en longitudes unitarias iguales, Descartes vio que era posible ubicar cualquier objeto en un plano bidimensional usando solo dos números: el desplazamiento desde el eje horizontal y el desplazamiento desde el eje vertical.

Si bien hay evidencia de que ideas similares al sistema de cuadrícula de Descartes existieron siglos antes, fue Descartes quien introdujo los componentes que componen el sistema de coordenadas cartesianas, un sistema de cuadrícula que tiene ejes perpendiculares. Descartes nombró al eje horizontal el$x$ eje -eje y al eje vertical el eje$y$ -eje.

El sistema de coordenadas cartesianas, también llamado sistema de coordenadas rectangulares, se basa en un plano bidimensional que consiste en el$x$ eje -eje y el$y$ eje -eje. Perperpendiculares entre sí, los ejes dividen el plano en cuatro secciones. Cada sección se denomina cuadrante; los cuadrantes se numeran en sentido antihorario como se muestra en la Figura$\PageIndex{2}$.

Esta es una imagen de un plano x, y con los ejes etiquetados. La sección superior derecha está etiquetada: Cuadrante I. La sección superior izquierda está etiquetada: Cuadrante II. La sección inferior izquierda está etiquetada: Cuadrante III. La sección inferior derecha está etiquetada: Cuadrante IV. — Figura$\PageIndex{2}$

El centro del plano es el punto en el que se cruzan los dos ejes. Se le conoce como el origen, o punto$(0,0)$. Desde el origen, cada eje se divide además en unidades iguales: números crecientes, positivos a la derecha en el$x$ eje -y hacia arriba en el eje$y$ -eje; decreciente, números negativos a la izquierda en el$x$ eje -y hacia abajo en el$y$ eje -eje. Los ejes se extienden hasta el infinito positivo y negativo como lo muestran las puntas de flecha en la Figura$\PageIndex{3}$.

Esta es una imagen de un plano de coordenadas x, y. Los ejes x e y oscilan entre 5 y 5 negativos. — Figura$\PageIndex{3}$

Cada punto en el plano se identifica por su$x$ -coordenada, o desplazamiento horizontal desde el origen, y su$y$ -coordenada, o desplazamiento vertical desde el origen. Juntos, los escribimos como un par ordenado indicando la distancia combinada desde el origen en el formulario$(x,y)$. Un par ordenado también se conoce como par de coordenadas porque consiste en$x$ - y$y$ -coordenadas. Por ejemplo, podemos representar el punto$(3,−1)$ en el plano moviendo tres unidades a la derecha del origen en dirección horizontal, y una unidad hacia abajo en dirección vertical. Ver Figura$\PageIndex{4}$.

Esta es una imagen de un plano de coordenadas x, y. Los ejes x e y oscilan entre 5 y 5 negativos. El punto (3, -1) está etiquetado. Una flecha se extiende hacia la derecha desde el origen 3 unidades y otra flecha se extiende hacia abajo una unidad desde el final de esa flecha hasta el punto. — Figura$\PageIndex{4}$

Al dividir los ejes en incrementos igualmente espaciados, tenga en cuenta que el$x$ eje -puede considerarse por separado del$y$ eje -eje. En otras palabras, mientras que el$x$ eje -puede dividirse y etiquetarse de acuerdo con números enteros consecutivos, el$y$ eje -puede dividirse y etiquetarse por incrementos de$2$, o$10$, o$100$. De hecho, los ejes pueden representar otras unidades, como años contra el saldo en una cuenta de ahorro, o cantidad contra costo, y así sucesivamente. Considere el sistema de coordenadas rectangulares principalmente como un método para mostrar la relación entre dos cantidades.

Sistema de coordenadas cartesianas

Un plano bidimensional donde el

$x$-eje es el eje horizontal
$y$-eje es el eje vertical

Un punto en el plano se define como un par ordenado,$(x,y)$, tal que$x$ está determinado por su distancia horizontal desde el origen y$y$ está determinado por su distancia vertical desde el origen.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Plotting Points in a Rectangular Coordinate System

Trazar los puntos$(−2,4)$,$(3,3)$, y$(0,−3)$ en el plano.

Solución

Para trazar el punto$(−2,4)$, comience por el origen. La$x$ coordenada es$–2$, así que mueve dos unidades hacia la izquierda. La$y$ coordenada es$4$, entonces mueve cuatro unidades hacia arriba en la$y$ dirección positiva.

Para trazar el punto$(3,3)$, comenzar de nuevo en el origen. La$x$ coordenada es$3$, así que mueve tres unidades hacia la derecha. La$y$ coordenada -también es$3$, así que mueve tres unidades hacia arriba en la$y$ dirección positiva.

Para trazar el punto$(0,−3)$, comenzar de nuevo en el origen. La$x$ coordenada es$0$. Esto nos dice que no nos movamos en ninguna dirección a lo largo del$x$ eje. La$y$ coordenada es$–3$, así que mueve tres unidades hacia abajo en la$y$ dirección negativa. Ver la gráfica en la Figura$\PageIndex{5}$.

Esta es una imagen de una gráfica en un plano de coordenadas x, y. Los ejes x e y oscilan entre 5 y 5 negativos. Se etiquetan los puntos (-2, 4); (3, 3); y (0, -3). Las flechas se extienden desde el origen hasta los puntos. — Figura$\PageIndex{5}$

Análisis

Tenga en cuenta que cuando cualquiera de las coordenada es cero, el punto debe estar sobre un eje. Si la$x$ coordenada -es cero, el punto está en el$y$ eje. Si la$y$ coordenada -es cero, el punto está en el$x$ eje.

Graficar Ecuaciones por Trazado de Puntos

Podemos trazar un conjunto de puntos para representar una ecuación. Cuando tal ecuación contiene tanto una$x$ variable como una$y$ variable, se llama ecuación en dos variables. Su gráfica se denomina gráfica en dos variables. Cualquier gráfica en un plano bidimensional es una gráfica en dos variables.

Supongamos que queremos graficar la ecuación$y=2x−1$. Podemos comenzar sustituyendo un valor$x$ en la ecuación y determinando el valor resultante de$y$. Cada par de$y$ valores$x$ - y -es un par ordenado que se puede trazar. En la$\PageIndex{1}$ tabla se enumeran los valores$x$ de de$–3$ a$3$ y los valores resultantes para$y$.

Mesa$\PageIndex{1}$
$x$	$y=2x−1$	$(x,y)$
\ (x\) ">$−3$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(−3)−1=−7$	\ ((x, y)\) ">$(−3,−7)$
\ (x\) ">$−2$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(−2)−1=−5$	\ ((x, y)\) ">$(−2,−5)$
\ (x\) ">$−1$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(−1)−1=−3$	\ ((x, y)\) ">$(−1,−3)$
\ (x\) ">$0$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(0)−1=−1$	\ ((x, y)\) ">$(0,−1)$
\ (x\) ">$1$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(1)−1=1$	\ ((x, y)\) ">$(1,1)$
\ (x\) ">$2$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(2)−1=3$	\ ((x, y)\) ">$(2,3)$
\ (x\) ">$3$	\ (y=2x−1\) ">$y=2(3)−1=5$	\ ((x, y)\) ">$(3,5)$

Podemos trazar los puntos en la tabla. Los puntos para esta ecuación en particular forman una línea, por lo que podemos conectarlos (Figura$\PageIndex{6}$). Esto no es cierto para todas las ecuaciones.

Esta es una gráfica de una línea en un plano de coordenadas x, y. Los ejes x e y oscilan entre 8 y 8 negativos. Una línea pasa por los puntos (-3, -7); (-2, -5); (-1, -3); (0, -1); (1, 1); (2, 3); y (3, 5). — Figura$\PageIndex{6}$

Tenga en cuenta que los$x$ valores -elegidos son arbitrarios, independientemente del tipo de ecuación que estemos graficando. Por supuesto, algunas situaciones pueden requerir valores particulares de$x$ ser trazados para poder ver un resultado en particular. De lo contrario, es lógico elegir valores que se puedan calcular fácilmente, y siempre es una buena idea elegir valores que sean tanto negativos como positivos. No hay una regla que dicte cuántos puntos trazar, aunque necesitamos al menos dos para graficar una línea. Tenga en cuenta, sin embargo, que cuantos más puntos traquemos, con mayor precisión podremos bosquejar la gráfica.

Cómo: Dada una ecuación, graficar por puntos de trazado

Haga una tabla con una columna etiquetada$x$, una segunda columna etiquetada con la ecuación y una tercera columna que indique los pares ordenados resultantes.
Ingresa$x$ -valores hacia abajo en la primera columna usando valores positivos y negativos. Seleccionar los$x$ valores -en orden numérico hará que la gráfica sea más simple.
Seleccione$x$ -valores que cedan$y$ -valores con poco esfuerzo, preferiblemente aquellos que puedan ser calculados mentalmente.
Trazar los pares ordenados.
Conecte los puntos si forman una línea.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Graphing an Equation in Two Variables by Plotting Points

Grafica la ecuación$y=−x+2$ trazando puntos.

Solución

Primero, construimos una tabla similar a Table$\PageIndex{2}$. Elija$x$ valores y calcule$y$.

Mesa$\PageIndex{2}$
$x$	$y=−x+2$	$(x,y)$
\ (x\) ">$−5$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(−5)+2=7$	\ ((x, y)\) ">$(−5,7)$
\ (x\) ">$−3$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(−3)+2=5$	\ ((x, y)\) ">$(−3,5)$
\ (x\) ">$−1$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(−1)+2=3$	\ ((x, y)\) ">$(−1,3)$
\ (x\) ">$0$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(0)+2=2$	\ ((x, y)\) ">$(0,2)$
\ (x\) ">$1$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(1)+2=1$	\ ((x, y)\) ">$(1,1)$
\ (x\) ">$3$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(3)+2=−1$	\ ((x, y)\) ">$(3,−1)$
\ (x\) ">$5$	\ (y=−x+2\) ">$y=−(5)+2=−3$	\ ((x, y)\) ">$(5,−3)$

Ahora, trazar los puntos. Conéctelos si forman una línea. Ver Figura$\PageIndex{7}$.

Esta imagen es una gráfica de una línea en un plano de coordenadas x, y. El eje x incluye números que van desde el 7 negativo hasta el 7. El eje y incluye números que van de 5 a 8 negativos. Una línea pasa por los puntos: (-5, 7); (-3, 5); (-1, 3); (0, 2); (1, 1); (3, -1); y (5, -3). — Figura$\PageIndex{7}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Construir una tabla y graficar la ecuación trazando puntos:$y=\dfrac{1}{2}x+2$.

Contestar

Por favor vea Tabla$\PageIndex{3}$ y gráfica a continuación.

Mesa$\PageIndex{3}$
$x$	$y = 12x + 2$	$(x,y)$
\ (x\) ">$-2$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(−2)+2=1$	\ ((x, y)\) ">$(−2,1)$
\ (x\) ">$-1$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(−1)+2=32$	\ ((x, y)\) ">$(−1,32)$
\ (x\) ">$0$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(0)+2=2$	\ ((x, y)\) ">$(0,2)$
\ (x\) ">$1$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(1)+2=52$	\ ((x, y)\) ">$(1,52)$
\ (x\) ">$2$	\ (y = 12x + 2\) ">$y=12(2)+2=3$	\ ((x, y)\) ">$(2,3)$

Esta es una imagen de una gráfica en un plano de coordenadas x, y. Los ejes x e y oscilan entre 5 y 5 negativos. Una línea pasa por los puntos (-2, 1); (-1, 3/2); (0, 2); (1, 5/2); y (2, 3). — Figura$\PageIndex{8}$

Graficar ecuaciones con una utilidad gráfica

La mayoría de las calculadoras gráficas requieren técnicas similares para graficar una ecuación. Las ecuaciones a veces tienen que ser manipuladas para que estén escritas en el estilo$y=$ _____. El TI-84 Plus, y muchas otras marcas y modelos de calculadora, cuentan con una función de modo, que permite alterar la ventana (la pantalla para ver el gráfico) para que se puedan ver las partes pertinentes de una gráfica.

Por ejemplo, la ecuación se$y=2x−20$ ha ingresado en el TI-84 Plus que se muestra en la Figura$\PageIndex{9a}$. En la Figura$\PageIndex{9b}$ se muestra la gráfica resultante. Observe que no podemos ver en la pantalla donde la gráfica cruza los ejes. La pantalla de ventana estándar en el TI-84 Plus muestra$−10≤x≤10$, y$−10≤y≤10$. Consulte la Figura\ (\ PageIndex {9 c}\).

Esta es una imagen de tres capturas de pantalla de calculadora lado a lado. La primera pantalla es la pantalla de trazado con la función y sub 1 igual a dos veces x menos veinte. La segunda pantalla muestra la línea trazada en el plano de coordenadas. La tercera pantalla muestra la pantalla de edición de ventana con los siguientes ajustes: Xmin = -10; Xmax = 10; Xscl = 1; Ymin = -10; Ymax = 10; Yscl = 1; Xres = 1. — Figura$\PageIndex{9}$: a. Ingresa la ecuación. b. Esta es la gráfica en la ventana original. c. Estas son las configuraciones originales.

Al cambiar la ventana para mostrar más del$x$ eje positivo y más del$y$ eje negativo, tenemos una visión mucho mejor de la gráfica y de las intercepciones$x$ - y$y$ -intercepciones. Ver Figura$\PageIndex{10a}$ y Figura$\PageIndex{10b}$.

Esta es una imagen de dos capturas de pantalla de calculadora lado a lado. La primera pantalla es la pantalla de edición de ventana con los siguientes ajustes: Xmin = negativo 5; Xmax = 15; Xscl = 1; Ymin = -30; Ymax = 10; Yscl = 1; Xres =1. La segunda pantalla muestra la gráfica de la gráfica anterior, pero está más centrada en la línea. — Figura$\PageIndex{10}$: a. Esta pantalla muestra la nueva configuración de la ventana. b. Podemos ver claramente las intercepciones en la nueva ventana.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Using a Graphing Utility to Graph an Equation

Utilice una utilidad gráfica para graficar la ecuación:$y=−\dfrac{2}{3}x−\dfrac{4}{3}$.

Solución

Ingresa la ecuación en el$y = \text{ function}$ de la calculadora. Establezca la configuración de la$x$ ventana para que se muestren en la ventana tanto las intercepciones$y$ - como -. Ver Figura$\PageIndex{11}$.

Esta imagen es de un gráfico de líneas en un plano de coordenadas x, y. El eje x tiene números que van desde el 3 negativo hasta el 4. El eje y tiene números que van desde el 3 negativo hasta el 3. Se traza la función y = -2x/3 + 4/3. — Figura$\PageIndex{11}$

Hallazgo $x$- intercepciones e $y$- intercepciones

Las intercepciones de una gráfica son puntos en los que la gráfica cruza los ejes. El$x$ -intercepto es el punto en el que la gráfica cruza el eje $x$. En este punto, la$y$ coordenada -es cero. La$y$ -intercepción es el punto en el que la gráfica cruza el$y$ eje. En este punto, la$x$ coordenada -es cero.

Para determinar la$x$ -intercepción, establecemos$y$ igual a cero y resolvemos para$x$. Del mismo modo, para determinar la$y$ -intercepción, establecemos$x$ igual a cero y resolvemos para$y$. Por ejemplo, vamos a encontrar las intercepciones de la ecuación$y=3x−1$.

Para encontrar la$x$ -intercepción, establecer$y=0$.

\[\begin{align*} y &= 3x - 1\\ 0 &= 3x - 1\\ 1 &= 3x\\ \dfrac{1}{3}&= x \end{align*}\]

$x$−interceptar:$\left(\dfrac{1}{3},0\right)$

Para encontrar la$y$ -intercepción, establecer$x=0$.

\[\begin{align*} y &= 3x - 1\\ y &= 3(0) - 1\\ y &= -1 \end{align*}\]

$y$−interceptar:$(0,−1)$

Podemos confirmar que nuestros resultados tienen sentido observando una gráfica de la ecuación como en la Figura$\PageIndex{12}$. Observe que la gráfica cruza los ejes donde predijimos que lo haría.

Esta es una imagen de un gráfico de líneas en un plano de coordenadas x, y. Los ejes x e y oscilan entre 4 y 4 negativos. La función y = 3x — 1 se traza en el plano de coordenadas — Figura$\PageIndex{12}$

Cómo: DADA UNA Ecuación, ENCUENTRA LAS INTERCEPTAS

Encuentra la$x$ -intercepción configurando$y=0$ y resolviendo para$x$.
Encuentra la$y$ -intercepción configurando$x=0$ y resolviendo para$y$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Finding the Intercepts of the Given Equation

Encuentra las intercepciones de la ecuación$y=−3x−4$. Después esboza la gráfica usando solo las intercepciones.

Solución

Establecer$y=0$ para encontrar la$x$ -intercepción.

\[\begin{align*} y &= -3x - 4\\ 0 &= -3x - 4\\ 4 &= -3x\\ \dfrac{4}{3}&= x \end{align*}\]

$x$−interceptar:$\left(−\dfrac{4}{3},0\right)$

Establecer$x=0$ para encontrar la$y$ -intercepción.

\[\begin{align*} y &= -3x - 4\\ y &= -3(0) - 4\\ y &= -4 \end{align*}\]

$y$−interceptar:$(0,−4)$

Trazar ambos puntos, y dibujar una línea que los atraviese como en la Figura$\PageIndex{13}$.

Esta es una imagen de un gráfico de líneas en un plano de coordenadas x, y. El eje x oscila entre 5 y 5 negativos. El eje y varía de 6 a 3 negativos. La línea pasa por los puntos (-4/3, 0) y (0, -4). — Figura$\PageIndex{13}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Encuentra las intercepciones de la ecuación y esboza la gráfica:$y=−\dfrac{3}{4}x+3$.

Contestar: $x$-interceptar es$(4,0)$;$y$ -interceptar es$(0,3)$

$Esta es una imagen de un gráfico de líneas en un plano de coordenadas x, y. Los ejes x e y oscilan entre 4 y 6 negativos. Se grafica la función y = -3x/4 + 3.$
Figura$\PageIndex{14}$

Uso de la fórmula de distancia

Derivado del Teorema de Pitágoras, se utiliza la fórmula de distancia para encontrar la distancia entre dos puntos en el plano. El Teorema de Pitágoras$a^2+b^2=c^2$,, se basa en un triángulo rectángulo donde$a$ y$b$ son las longitudes de las patas adyacentes al ángulo recto, y$c$ es la longitud de la hipotenusa. Ver Figura$\PageIndex{15}$.

Esta es una imagen de un triángulo en un plano de coordenadas x, y. Los ejes x e y varían de 0 a 7. Los puntos (x sub 1, y sub 1); (x sub 2, y sub 1); y (x sub 2, y sub 2) están etiquetados y conectados para formar un triángulo. A lo largo de la base del triángulo, se muestra la siguiente ecuación: el valor absoluto de x sub 2 menos x sub 1 es igual a a. La hipotenusa del triángulo está etiquetada: d = c. El lado restante está etiquetado: el valor absoluto de y sub 2 menos y sub 1 es igual a b. — Figura$\PageIndex{15}$

La relación de lados$|x_2−x_1|$ y$|y_2−y_1|$ de lado$d$ es la misma que la de lados$a$ y$b$ de lado$c$. Utilizamos el símbolo de valor absoluto para indicar que la longitud es un número positivo porque el valor absoluto de cualquier número es positivo. (Por ejemplo,$|-3|=3$.) Los símbolos$|x_2−x_1|$ e$|y_2−y_1|$ indican que las longitudes de los lados del triángulo son positivas. Para encontrar la longitud$c$, tomar la raíz cuadrada de ambos lados del Teorema de Pitágoras.

\[c^2=a^2+b^2\rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}\]

De ello se deduce que la fórmula de distancia se da como

\[d^2={(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2\rightarrow d=\sqrt{{(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2}\]

No tenemos que usar los símbolos de valor absoluto en esta definición porque cualquier número al cuadrado es positivo.

distancia entre dos puntos

Dados los puntos finales$(x_1,y_1)$ y$(x_2,y_2)$, la distancia entre dos puntos viene dada por

\[d=\sqrt{{(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2}\]

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Finding the Distance between Two Points

Encuentra la distancia entre los puntos$(−3,−1)$ y$(2,3)$.

Solución

Veamos primero la gráfica de los dos puntos. Conecte los puntos para formar un triángulo rectángulo como en la Figura$\PageIndex{16}$

Esta es una imagen de un triángulo en un plano de coordenadas x, y. El eje x oscila entre 4 y 4 negativos. El eje y varía de 2 a 4 negativos. Los puntos (-3, -1); (2, -1); y (2, 3) se trazan y etiquetan en la gráfica. Los puntos están conectados para formar un triángulo — Figura$\PageIndex{16}$

Después, calcula la longitud de$d$ usando la fórmula de distancia.

\[\begin{align*} d&= \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2+{(y_2 - y_1)}^2}\\ &= \sqrt{{(2-(-3))}^2+{(3-(-1))}^2}\\ &= \sqrt{{(5)}^2+{(4)}^2}\\ &= \sqrt{25+16}\\ &= \sqrt{41} \end{align*}\]

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Encuentra la distancia entre dos puntos:$(1,4)$ y$(11,9)$.

Contestar: $\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Finding the Distance between Two Locations

Volvamos a la situación introducida al inicio de esta sección.

Solución

Lo primero que debemos hacer es identificar pares ordenados para describir cada posición. Si establecemos la posición inicial en el origen, podemos identificar cada uno de los otros puntos contando unidades este (derecha) y norte (arriba) en la cuadrícula. Por ejemplo, la primera parada es$1$ cuadra este y$1$ bloque norte, por lo que está en$(1,1)$. La siguiente parada es$5$ cuadras al este, por lo que está en$(5,1)$. Después de eso, viajó$3$ cuadras al este y$2$ cuadras al norte a$(8,3)$. Por último, viajó$4$ cuadras al norte hasta$(8,7)$. Podemos etiquetar estos puntos en la cuadrícula como en la Figura$\PageIndex{17}$.

Esta es una imagen de una hoja de ruta de una ciudad. El punto (1, 1) se encuentra sobre la avenida Norte y la avenida Bertau. El punto (5, 1) está en Avenida Norte y Wolf Road. El punto (8, 3) está en Mannheim Road y McLean Street. El punto (8, 7) está en Mannheim Road y Schiller Avenue. — Figura$\PageIndex{17}$

A continuación, podemos calcular la distancia. Tenga en cuenta que cada unidad de cuadrícula representa$1,000$ feet.

Desde su ubicación inicial hasta su primera parada en$(1,1)$, Tracie podría haber conducido$1,000$ pies norte y luego$1,000$ pies este, o viceversa. De cualquier manera, ella condujo$2,000$ pies hasta su primera parada.
Su segunda parada es en$(5,1)$. Entonces de$(1,1)$ a$(5,1)$, Tracie condujo$4,000$ pies hacia el este.
Su tercera parada está en$(8,3)$. Hay una serie de rutas desde$(5,1)$ hasta$(8,3)$. Cualquiera que sea la ruta que Tracie decidió utilizar, la distancia es la misma, ya que no hay calles angulares entre los dos puntos. Digamos que condujo$3,000$ pies este y luego$2,000$ pies norte para un total de$5,000$ pies.
La última parada de Tracie está en$(8,7)$. Esta es una unidad recta hacia el norte desde$(8,3)$ un total de$4,000$ pies.

A continuación, agregaremos las distancias listadas en la Tabla$\PageIndex{4}$.

Mesa$\PageIndex{4}$
Desde/A	Número de pies conducidos
$(0,0)$a$(1,1)$	$2,000$
$(1,1)$a$(5,1)$	$4,000$
$(5,1)$a$(8,3)$	$5,000$
$(8,3)$a$(8,7)$	$4,000$
Total	$15,000$

La distancia total que Tracie condujo es de$15,000$ pies, o$2.84$ millas. Esto no es, sin embargo, la distancia real entre sus posiciones inicial y final. Para encontrar esta distancia, podemos usar la fórmula de distancia entre los puntos$(0,0)$ y$(8,7)$.

\[\begin{align*} d&= \sqrt{{(0-8)}^2+{(7-0)}^2}\\ &= \sqrt{64+49}\\ &= \sqrt{113}\\ &= 10.63 \text{ units} \end{align*}\]

A$1,000$ pies por unidad de cuadrícula, la distancia entre Elmhurst, IL, y Franklin Park es de$10,630.14$ pies, o$2.01$ millas. La fórmula de distancia da como resultado un cálculo más corto porque se basa en la hipotenusa de un triángulo rectángulo, una diagonal recta desde el origen hasta el punto$(8,7)$. Quizás hayas escuchado el dicho “como vuela el cuervo”, lo que significa la distancia más corta entre dos puntos porque un cuervo puede volar en línea recta a pesar de que una persona en el suelo tiene que recorrer una distancia más larga en las carreteras existentes.

Uso de la fórmula de punto medio

Cuando se conocen los extremos de un segmento de línea, podemos encontrar el punto a medio camino entre ellos. Este punto se conoce como el punto medio y la fórmula se conoce como la fórmula del punto medio. Dados los puntos finales de un segmento de línea$(x_2,y_2)$,$(x_1,y_1)$ y, la fórmula de punto medio establece cómo encontrar las coordenadas del punto medio M.

\[M=\left (\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} \right )\]

En la Figura se muestra una vista gráfica de un punto medio$\PageIndex{18}$. Observe que los segmentos de línea a ambos lados del punto medio son congruentes.

Esta es una gráfica de líneas en un plano de coordenadas x, y con los ejes x e y que van de 0 a 6. Se trazan los puntos (x sub 1, y sub 1), (x sub 2, y sub 2), y (x sub 1 más x sub 2 en todo 2, y sub 1 más y sub 2 en todo 2). Una línea recta recorre estos tres puntos. Pares de líneas paralelas cortas bisectan las dos secciones de la línea para señalar que son equivalentes. — Figura$\PageIndex{18}$

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Finding the Midpoint of the Line Segment

Encuentra el punto medio del segmento de línea con los puntos finales$(7,−2)$ y$(9,5)$.

Solución

Usa la fórmula para encontrar el punto medio del segmento de línea.

\[\begin{align*} \left (\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} \right )&= \left (\dfrac{7+9}{2},\dfrac{-2+5}{2} \right )\\ &= \left (8,\dfrac{3}{2} \right ) \end{align*}\]

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Encuentra el punto medio del segmento de línea con puntos finales$(−2,−1)$ y$(−8,6)$.

Contestar: $\left (-5,\dfrac{5}{2} \right )$

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Finding the Center of a Circle

El diámetro de un círculo tiene puntos finales$(−1,−4)$ y$(5,−4)$. Encuentra el centro del círculo.

Solución

El centro de un círculo es el centro, o punto medio, de su diámetro. Así, la fórmula de punto medio dará como resultado el punto central.

\[\begin{align*} \left (\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2} \right )&= \left (\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{-4-4}{2}) \right )\\ &= \left (\dfrac{4}{2},-\dfrac{8}{2} \right )\\ &= (2,4) \end{align*}\]

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con el sistema de coordenadas cartesianas.

1. Trazado de puntos en el plano de coordenadas

2. Encuentra las intercepciones x e y basadas en la gráfica de una línea

Conceptos clave

Podemos ubicar, o trazar, puntos en el sistema de coordenadas cartesianas usando pares ordenados, los cuales se definen como desplazamiento desde el eje$x$ - y desplazamiento desde el eje$y$ -. Ver Ejemplo.
Una ecuación se puede graficar en el plano creando una tabla de valores y trazando puntos. Ver Ejemplo.
El uso de una calculadora gráfica o un programa de computadora hace que las ecuaciones gráficas sean más rápidas y precisas. Por lo general, las ecuaciones tienen que ser ingresadas en la forma$y=$ _____. Ver Ejemplo.
Encontrar las intercepciones$x$$y$ - y - puede definir la gráfica de una línea. Estos son los puntos donde la gráfica cruza los ejes. Ver Ejemplo.
La fórmula de distancia se deriva del Teorema de Pitágoras y se utiliza para encontrar la longitud de un segmento de línea. Ver Ejemplo y Ejemplo.
La fórmula de punto medio proporciona un método para encontrar las coordenadas del punto medio dividiendo la suma de las$x$ coordenadas y la suma de las$y$ coordenadas -de los puntos finales por$2$. Ver Ejemplo y Ejemplo.

\(x\)	\(y=2x−1\)	\((x,y)\)
\ (x\) ">\(−3\)	\ (y=2x−1\) ">\(y=2(−3)−1=−7\)	\ ((x, y)\) ">\((−3,−7)\)
\ (x\) ">\(−2\)	\ (y=2x−1\) ">\(y=2(−2)−1=−5\)	\ ((x, y)\) ">\((−2,−5)\)
\ (x\) ">\(−1\)	\ (y=2x−1\) ">\(y=2(−1)−1=−3\)	\ ((x, y)\) ">\((−1,−3)\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y=2x−1\) ">\(y=2(0)−1=−1\)	\ ((x, y)\) ">\((0,−1)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y=2x−1\) ">\(y=2(1)−1=1\)	\ ((x, y)\) ">\((1,1)\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y=2x−1\) ">\(y=2(2)−1=3\)	\ ((x, y)\) ">\((2,3)\)
\ (x\) ">\(3\)	\ (y=2x−1\) ">\(y=2(3)−1=5\)	\ ((x, y)\) ">\((3,5)\)

\(x\)	\(y=−x+2\)	\((x,y)\)
\ (x\) ">\(−5\)	\ (y=−x+2\) ">\(y=−(−5)+2=7\)	\ ((x, y)\) ">\((−5,7)\)
\ (x\) ">\(−3\)	\ (y=−x+2\) ">\(y=−(−3)+2=5\)	\ ((x, y)\) ">\((−3,5)\)
\ (x\) ">\(−1\)	\ (y=−x+2\) ">\(y=−(−1)+2=3\)	\ ((x, y)\) ">\((−1,3)\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y=−x+2\) ">\(y=−(0)+2=2\)	\ ((x, y)\) ">\((0,2)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y=−x+2\) ">\(y=−(1)+2=1\)	\ ((x, y)\) ">\((1,1)\)
\ (x\) ">\(3\)	\ (y=−x+2\) ">\(y=−(3)+2=−1\)	\ ((x, y)\) ">\((3,−1)\)
\ (x\) ">\(5\)	\ (y=−x+2\) ">\(y=−(5)+2=−3\)	\ ((x, y)\) ">\((5,−3)\)

\(x\)	\(y = 12x + 2\)	\((x,y)\)
\ (x\) ">\(-2\)	\ (y = 12x + 2\) ">\(y=12(−2)+2=1\)	\ ((x, y)\) ">\((−2,1)\)
\ (x\) ">\(-1\)	\ (y = 12x + 2\) ">\(y=12(−1)+2=32\)	\ ((x, y)\) ">\((−1,32)\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y = 12x + 2\) ">\(y=12(0)+2=2\)	\ ((x, y)\) ">\((0,2)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y = 12x + 2\) ">\(y=12(1)+2=52\)	\ ((x, y)\) ">\((1,52)\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y = 12x + 2\) ">\(y=12(2)+2=3\)	\ ((x, y)\) ">\((2,3)\)

Desde/A	Número de pies conducidos
\((0,0)\)a\((1,1)\)	\(2,000\)
\((1,1)\)a\((5,1)\)	\(4,000\)
\((5,1)\)a\((8,3)\)	\(5,000\)
\((8,3)\)a\((8,7)\)	\(4,000\)
Total	\(15,000\)