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2.3: Ecuaciones lineales en una variable

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    Objetivos de aprendizaje
    • Resolver ecuaciones en una variable algebraicamente.
    • Resolver una ecuación racional.
    • Encuentra una ecuación lineal.
    • Dadas las ecuaciones de dos líneas, determinar si sus gráficas son paralelas o perpendiculares.
    • Escribe la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada.

    Caroline es una estudiante universitaria de tiempo completo que planea unas vacaciones de primavera. Para ganar suficiente dinero para el viaje, ha tomado un trabajo de medio tiempo en el banco local que paga\($15.00/hr\), y abrió una cuenta de ahorros con un depósito inicial del 15 de\($400\) enero. Ella arregló el depósito directo de sus cheques de nómina. Si las vacaciones de primavera comienzan el 20 de marzo y el viaje costará aproximadamente\($2,500\), ¿cuántas horas tendrá que trabajar para ganar lo suficiente para pagar sus vacaciones? Si sólo puede trabajar\(4\) horas por día, ¿cuántos días a la semana tendrá que trabajar? ¿Cuántas semanas tomará? En esta sección, investigaremos problemas como este y otros, los cuales generan gráficas como la línea en la Figura\(\PageIndex{1}\).

    Plano de coordenadas donde el eje x varía de 0 a 200 en intervalos de 20 y el eje y varía de 0 a 3,000 en intervalos de 500. El eje x está etiquetado como Horas Trabajadas y el eje Y está etiquetado como Saldo de Cuenta de Ahorros. Se traza una función lineal con una intersección y de 400 con una pendiente de 15. Una línea horizontal punteada se extiende desde el punto (0,2500).
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Resolver ecuaciones lineales en una variable

    Una ecuación lineal es una ecuación de una línea recta, escrita en una variable. La única potencia de la variable es\(1\). Las ecuaciones lineales en una variable pueden tomar la forma\(ax +b=0\) y se resuelven mediante operaciones algebraicas básicas. Comenzamos clasificando las ecuaciones lineales en una variable como uno de tres tipos: identidad, condicional o inconsistente.

    • Una ecuación de identidad es verdadera para todos los valores de la variable. He aquí un ejemplo de una ecuación de identidad:\[3x=2x+x \nonumber \] El conjunto de soluciones consiste en todos los valores que hacen que la ecuación sea verdadera. Para esta ecuación, el conjunto de soluciones son todos números reales porque cualquier número real sustituido\(x\) hará que la ecuación sea verdadera.
    • Una ecuación condicional es verdadera solo para algunos valores de la variable. Por ejemplo, si vamos a resolver la ecuación\(5x+2=3x−6\), tenemos lo siguiente:\[\begin{align*} 5x+2&=3x-6 \\ 2x &=-8 \\ x&=-4 \end{align*} \] El conjunto de soluciones consta de un número:\({−4}\). Es la única solución y, por tanto, hemos resuelto una ecuación condicional.
    • Una ecuación inconsistente da como resultado una declaración falsa. Por ejemplo, si vamos a resolver\(5x−15=5(x−4)\), tenemos lo siguiente:\[\begin{align*} 5x−15 &=5x−20 \\ 5x−15-5x &= 5x−20-5x \\ −15 &\neq −20 \end{align*}\] Efectivamente,\(−15≠−20\). No hay solución porque se trata de una ecuación inconsistente.

    Resolver ecuaciones lineales en una variable implica las propiedades fundamentales de la igualdad y las operaciones algebraicas básicas. A continuación se presenta una breve revisión de esas operaciones.

    Ecuación lineal en una variable

    Una ecuación lineal en una variable se puede escribir en la forma

    \[ax+b=0\]

    donde a y b son números reales,\(a≠0\).

    Cómo: Dada una ecuación lineal en una variable, usar álgebra para resolverla

    Los siguientes pasos se utilizan para manipular una ecuación y aislar la variable desconocida, de manera que la última línea diga\(x=\) _________, si\(x\) es la desconocida. No hay un orden establecido, ya que los pasos utilizados dependen de lo que se dé:

    1. Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir una ecuación por un número o una expresión siempre y cuando hagamos lo mismo a ambos lados del signo igual. Tenga en cuenta que no podemos dividir por cero.
    2. Aplicar la propiedad distributiva según sea necesario:\(a(b+c)=ab+ac\).
    3. Aísle la variable en un lado de la ecuación.
    4. Cuando la variable se multiplica por un coeficiente en la etapa final, multiplique ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente.
    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Solving an Equation in One Variable

    Resuelve la siguiente ecuación:\(2x+7=19\).

    Solución

    Esta ecuación se puede escribir en la forma\(ax +b=0\) restando 19 de ambos lados. Sin embargo, podemos proceder a resolver la ecuación en su forma original realizando operaciones algebraicas.

    \[\begin{align*} 2x+7&=19\\ 2x&=12\qquad \text{Subtract 7 from both sides}\\ x&=6\qquad \text{Multiply both sides by } \dfrac{1}{2} \text{ or divide by } 2 \end{align*}\]

    La solución es\(6\).

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Resolver la ecuación lineal en una variable:\(2x+1=−9\).

    Contestar

    \(x=−5\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Solving When the Variable Appears on Both Sides

    Resuelve la siguiente ecuación:\(4(x−3)+12=15−5(x+6)\).

    Solución

    Aplicar propiedades algebraicas estándar.

    \[\begin{align*} 4(x-3)+12&=15-5(x+6)\\ 4x-12+12&=15-5x-30\qquad \text{Apply the distributive property}\\ 4x&=-15-5x\qquad \text{Combine like terms}\\ 9x&=-15\qquad \text{Place x terms on one side and simplify}\\ x&=-\dfrac{15}{9}\qquad \text{Multiply both sides by } \dfrac{1}{9} \text { , the reciprocal of } 9\\ x&=-\dfrac{5}{3} \end{align*}\]

    Análisis

    Este problema requiere que la propiedad distributiva se aplique dos veces, y luego se utilizan las propiedades del álgebra para llegar a la línea final,\(x=-\dfrac{5}{3}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Resolver la ecuación en una variable:\(−2(3x−1)+x=14−x\).

    Contestar

    \(x=-3\)

    Resolviendo una ecuación racional

    En esta sección, observamos ecuaciones racionales que, después de alguna manipulación, dan como resultado una ecuación lineal. Si una ecuación contiene al menos una expresión racional, se considera una ecuación racional. Recordemos que un número racional es la relación de dos números, como\(\dfrac{2}{3}\) o\(\dfrac{7}{2}\). Una expresión racional es la relación, o cociente, de dos polinomios. Aquí hay tres ejemplos.

    \[\dfrac{x+1}{x^2-4} \nonumber \]

    \[\dfrac{1}{x-3} \nonumber \]

    o

    \[\dfrac{4}{x^2+x-2} \nonumber \]

    Las ecuaciones racionales tienen una variable en el denominador en al menos uno de los términos. Nuestro objetivo es realizar operaciones algebraicas para que las variables aparezcan en el numerador. De hecho, eliminaremos todos los denominadores multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común (LCD). Encontrar el LCD es identificar una expresión que contiene la mayor potencia de todos los factores en todos los denominadores. Hacemos esto porque cuando la ecuación se multiplica por la LCD, los factores comunes en la LCD y en cada denominador serán iguales a uno y cancelarán.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Solving a Rational Equation

    Resolver la ecuación racional:

    \[\dfrac{7}{2x}-\dfrac{5}{3x}=\dfrac{22}{3} \nonumber \]

    Solución

    Tenemos tres denominadores;\(2x\),\(3x\), y\(3\). La pantalla LCD debe contener\(2x\),\(3x\), y\(3\). Un LCD de\(6x\) contiene los tres denominadores. Es decir, cada denominador se puede dividir de manera uniforme en la LCD. A continuación, multiplique ambos lados de la ecuación por la LCD\(6x\).

    \ [\ begin {align*}
    (6x)\ izquierda [\ dfrac {7} {2x} -\ dfrac {5} {3x}\ derecha] &=\ izquierda [\ dfrac {22} {3}\ derecha] (6x)\ (6x)\ izquierda (\ dfrac {7} {2x}\ derecha) -
    (6x)\ izquierda (\ dfrac {7} {2x}\ derecha) - (6x)\ izquierda (\ dfrac {7} {2x}\ derecha) - ac {5} {3x}\ right) &=\ left (\ dfrac {22} {3}\ right) (6x)\ qquad\ text {Usa la propiedad distributiva. Cancelar los factores comunes}\\
    3 (7) -2 (5) &=22 (2x)\ qquad\ text {Multiplica los factores restantes por cada numerador.} \\
    21-10&=44x\\
    11&=44x\
    \ dfrac {11} {44} &=x\
    \ dfrac {1} {4} &=x
    \ end {alinear*}\]

    Un error común que se comete al resolver ecuaciones racionales implica encontrar la LCD cuando uno de los denominadores es un binomio, dos términos agregados o restados, como\((x+1)\). Siempre considere un binomio como un factor individual, los términos no se pueden separar. Por ejemplo, supongamos que un problema tiene tres términos y los denominadores son\(x\),\(x−1\), y\(3x−3\). Primero, factorizar todos los denominadores. Entonces tenemos\(x\),\((x−1)\), y\(3(x−1)\) como los denominadores. (Tenga en cuenta los paréntesis colocados alrededor del segundo denominador.) Sólo los dos últimos denominadores tienen un factor común de\((x−1)\). La x en el primer denominador es separada de la\(x\) en los\((x−1)\) denominadores. Una manera efectiva de recordar esto es escribir denominadores factorizados y binomiales entre paréntesis, y considerar cada paréntesis como una unidad separada o un factor separado. El LCD en esta instancia se encuentra multiplicando juntos el\(x\), un factor de\((x−1)\), y el 3. Así, la pantalla LCD es la siguiente:

    \(x(x−1)3=3x(x−1)\)

    Entonces, ambos lados de la ecuación se multiplicarían por\(3x(x−1)\). Deja la pantalla LCD en forma factorizada, ya que esto facilita ver cómo se cancela cada denominador del problema.

    Otro ejemplo es un problema con dos denominadores, como\(x\) y\(x^2+2x\). Una vez que se factoriza el segundo denominador como\(x^2+2x=x(x+2)\), hay un factor común de\(x\) en ambos denominadores y el LCD es\(x(x+2)\).

    A veces tenemos una ecuación racional en forma de proporción; es decir, cuando una fracción equivale a otra fracción y no hay otros términos en la ecuación.

    \[\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\]

    Podemos usar otro método para resolver la ecuación sin encontrar la LCD: multiplicación cruzada. Multiplicamos términos cruzando sobre el signo igual.

    alt

    Multiplicar a (d) y b (c), lo que resulta en\(ad=bc\).

    Cualquier solución que haga que un denominador en la expresión original sea igual a cero debe ser excluida de las posibilidades.

    Ecuaciones racionales

    Una ecuación r acional contiene al menos una expresión racional donde la variable aparece en al menos uno de los denominadores.

    Cómo: Dada una ecuación racional, resolverla.
    1. Factorizar todos los denominadores en la ecuación.
    2. Encuentra y excluye valores que establecen cada denominador igual a cero.
    3. Encuentra la pantalla LCD.
    4. Multiplique toda la ecuación por la pantalla LCD. Si la pantalla LCD es correcta, no quedarán denominadores.
    5. Resuelve la ecuación restante.
    6. Asegúrese de verificar las soluciones en las ecuaciones originales para evitar que una solución produzca cero en un denominador
    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Solving a Rational Equation without Factoring

    Resuelve la siguiente ecuación racional:

    \(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2x}\)

    Solución

    Tenemos tres denominadores:\(x\),\(2\), y\(2x\). No se requiere factorización. El producto de los dos primeros denominadores es igual al tercer denominador, entonces, el LCD es\(2x\). Solo se excluye un valor de un conjunto de soluciones,\(0\). A continuación, multiplique toda la ecuación (ambos lados del signo igual) por\(2x\).

    \[\begin{align*} 2x\left[\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{2}\right]&=\left[\dfrac{7}{2x}\right](2x)\\ 2x\left(\dfrac{2}{x}\right)-2x\left(\dfrac{3}{2}\right)&=\left(\dfrac{7}{2x}\right)(2x)\qquad \text{Distribute } 2x\\ 2(2)-3x&=7\qquad \text{Denominators cancel out.}\\ 4-3x&=7\\ -3x&=3\\ x&=-1 \text { or } \{-1\} \end{align*}\]

    La solución propuesta es\(−1\), que no es un valor excluido, por lo que el conjunto de soluciones contiene un número\(x=−1\), o\(\{−1\}\) escrito en notación de conjunto.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Resolver la ecuación racional:

    \(\dfrac{2}{3x}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6x}\)

    Contestar

    \(x=\dfrac{10}{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Solving a Rational Equation by Factoring the Denominator

    Resuelve la siguiente ecuación racional:

    \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{4x}\)

    Solución

    Primero encuentra el denominador común. Los tres denominadores en forma factorizada son\(x,10=2⋅5\), y\(4x=2⋅2⋅x\). La expresión más pequeña que es divisible por cada uno de los denominadores es\(20x\). Solo\(x=0\) es un valor excluido. Multiplique toda la ecuación por\(20x\).

    \[\begin{align*} 20x\left(\dfrac{1}{x}\right)&= \left(\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{4x}\right)20x\\ 20&= 2x-15\\ 35&= 2x\\ \dfrac{35}{2}&= x \end{align*}\]

    La solución es\(\dfrac{35}{2}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Resolver la ecuación racional:

    \[-\dfrac{5}{2x}+\dfrac{3}{4x}=-\dfrac{7}{4} \nonumber \]

    Contestar

    \(x=1\)

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Solving Rational Equations with a Binomial in the Denominator

    Resuelve las siguientes ecuaciones racionales y establece los valores excluidos:

    1. \(\dfrac{3}{x-6}=\dfrac{5}{x}\)
    2. \(\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{5}{x-3}-\dfrac{1}{2}\)
    3. \(\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{1}{2}\)

    Solución

    a.

    Los denominadores\(x\) y no\(x−6\) tienen nada en común. Por lo tanto, el LCD es el producto\(x(x−6)\). Sin embargo, para este problema, podemos cruzarlo.

    \[\begin{align*} \dfrac{3}{x-6}&=\dfrac{5}{x}\\ 3x&=5(x-6)\qquad \text{Distribute.}\\ 3x&=5x-30\\ -2x&=-30\\ x&=15 \end{align*}\]

    La solución es\(15\). Los valores excluidos son\(6\) y\(0\).

    b.

    El LCD es\(2(x−3)\). Multiplique ambos lados de la ecuación por\(2(x−3)\).

    \[\begin{align*} 2(x-3)\left [\dfrac{x}{x-3} \right ]&= \left [\dfrac{5}{x-3}-\dfrac{1}{2} \right ]2(x-3)\\ \dfrac{2(x-3)x}{x-3}&= \dfrac{2(x-3)5}{x-3}-\dfrac{2(x-3)}{2}\\ 2x&= 10-(x-3)\\ 2x&= 13-x\\ 3x&= 13\\ x&= \dfrac{13}{3} \end{align*}\]

    La solución es\(\dfrac{13}{3}\). El valor excluido es\(3\).

    c.

    El mínimo denominador común es\(2(x−2)\). Multiplique ambos lados de la ecuación por\(x(x−2)\).

    \[\begin{align*} 2(x-2)\left [\dfrac{x}{x-2} \right ]&= \left [\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{1}{2} \right ]2(x-2)\\ 2x&= 10-(x-2)\\ 2x&= 12-x\\ 3x&= 12\\ x&= 4 \end{align*}\]

    La solución es\(4\). El valor excluido es\(2\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Resolver\(\dfrac{-3}{2x+1}=\dfrac{4}{3x+1}\). Exponer los valores excluidos.

    Contestar

    \(x=-\dfrac{7}{17}\). Los valores excluidos son\(x=−12\) y\(x=−13\).

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Solving a Rational Equation with Factored Denominators and Stating Excluded Values

    Resolver la ecuación racional después de factorizar los denominadores:\(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2x}{x^2-1}\). Exponer los valores excluidos.

    Solución

    Debemos factorizar el denominador\(x^2−1\). Reconocemos esto como la diferencia de cuadrados, y la factorizamos como\((x−1)(x+1)\). Así, la LCD que contiene cada denominador es\((x−1)(x+1)\). Multiplique toda la ecuación por la LCD, cancele los denominadores y resuelva la ecuación restante.

    \[\begin{align*} (x+1)(x-1)\left [\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-1} \right ]&= \left [\dfrac{2x}{x^2-1} \right ](x+1)(x-1)\\ 2(x-1)-(x+1)&= 2x\\ 2x-2-x-1&= 2x \text{ Distribute the negative sign}\\ -3-x&= 0\\ x&= -3 \end{align*}\]

    La solución es\(−3\). Los valores excluidos son\(1\) y\(−1\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Resolver la ecuación racional:

    \(\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x^2-x-2}\)

    Contestar

    \(x=\dfrac{1}{3}\)

    Encontrar una ecuación lineal

    Quizás la forma más familiar de una ecuación lineal es la forma pendiente-intercepción, escrita como\[y=mx+b\] dónde\(m=\text{slope}\) y\(b=\text{y−intercept.}\) Comencemos con la pendiente.

    La pendiente de una línea se refiere a la relación del cambio vertical\(y\) sobre el cambio horizontal\(x\) entre dos puntos cualesquiera de una línea. Indica la dirección en la que una línea se inclina así como su inclinación. La pendiente a veces se describe como subida sobre carrera.

    \[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

    Si la pendiente es positiva, la línea se inclinará hacia la derecha. Si la pendiente es negativa, la línea se inclinará hacia la izquierda. A medida que aumenta la pendiente, la línea se vuelve más pronunciada. Algunos ejemplos se muestran en la Figura\(\PageIndex{2}\). Las líneas indican las siguientes pendientes:\(m=−3\),\(m=2\), y\(m=\dfrac{1}{3}\).

    Plano de coordenadas con los ejes x e y que van de 10 a 10 negativos. Se trazan tres funciones lineales: y = negativo 3 veces x menos 2; y = 2 veces x más 1; e y = x sobre 3 más 2.
    Figura\(\PageIndex{2}\)
    LA TENTE DE UNA LÍNEA

    La pendiente de una línea,\(m\), representa el cambio en\(y\) sobre el cambio en\(x\). Dados dos puntos,\((x_1,y_1)\) y\((x_2,y_2)\), la siguiente fórmula determina la pendiente de una línea que contiene estos puntos:

    \[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Finding the Slope of a Line Given Two Points

    Encuentra la pendiente de una línea que pasa por los puntos\((2,−1)\) y\((−5,3)\).

    Solución

    Sustituimos los\(y\) valores -y los\(x\) valores -en la fórmula.

    \[\begin{align*} m&= \dfrac{3-(-1)}{-5-2}\\ &= \dfrac{4}{-7}\\ &= -\dfrac{4}{7} \end{align*}\]

    La pendiente es\(-\dfrac{4}{7}\)

    Análisis

    No importa qué punto se llame\((x_1,y_1)\) o\((x_2,y_2)\). Siempre y cuando seamos consistentes con el orden de los\(y\) términos y el orden de los\(x\) términos en el numerador y denominador, el cálculo arrojará el mismo resultado.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos\((−2,6)\) y\((1,4)\).

    Contestar

    \(m=-\dfrac{2}{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Identifying the Slope and y-intercept of a Line Given an Equation

    Identificar la pendiente y\(y\) -interceptar, dada la ecuación\(y=-\dfrac{3}{4}x-4\).

    Solución

    Como la línea está en\(y=mx+b\) forma, la línea dada tiene una pendiente de\(m=-\dfrac{3}{4}\). El\(y\) -intercepto es\(b=−4\).

    Análisis

    La\(y\) intersección es el punto en el que la línea cruza el\(y\) eje. En el\(y\) eje -,\(x=0\). Siempre podemos identificar la\(y\) -intercepción cuando la línea está en forma de pendiente-intercepción, ya que siempre será igual\(b\). O, simplemente sustituirlo\(x=0\) y resolver por\(y\).

    La fórmula de punto-pendiente

    Dada la pendiente y un punto en una línea, podemos encontrar la ecuación de la línea usando la fórmula punto-pendiente.

    \[y−y_1=m(x−x_1)\]

    Esta es una fórmula importante, ya que se utilizará en otras áreas del álgebra universitaria y muchas veces en el cálculo para encontrar la ecuación de una línea tangente. Solo necesitamos un punto y la pendiente de la línea para usar la fórmula. Después de sustituir la pendiente y las coordenadas de un punto en la fórmula, la simplificamos y la escribimos en forma de pendiente-intercepción.

    LA FORMULA DE PUNTOS

    Dado un punto y la pendiente, la fórmula punto-pendiente conducirá a la ecuación de una línea:

    \[y−y_1=m(x−x_1)\]

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Finding the Equation of a Line Given the Slope and One Point

    Escribe la ecuación de la línea con pendiente\(m=−3\) y pasando por el punto\((4,8)\). Escribe la ecuación final en forma de pendiente-intersección.

    Solución

    Usando la fórmula punto-pendiente, sustituya\(−3\) m y el punto\((4,8)\) por\((x_1,y_1)\).

    \[\begin{align*} y-y_1&= m(x-x_1)\\ y-8&= -3(x-4)\\ y-8&= -3x+12\\ y&= -3x+20 \end{align*}\]

    Análisis

    Tenga en cuenta que cualquier punto de la línea se puede utilizar para encontrar la ecuación. Si se hace correctamente, se obtendrá la misma ecuación final.

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Dado\(m=4\), encuentra la ecuación de la línea en forma pendiente-intercepción pasando por el punto\((2,5)\).

    Contestar

    \(y=4x−3\)

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\): Finding the Equation of a Line Passing Through Two Given Points

    Encuentra la ecuación de la línea que pasa por los puntos\((3,4)\) y\((0,−3)\). Escribe la ecuación final en forma de pendiente-intersección.

    Solución

    Primero, calculamos la pendiente usando la fórmula de pendiente y dos puntos.

    \[\begin{align*} m&= \dfrac{-3-4}{0-3}\\ m&= \dfrac{-7}{-3}\\ m&= \dfrac{7}{3}\\ \end{align*}\]

    A continuación, usamos la fórmula punto-pendiente con la pendiente de\(\dfrac{7}{3}\), y cualquiera de los puntos. Escojamos el punto\((3,4)\) para\((x_1,y_1)\).

    \[\begin{align*} y-4&= \dfrac{7}{3}(x-3)\\ y-4&= \dfrac{7}{3}x-7\\ y&= \dfrac{7}{3}x-3\\ \end{align*}\]

    En forma de pendiente-intersección, la ecuación se escribe como\(y=\dfrac{7}{3}x-3\)

    Análisis

    Para probar que se puede utilizar cualquiera de los dos puntos, usemos el segundo punto\((0,−3)\) y veamos si obtenemos la misma ecuación.

    \[\begin{align*} y-(-3)&= \dfrac{7}{3}(x-0)\\ y+3&= \dfrac{7}{3}x\\ y&= \dfrac{7}{3}x-3\\ \end{align*}\]

    Vemos que se obtendrá la misma línea usando cualquiera de los dos puntos. Esto tiene sentido porque utilizamos ambos puntos para calcular la pendiente.

    Forma estándar de una línea

    Otra forma en la que podemos representar la ecuación de una línea es en forma estándar. La forma estándar se da como

    \[Ax+By=C\]

    donde\(A\),\(B\), y\(C\) son números enteros. Los\(y\) términos\(x\) - y -están en un lado del signo igual y el término constante está en el otro lado.

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\): Finding the Equation of a Line and Writing It in Standard Form

    Encuentra la ecuación de la línea con\(m=−6\) y pasando por el punto\(\left(\dfrac{1}{4},−2\right)\). Escribe la ecuación en forma estándar.

    Solución

    Comenzamos a usar la fórmula de punto-pendiente.

    \[\begin{align*} y-(-2)&= -6\left(x-\dfrac{1}{4}\right)\\ y+2&= -6x+\dfrac{3}{2}\\ \end{align*}\]

    A partir de aquí, multiplicamos por\(2\), ya que no se permiten fracciones en forma estándar, para luego mover ambas variables a la izquierda al lado del signo igual y mover las constantes hacia la derecha.

    \[\begin{align*} 2(y+2)&= \left(-6x+\dfrac{3}{2}\right)2\\ 2y+4&= -12x+3\\ 12x+2y&= -1 \end{align*}\]

    Esta ecuación ahora está escrita en forma estándar.

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Encuentra la ecuación de la línea en forma estándar con pendiente\(m=−\dfrac{1}{3}\) y pasando por el punto\((1,13)\).

    Contestar

    \(x+3y=2\)

    Líneas verticales y horizontales

    Las ecuaciones de líneas verticales y horizontales no requieren ninguna de las fórmulas anteriores, aunque podemos usar las fórmulas para demostrar que las ecuaciones son correctas. La ecuación de una línea vertical se da como

    \[x=c\]

    donde\(c\) es una constante. La pendiente de una línea vertical es indefinida, e independientemente del\(y\) valor -valor de cualquier punto de la línea, la\(x\) coordenada -del punto será\(c\).

    Supongamos que queremos encontrar la ecuación de una línea que contenga los siguientes puntos:\((−3,−5)\),\((−3,1)\),\((−3,3)\), y\((−3,5)\). Primero, encontraremos la pendiente.

    \(m=\dfrac{5-3}{-3-(-3)}=\dfrac{2}{0}\)

    Cero en el denominador significa que la pendiente es indefinida y, por lo tanto, no podemos usar la fórmula punto-pendiente. No obstante, podemos trazar los puntos. Observe que todas las\(x\) coordenadas son iguales y nos encontramos con una línea vertical a través\(x=−3\). Ver Figura\(\PageIndex{3}\).

    La ecuación de una línea horizontal se da como

    \[y=c\]

    donde\(c\) es una constante. La pendiente de una línea horizontal es cero, y para cualquier\(x\) valor -valor de un punto en la línea, la\(y\) coordenada -será\(c\).

    Supongamos que queremos encontrar la ecuación de una línea que contenga el siguiente conjunto de puntos:\((−2,−2)\),\((0,−2)\),\((3,−2)\), y\((5,−2)\). Podemos usar la fórmula punto-pendiente. Primero, encontramos la pendiente usando dos puntos cualesquiera en la línea.

    \[\begin{align*} m&= \dfrac{-2-(-2)}{0-(-2)}\\ &= \dfrac{0}{2}\\ &= 0 \end{align*}\]

    Usa cualquier punto para\((x_1,y_1)\) en la fórmula, o usa la intersección y.

    \[\begin{align*} y-(-2)&= 0(x-3)\\ y+2&= 0\\ y&= -2 \end{align*}\]

    La gráfica es una línea horizontal a través\(y=−2\). Observe que todas las coordenadas y son iguales. Ver Figura\(\PageIndex{3}\).

    Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 7 a 4 y el eje y que va de negativo 4 a 4. Se trazan la función y = negativo 2 y la línea x = negativo 3.
    Figura\(\PageIndex{3}\): La línea x = −3 es una línea vertical. La línea y = −2 es una línea horizontal
    Ejemplo\(\PageIndex{13}\): Finding the Equation of a Line Passing Through the Given Points

    Encuentra la ecuación de la línea que pasa por los puntos dados:\((1,−3)\) y\((1,4)\).

    Solución

    La\(x\) coordenada -de ambos puntos es\(1\). Por lo tanto, tenemos una línea vertical,\(x=1\).

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Encuentra la ecuación de la línea que pasa por\((−5,2)\) y\((2,2)\).

    Contestar

    Línea horizontal:\(y=2\)

    Determinar si las gráficas de líneas son paralelas o perpendiculares

    Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones en Y. Las líneas que son paralelas entre sí nunca se cruzarán. Por ejemplo, la Figura\(\PageIndex{4}\) muestra las gráficas de diversas líneas con la misma pendiente,\(m=2\).

    Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 8 a 8 en intervalos de 2 y el eje y que va de negativo 7 a 7. Se grafican tres funciones en la misma parcela: y = 2 veces x menos 3; y = 2 veces x más 1 e y = 2 veces x más 5.
    Figura\(\PageIndex{4}\): Líneas paralelas

    Todas las líneas que se muestran en la gráfica son paralelas porque tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones en Y.

    Las líneas perpendiculares se cruzan para formar un\(90^{\circ}\) ángulo. La pendiente de una línea es el recíproco negativo de la otra. Podemos mostrar que dos líneas son perpendiculares si el producto de las dos pendientes es\(−1:m_1⋅m_2=−1\). Por ejemplo, la Figura\(\PageIndex{5}\) muestra la gráfica de dos líneas perpendiculares. Una línea tiene una pendiente de\(3\); la otra línea tiene una pendiente de\(-\dfrac{1}{3}\).

    \[\begin{align*} m_1\cdot m_2&= -1\\ 3\cdot \left (-\dfrac{1}{3} \right )&= -1\\ \end{align*}\]

    Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 3 a 6 y el eje y que va de negativo 2 a 5. Dos funciones están graficadas en la misma gráfica: y = 3 veces x menos 1 e y = negativo x/3 menos 2. Su intersección está marcada por una caja para mostrar que es un ángulo recto.
    Figura\(\PageIndex{5}\): Líneas perpendiculares
    Ejemplo\(\PageIndex{14}\): Graphing Two Equations, and Determining Whether the Lines are Parallel, Perpendicular, or Neither

    Grafique las ecuaciones de las líneas dadas, y establezca si son paralelas, perpendiculares o ninguna:\(3y=−4x+3\) y\(3x−4y=8\).

    Solución

    Lo primero que queremos hacer es reescribir las ecuaciones para que ambas ecuaciones estén en forma de pendiente-intercepción.

    Primera ecuación:

    \[\begin{align*} 3y&= -4x+3\\ y&= -\dfrac{4}{3}x+1\\ \end{align*}\]

    Segunda ecuación:

    \[\begin{align*} 3x-4y&= 8\\ -4y&= -3x+8\\ y&= \dfrac{3}{4}x-2 \end{align*}\]

    Consulte la gráfica de ambas líneas en la Figura\(\PageIndex{6}\).

    Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 4 a 5 y el eje y que va de negativo 4 a 4. Dos funciones se grafican en la misma gráfica: y = negativo 4 veces x/3 más 1 e y = 3 veces x/4 menos 2. Se coloca una caja en la intersección para señalar que forma un ángulo recto.
    Figura\(\PageIndex{6}\)

    De la gráfica, podemos ver que las líneas aparecen perpendiculares, pero debemos comparar las pendientes.

    \[\begin{align*} m_1&=-\dfrac{4}{3}\\ m_2&=\dfrac{3}{4}\\ m_1\cdot m_2&=\left(-\dfrac{4}{3}\right)\left(\dfrac{3}{4}\right)\\ &=-1 \end{align*}\]

    Las pendientes son recíprocas negativas entre sí, lo que confirma que las líneas son perpendiculares.

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Grafica las dos líneas y determina si son paralelas, perpendiculares o ninguna:\(2y−x=10\) y\(2y=x+4\).

    Contestar

    Líneas paralelas: las ecuaciones se escriben en forma de pendiente-intersección.

    Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 5 a 5 y el eje y que va de negativo 1 a 6. Dos funciones se grafican en la misma parcela: y = x/2 más 5 e y = x/2 más 2. Las líneas no se cruzan.
    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Escribir las ecuaciones de líneas paralelas o perpendiculares a una línea dada

    Como hemos aprendido, determinar si dos líneas son paralelas o perpendiculares es cuestión de encontrar las pendientes. Para escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a otra línea, seguimos los mismos principios que hacemos para encontrar la ecuación de cualquier línea. Después de encontrar la pendiente, utilice la fórmula de punto-pendiente para escribir la ecuación de la nueva línea.

    Dada una ecuación para una línea, escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a ella.
    1. Encuentra la pendiente de la línea dada. La forma más fácil de hacerlo es escribir la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
    2. Utilice la pendiente y el punto dado con la fórmula de punto-pendiente.
    3. Simplifique la forma de línea para interceptar pendiente y compare la ecuación con la línea dada.
    Ejemplo\(\PageIndex{15}\): Writing the Equation of a Line Parallel to a Given Line Passing Through a Given Point

    Escribe la ecuación de línea paralela a a\(5x+3y=1\) y pasando por el punto\((3,5)\).

    Solución

    Primero, escribiremos la ecuación en forma de pendiente-intersección para encontrar la pendiente.

    \[\begin{align*} 5x+3y&= 1\\ 3y&= -5x+1\\ y&= -\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{3} \end{align*}\]

    La pendiente es\(m=−\dfrac{5}{3}\). La intercepción y es\(13\), pero eso realmente no entra en nuestro problema, ya que lo único que necesitamos para que dos líneas sean paralelas es la misma pendiente. La única excepción es que si las\(y\) -intercepciones son iguales, entonces las dos líneas son la misma línea. El siguiente paso es usar esta pendiente y el punto dado con la fórmula punto-pendiente.

    \[\begin{align*} y-5&= -\dfrac{5}{3}(x-3)\\ y-5&= -\dfrac{5}{3}x+5\\ y&= -\dfrac{5}{3}x+10 \end{align*}\]

    La ecuación de la línea es\(y=−\dfrac{5}{3}x+10\). Ver Figura\(\PageIndex{8}\).

    Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 8 a 8 en intervalos de 2 y el eje y que va de negativo 2 a 12 en intervalos de 2. Dos funciones están graficadas en la misma gráfica: y = negativo 5 veces x/3 más 1/3 e y = negativo 5 veces x/3 más 10. Las líneas no se cruzan.
    Figura\(\PageIndex{8}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Encuentra la ecuación de la línea paralela\(5x=7+y\) y que pasa por el punto\((−1,−2)\).

    Contestar

    \(y=5x+3\)

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\): Finding the Equation of a Line Perpendicular to a Given Line Passing Through a Given Point

    Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a\(5x−3y+4=0\space(−4,1)\).

    Solución

    El primer paso es escribir la ecuación en forma de pendiente-intersección.

    \[\begin{align*} 5x-3y+4&= 0\\ -3y&= -5x-4\\ y&= \dfrac{5}{3}x+\dfrac{4}{3} \end{align*}\]

    Vemos que la pendiente es\(m=\dfrac{5}{3}\). Esto significa que la pendiente de la línea perpendicular a la línea dada es el recíproco negativo, o\(-\dfrac{3}{5}\). A continuación, utilizamos la fórmula de punto-pendiente con esta nueva pendiente y el punto dado.

    \[\begin{align*} y-1&= -\dfrac{3}{5}(x-(-4))\\ y-1&= -\dfrac{3}{5}x-\dfrac{12}{5}\\ y&= -\dfrac{3}{5}x-\dfrac{12}{5}+\dfrac{5}{5}\\ y&= -\dfrac{3}{5}x-\dfrac{7}{5} \end{align*}\]

    Medios

    Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con ecuaciones lineales.

    1. Resolver ecuaciones racionales
    2. Ecuación de una línea dada dos puntos
    3. Encontrar la ecuación de una línea perpendicular a otra línea a través de un punto dado
    4. Encontrar la ecuación de una línea paralela a otra línea a través de un punto dado

    Conceptos clave

    • Podemos resolver ecuaciones lineales en una variable en la forma\(ax +b=0\) usando propiedades algebraicas estándar. Ver Ejemplo y Ejemplo.
    • Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. Utilizamos la LCD para borrar las fracciones de una ecuación. Ver Ejemplo y Ejemplo.
    • Todas las soluciones a una ecuación racional deben verificarse dentro de la ecuación original para evitar un término indefinido, o cero en el denominador. Ver Ejemplo y Ejemplo.
    • Dados dos puntos, podemos encontrar la pendiente de una línea usando la fórmula de pendiente. Ver Ejemplo.
    • Podemos identificar la pendiente e\(y\) intercepción de una ecuación en forma de pendiente-intercepción. Ver Ejemplo.
    • Podemos encontrar la ecuación de una línea dada la pendiente y un punto. Ver Ejemplo.
    • También podemos encontrar la ecuación de una línea dada dos puntos. Encuentra el talud y usa la fórmula punto-pendiente. Ver Ejemplo.
    • La forma estándar de una línea no tiene fracciones. Ver Ejemplo.
    • Las líneas horizontales tienen una pendiente de cero y se definen como\(y=c\), donde\(c\) es una constante.
    • Las líneas verticales tienen una pendiente indefinida (cero en el denominador), y se definen como \(x=c\), donde\(c\) es una constante. Ver Ejemplo.
    • Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes\(y\) -intercepciones. Ver Ejemplo.
    • Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas entre sí a menos que una sea horizontal y la otra sea vertical. Ver Ejemplo.

    Colaboradores y Atribuciones

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