Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

2.3: Ecuaciones lineales en una variable

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Resolver ecuaciones en una variable algebraicamente.
  • Resolver una ecuación racional.
  • Encuentra una ecuación lineal.
  • Dadas las ecuaciones de dos líneas, determinar si sus gráficas son paralelas o perpendiculares.
  • Escribe la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada.

Caroline es una estudiante universitaria de tiempo completo que planea unas vacaciones de primavera. Para ganar suficiente dinero para el viaje, ha tomado un trabajo de medio tiempo en el banco local que paga$15.00/hr, y abrió una cuenta de ahorros con un depósito inicial del 15 de$400 enero. Ella arregló el depósito directo de sus cheques de nómina. Si las vacaciones de primavera comienzan el 20 de marzo y el viaje costará aproximadamente$2,500, ¿cuántas horas tendrá que trabajar para ganar lo suficiente para pagar sus vacaciones? Si sólo puede trabajar4 horas por día, ¿cuántos días a la semana tendrá que trabajar? ¿Cuántas semanas tomará? En esta sección, investigaremos problemas como este y otros, los cuales generan gráficas como la línea en la Figura2.3.1.

Plano de coordenadas donde el eje x varía de 0 a 200 en intervalos de 20 y el eje y varía de 0 a 3,000 en intervalos de 500. El eje x está etiquetado como Horas Trabajadas y el eje Y está etiquetado como Saldo de Cuenta de Ahorros. Se traza una función lineal con una intersección y de 400 con una pendiente de 15. Una línea horizontal punteada se extiende desde el punto (0,2500).
Figura2.3.1

Resolver ecuaciones lineales en una variable

Una ecuación lineal es una ecuación de una línea recta, escrita en una variable. La única potencia de la variable es1. Las ecuaciones lineales en una variable pueden tomar la formaax+b=0 y se resuelven mediante operaciones algebraicas básicas. Comenzamos clasificando las ecuaciones lineales en una variable como uno de tres tipos: identidad, condicional o inconsistente.

  • Una ecuación de identidad es verdadera para todos los valores de la variable. He aquí un ejemplo de una ecuación de identidad:3x=2x+x
    El conjunto de soluciones consiste en todos los valores que hacen que la ecuación sea verdadera. Para esta ecuación, el conjunto de soluciones son todos números reales porque cualquier número real sustituidox hará que la ecuación sea verdadera.
  • Una ecuación condicional es verdadera solo para algunos valores de la variable. Por ejemplo, si vamos a resolver la ecuación5x+2=3x6, tenemos lo siguiente:5x+2=3x62x=8x=4
    El conjunto de soluciones consta de un número:4. Es la única solución y, por tanto, hemos resuelto una ecuación condicional.
  • Una ecuación inconsistente da como resultado una declaración falsa. Por ejemplo, si vamos a resolver5x15=5(x4), tenemos lo siguiente:5x15=5x205x155x=5x205x1520
    Efectivamente,1520. No hay solución porque se trata de una ecuación inconsistente.

Resolver ecuaciones lineales en una variable implica las propiedades fundamentales de la igualdad y las operaciones algebraicas básicas. A continuación se presenta una breve revisión de esas operaciones.

Ecuación lineal en una variable

Una ecuación lineal en una variable se puede escribir en la forma

ax+b=0

donde a y b son números reales,a0.

Cómo: Dada una ecuación lineal en una variable, usar álgebra para resolverla

Los siguientes pasos se utilizan para manipular una ecuación y aislar la variable desconocida, de manera que la última línea digax= _________, six es la desconocida. No hay un orden establecido, ya que los pasos utilizados dependen de lo que se dé:

  1. Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir una ecuación por un número o una expresión siempre y cuando hagamos lo mismo a ambos lados del signo igual. Tenga en cuenta que no podemos dividir por cero.
  2. Aplicar la propiedad distributiva según sea necesario:a(b+c)=ab+ac.
  3. Aísle la variable en un lado de la ecuación.
  4. Cuando la variable se multiplica por un coeficiente en la etapa final, multiplique ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente.
Ejemplo2.3.1: Solving an Equation in One Variable

Resuelve la siguiente ecuación:2x+7=19.

Solución

Esta ecuación se puede escribir en la formaax+b=0 restando 19 de ambos lados. Sin embargo, podemos proceder a resolver la ecuación en su forma original realizando operaciones algebraicas.

2x+7=192x=12Subtract 7 from both sidesx=6Multiply both sides by 12 or divide by 2

La solución es6.

Ejercicio2.3.1

Resolver la ecuación lineal en una variable:2x+1=9.

Contestar

x=5

Ejemplo2.3.2: Solving When the Variable Appears on Both Sides

Resuelve la siguiente ecuación:4(x3)+12=155(x+6).

Solución

Aplicar propiedades algebraicas estándar.

4(x3)+12=155(x+6)4x12+12=155x30Apply the distributive property4x=155xCombine like terms9x=15Place x terms on one side and simplifyx=159Multiply both sides by 19 , the reciprocal of 9x=53

Análisis

Este problema requiere que la propiedad distributiva se aplique dos veces, y luego se utilizan las propiedades del álgebra para llegar a la línea final,x=53.

Ejercicio2.3.2

Resolver la ecuación en una variable:2(3x1)+x=14x.

Contestar

x=3

Resolviendo una ecuación racional

En esta sección, observamos ecuaciones racionales que, después de alguna manipulación, dan como resultado una ecuación lineal. Si una ecuación contiene al menos una expresión racional, se considera una ecuación racional. Recordemos que un número racional es la relación de dos números, como23 o72. Una expresión racional es la relación, o cociente, de dos polinomios. Aquí hay tres ejemplos.

x+1x24

1x3

o

4x2+x2

Las ecuaciones racionales tienen una variable en el denominador en al menos uno de los términos. Nuestro objetivo es realizar operaciones algebraicas para que las variables aparezcan en el numerador. De hecho, eliminaremos todos los denominadores multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común (LCD). Encontrar el LCD es identificar una expresión que contiene la mayor potencia de todos los factores en todos los denominadores. Hacemos esto porque cuando la ecuación se multiplica por la LCD, los factores comunes en la LCD y en cada denominador serán iguales a uno y cancelarán.

Ejemplo2.3.3: Solving a Rational Equation

Resolver la ecuación racional:

72x53x=223

Solución

Tenemos tres denominadores;2x,3x, y3. La pantalla LCD debe contener2x,3x, y3. Un LCD de6x contiene los tres denominadores. Es decir, cada denominador se puede dividir de manera uniforme en la LCD. A continuación, multiplique ambos lados de la ecuación por la LCD6x.

\ [\ begin {align*}
(6x)\ izquierda [\ dfrac {7} {2x} -\ dfrac {5} {3x}\ derecha] &=\ izquierda [\ dfrac {22} {3}\ derecha] (6x)\ (6x)\ izquierda (\ dfrac {7} {2x}\ derecha) -
(6x)\ izquierda (\ dfrac {7} {2x}\ derecha) - (6x)\ izquierda (\ dfrac {7} {2x}\ derecha) - ac {5} {3x}\ right) &=\ left (\ dfrac {22} {3}\ right) (6x)\ qquad\ text {Usa la propiedad distributiva. Cancelar los factores comunes}\\
3 (7) -2 (5) &=22 (2x)\ qquad\ text {Multiplica los factores restantes por cada numerador.} \\
21-10&=44x\\
11&=44x\
\ dfrac {11} {44} &=x\
\ dfrac {1} {4} &=x
\ end {alinear*}\]

Un error común que se comete al resolver ecuaciones racionales implica encontrar la LCD cuando uno de los denominadores es un binomio, dos términos agregados o restados, como(x+1). Siempre considere un binomio como un factor individual, los términos no se pueden separar. Por ejemplo, supongamos que un problema tiene tres términos y los denominadores sonx,x1, y3x3. Primero, factorizar todos los denominadores. Entonces tenemosx,(x1), y3(x1) como los denominadores. (Tenga en cuenta los paréntesis colocados alrededor del segundo denominador.) Sólo los dos últimos denominadores tienen un factor común de(x1). La x en el primer denominador es separada de lax en los(x1) denominadores. Una manera efectiva de recordar esto es escribir denominadores factorizados y binomiales entre paréntesis, y considerar cada paréntesis como una unidad separada o un factor separado. El LCD en esta instancia se encuentra multiplicando juntos elx, un factor de(x1), y el 3. Así, la pantalla LCD es la siguiente:

x(x1)3=3x(x1)

Entonces, ambos lados de la ecuación se multiplicarían por3x(x1). Deja la pantalla LCD en forma factorizada, ya que esto facilita ver cómo se cancela cada denominador del problema.

Otro ejemplo es un problema con dos denominadores, comox yx2+2x. Una vez que se factoriza el segundo denominador comox2+2x=x(x+2), hay un factor común dex en ambos denominadores y el LCD esx(x+2).

A veces tenemos una ecuación racional en forma de proporción; es decir, cuando una fracción equivale a otra fracción y no hay otros términos en la ecuación.

ab=cd

Podemos usar otro método para resolver la ecuación sin encontrar la LCD: multiplicación cruzada. Multiplicamos términos cruzando sobre el signo igual.

alt

Multiplicar a (d) y b (c), lo que resulta enad=bc.

Cualquier solución que haga que un denominador en la expresión original sea igual a cero debe ser excluida de las posibilidades.

Ecuaciones racionales

Una ecuación r acional contiene al menos una expresión racional donde la variable aparece en al menos uno de los denominadores.

Cómo: Dada una ecuación racional, resolverla.
  1. Factorizar todos los denominadores en la ecuación.
  2. Encuentra y excluye valores que establecen cada denominador igual a cero.
  3. Encuentra la pantalla LCD.
  4. Multiplique toda la ecuación por la pantalla LCD. Si la pantalla LCD es correcta, no quedarán denominadores.
  5. Resuelve la ecuación restante.
  6. Asegúrese de verificar las soluciones en las ecuaciones originales para evitar que una solución produzca cero en un denominador
Ejemplo2.3.4: Solving a Rational Equation without Factoring

Resuelve la siguiente ecuación racional:

2x32=72x

Solución

Tenemos tres denominadores:x,2, y2x. No se requiere factorización. El producto de los dos primeros denominadores es igual al tercer denominador, entonces, el LCD es2x. Solo se excluye un valor de un conjunto de soluciones,0. A continuación, multiplique toda la ecuación (ambos lados del signo igual) por2x.

2x[2x32]=[72x](2x)2x(2x)2x(32)=(72x)(2x)Distribute 2x2(2)3x=7Denominators cancel out.43x=73x=3x=1 or {1}

La solución propuesta es1, que no es un valor excluido, por lo que el conjunto de soluciones contiene un númerox=1, o{1} escrito en notación de conjunto.

Ejercicio2.3.4

Resolver la ecuación racional:

23x=1416x

Contestar

x=103

Ejemplo2.3.5: Solving a Rational Equation by Factoring the Denominator

Resuelve la siguiente ecuación racional:

1x=11034x

Solución

Primero encuentra el denominador común. Los tres denominadores en forma factorizada sonx,10=25, y4x=22x. La expresión más pequeña que es divisible por cada uno de los denominadores es20x. Solox=0 es un valor excluido. Multiplique toda la ecuación por20x.

20x(1x)=(11034x)20x20=2x1535=2x352=x

La solución es352.

Ejercicio2.3.5

Resolver la ecuación racional:

52x+34x=74

Contestar

x=1

Ejemplo2.3.6: Solving Rational Equations with a Binomial in the Denominator

Resuelve las siguientes ecuaciones racionales y establece los valores excluidos:

  1. 3x6=5x
  2. xx3=5x312
  3. xx2=5x212

Solución

a.

Los denominadoresx y nox6 tienen nada en común. Por lo tanto, el LCD es el productox(x6). Sin embargo, para este problema, podemos cruzarlo.

3x6=5x3x=5(x6)Distribute.3x=5x302x=30x=15

La solución es15. Los valores excluidos son6 y0.

b.

El LCD es2(x3). Multiplique ambos lados de la ecuación por2(x3).

2(x3)[xx3]=[5x312]2(x3)2(x3)xx3=2(x3)5x32(x3)22x=10(x3)2x=13x3x=13x=133

La solución es133. El valor excluido es3.

c.

El mínimo denominador común es2(x2). Multiplique ambos lados de la ecuación porx(x2).

2(x2)[xx2]=[5x212]2(x2)2x=10(x2)2x=12x3x=12x=4

La solución es4. El valor excluido es2.

Ejercicio2.3.6

Resolver32x+1=43x+1. Exponer los valores excluidos.

Contestar

x=717. Los valores excluidos sonx=12 yx=13.

Ejemplo2.3.7: Solving a Rational Equation with Factored Denominators and Stating Excluded Values

Resolver la ecuación racional después de factorizar los denominadores:2x+11x1=2xx21. Exponer los valores excluidos.

Solución

Debemos factorizar el denominadorx21. Reconocemos esto como la diferencia de cuadrados, y la factorizamos como(x1)(x+1). Así, la LCD que contiene cada denominador es(x1)(x+1). Multiplique toda la ecuación por la LCD, cancele los denominadores y resuelva la ecuación restante.

(x+1)(x1)[2x+11x1]=[2xx21](x+1)(x1)2(x1)(x+1)=2x2x2x1=2x Distribute the negative sign3x=0x=3

La solución es3. Los valores excluidos son1 y1.

Ejercicio2.3.7

Resolver la ecuación racional:

2x2+1x+1=1x2x2

Contestar

x=13

Encontrar una ecuación lineal

Quizás la forma más familiar de una ecuación lineal es la forma pendiente-intercepción, escrita comoy=mx+b

dóndem=slope yb=y−intercept. Comencemos con la pendiente.

La pendiente de una línea se refiere a la relación del cambio verticaly sobre el cambio horizontalx entre dos puntos cualesquiera de una línea. Indica la dirección en la que una línea se inclina así como su inclinación. La pendiente a veces se describe como subida sobre carrera.

m=y2y1x2x1

Si la pendiente es positiva, la línea se inclinará hacia la derecha. Si la pendiente es negativa, la línea se inclinará hacia la izquierda. A medida que aumenta la pendiente, la línea se vuelve más pronunciada. Algunos ejemplos se muestran en la Figura2.3.2. Las líneas indican las siguientes pendientes:m=3,m=2, ym=13.

Plano de coordenadas con los ejes x e y que van de 10 a 10 negativos. Se trazan tres funciones lineales: y = negativo 3 veces x menos 2; y = 2 veces x más 1; e y = x sobre 3 más 2.
Figura2.3.2
LA TENTE DE UNA LÍNEA

La pendiente de una línea,m, representa el cambio eny sobre el cambio enx. Dados dos puntos,(x1,y1) y(x2,y2), la siguiente fórmula determina la pendiente de una línea que contiene estos puntos:

m=y2y1x2x1

Ejemplo2.3.8: Finding the Slope of a Line Given Two Points

Encuentra la pendiente de una línea que pasa por los puntos(2,1) y(5,3).

Solución

Sustituimos losy valores -y losx valores -en la fórmula.

m=3(1)52=47=47

La pendiente es47

Análisis

No importa qué punto se llame(x1,y1) o(x2,y2). Siempre y cuando seamos consistentes con el orden de losy términos y el orden de losx términos en el numerador y denominador, el cálculo arrojará el mismo resultado.

Ejercicio2.3.8

Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos(2,6) y(1,4).

Contestar

m=23

Ejemplo2.3.9: Identifying the Slope and y-intercept of a Line Given an Equation

Identificar la pendiente yy -interceptar, dada la ecuacióny=34x4.

Solución

Como la línea está eny=mx+b forma, la línea dada tiene una pendiente dem=34. Ely -intercepto esb=4.

Análisis

Lay intersección es el punto en el que la línea cruza ely eje. En ely eje -,x=0. Siempre podemos identificar lay -intercepción cuando la línea está en forma de pendiente-intercepción, ya que siempre será igualb. O, simplemente sustituirlox=0 y resolver pory.

La fórmula de punto-pendiente

Dada la pendiente y un punto en una línea, podemos encontrar la ecuación de la línea usando la fórmula punto-pendiente.

yy1=m(xx1)

Esta es una fórmula importante, ya que se utilizará en otras áreas del álgebra universitaria y muchas veces en el cálculo para encontrar la ecuación de una línea tangente. Solo necesitamos un punto y la pendiente de la línea para usar la fórmula. Después de sustituir la pendiente y las coordenadas de un punto en la fórmula, la simplificamos y la escribimos en forma de pendiente-intercepción.

LA FORMULA DE PUNTOS

Dado un punto y la pendiente, la fórmula punto-pendiente conducirá a la ecuación de una línea:

yy1=m(xx1)

Ejemplo2.3.10: Finding the Equation of a Line Given the Slope and One Point

Escribe la ecuación de la línea con pendientem=3 y pasando por el punto(4,8). Escribe la ecuación final en forma de pendiente-intersección.

Solución

Usando la fórmula punto-pendiente, sustituya3 m y el punto(4,8) por(x1,y1).

yy1=m(xx1)y8=3(x4)y8=3x+12y=3x+20

Análisis

Tenga en cuenta que cualquier punto de la línea se puede utilizar para encontrar la ecuación. Si se hace correctamente, se obtendrá la misma ecuación final.

Ejercicio2.3.10

Dadom=4, encuentra la ecuación de la línea en forma pendiente-intercepción pasando por el punto(2,5).

Contestar

y=4x3

Ejemplo2.3.11: Finding the Equation of a Line Passing Through Two Given Points

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por los puntos(3,4) y(0,3). Escribe la ecuación final en forma de pendiente-intersección.

Solución

Primero, calculamos la pendiente usando la fórmula de pendiente y dos puntos.

m=3403m=73m=73

A continuación, usamos la fórmula punto-pendiente con la pendiente de73, y cualquiera de los puntos. Escojamos el punto(3,4) para(x1,y1).

y4=73(x3)y4=73x7y=73x3

En forma de pendiente-intersección, la ecuación se escribe comoy=73x3

Análisis

Para probar que se puede utilizar cualquiera de los dos puntos, usemos el segundo punto(0,3) y veamos si obtenemos la misma ecuación.

y(3)=73(x0)y+3=73xy=73x3

Vemos que se obtendrá la misma línea usando cualquiera de los dos puntos. Esto tiene sentido porque utilizamos ambos puntos para calcular la pendiente.

Forma estándar de una línea

Otra forma en la que podemos representar la ecuación de una línea es en forma estándar. La forma estándar se da como

Ax+By=C

dondeA,B, yC son números enteros. Losy términosx - y -están en un lado del signo igual y el término constante está en el otro lado.

Ejemplo2.3.12: Finding the Equation of a Line and Writing It in Standard Form

Encuentra la ecuación de la línea conm=6 y pasando por el punto(14,2). Escribe la ecuación en forma estándar.

Solución

Comenzamos a usar la fórmula de punto-pendiente.

y(2)=6(x14)y+2=6x+32

A partir de aquí, multiplicamos por2, ya que no se permiten fracciones en forma estándar, para luego mover ambas variables a la izquierda al lado del signo igual y mover las constantes hacia la derecha.

2(y+2)=(6x+32)22y+4=12x+312x+2y=1

Esta ecuación ahora está escrita en forma estándar.

Ejercicio2.3.12

Encuentra la ecuación de la línea en forma estándar con pendientem=13 y pasando por el punto(1,13).

Contestar

x+3y=2

Líneas verticales y horizontales

Las ecuaciones de líneas verticales y horizontales no requieren ninguna de las fórmulas anteriores, aunque podemos usar las fórmulas para demostrar que las ecuaciones son correctas. La ecuación de una línea vertical se da como

x=c

dondec es una constante. La pendiente de una línea vertical es indefinida, e independientemente dely valor -valor de cualquier punto de la línea, lax coordenada -del punto serác.

Supongamos que queremos encontrar la ecuación de una línea que contenga los siguientes puntos:(3,5),(3,1),(3,3), y(3,5). Primero, encontraremos la pendiente.

m=533(3)=20

Cero en el denominador significa que la pendiente es indefinida y, por lo tanto, no podemos usar la fórmula punto-pendiente. No obstante, podemos trazar los puntos. Observe que todas lasx coordenadas son iguales y nos encontramos con una línea vertical a travésx=3. Ver Figura2.3.3.

La ecuación de una línea horizontal se da como

y=c

dondec es una constante. La pendiente de una línea horizontal es cero, y para cualquierx valor -valor de un punto en la línea, lay coordenada -serác.

Supongamos que queremos encontrar la ecuación de una línea que contenga el siguiente conjunto de puntos:(2,2),(0,2),(3,2), y(5,2). Podemos usar la fórmula punto-pendiente. Primero, encontramos la pendiente usando dos puntos cualesquiera en la línea.

m=2(2)0(2)=02=0

Usa cualquier punto para(x1,y1) en la fórmula, o usa la intersección y.

y(2)=0(x3)y+2=0y=2

La gráfica es una línea horizontal a travésy=2. Observe que todas las coordenadas y son iguales. Ver Figura2.3.3.

Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 7 a 4 y el eje y que va de negativo 4 a 4. Se trazan la función y = negativo 2 y la línea x = negativo 3.
Figura2.3.3: La línea x = −3 es una línea vertical. La línea y = −2 es una línea horizontal
Ejemplo2.3.13: Finding the Equation of a Line Passing Through the Given Points

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por los puntos dados:(1,3) y(1,4).

Solución

Lax coordenada -de ambos puntos es1. Por lo tanto, tenemos una línea vertical,x=1.

Ejercicio2.3.13

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por(5,2) y(2,2).

Contestar

Línea horizontal:y=2

Determinar si las gráficas de líneas son paralelas o perpendiculares

Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones en Y. Las líneas que son paralelas entre sí nunca se cruzarán. Por ejemplo, la Figura2.3.4 muestra las gráficas de diversas líneas con la misma pendiente,m=2.

Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 8 a 8 en intervalos de 2 y el eje y que va de negativo 7 a 7. Se grafican tres funciones en la misma parcela: y = 2 veces x menos 3; y = 2 veces x más 1 e y = 2 veces x más 5.
Figura2.3.4: Líneas paralelas

Todas las líneas que se muestran en la gráfica son paralelas porque tienen la misma pendiente y diferentes intercepciones en Y.

Las líneas perpendiculares se cruzan para formar un90 ángulo. La pendiente de una línea es el recíproco negativo de la otra. Podemos mostrar que dos líneas son perpendiculares si el producto de las dos pendientes es1:m1m2=1. Por ejemplo, la Figura2.3.5 muestra la gráfica de dos líneas perpendiculares. Una línea tiene una pendiente de3; la otra línea tiene una pendiente de13.

m1m2=13(13)=1

Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 3 a 6 y el eje y que va de negativo 2 a 5. Dos funciones están graficadas en la misma gráfica: y = 3 veces x menos 1 e y = negativo x/3 menos 2. Su intersección está marcada por una caja para mostrar que es un ángulo recto.
Figura2.3.5: Líneas perpendiculares
Ejemplo2.3.14: Graphing Two Equations, and Determining Whether the Lines are Parallel, Perpendicular, or Neither

Grafique las ecuaciones de las líneas dadas, y establezca si son paralelas, perpendiculares o ninguna:3y=4x+3 y3x4y=8.

Solución

Lo primero que queremos hacer es reescribir las ecuaciones para que ambas ecuaciones estén en forma de pendiente-intercepción.

Primera ecuación:

3y=4x+3y=43x+1

Segunda ecuación:

3x4y=84y=3x+8y=34x2

Consulte la gráfica de ambas líneas en la Figura2.3.6.

Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 4 a 5 y el eje y que va de negativo 4 a 4. Dos funciones se grafican en la misma gráfica: y = negativo 4 veces x/3 más 1 e y = 3 veces x/4 menos 2. Se coloca una caja en la intersección para señalar que forma un ángulo recto.
Figura2.3.6

De la gráfica, podemos ver que las líneas aparecen perpendiculares, pero debemos comparar las pendientes.

m1=43m2=34m1m2=(43)(34)=1

Las pendientes son recíprocas negativas entre sí, lo que confirma que las líneas son perpendiculares.

Ejercicio2.3.14

Grafica las dos líneas y determina si son paralelas, perpendiculares o ninguna:2yx=10 y2y=x+4.

Contestar

Líneas paralelas: las ecuaciones se escriben en forma de pendiente-intersección.

Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 5 a 5 y el eje y que va de negativo 1 a 6. Dos funciones se grafican en la misma parcela: y = x/2 más 5 e y = x/2 más 2. Las líneas no se cruzan.
Figura2.3.7

Escribir las ecuaciones de líneas paralelas o perpendiculares a una línea dada

Como hemos aprendido, determinar si dos líneas son paralelas o perpendiculares es cuestión de encontrar las pendientes. Para escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a otra línea, seguimos los mismos principios que hacemos para encontrar la ecuación de cualquier línea. Después de encontrar la pendiente, utilice la fórmula de punto-pendiente para escribir la ecuación de la nueva línea.

Dada una ecuación para una línea, escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a ella.
  1. Encuentra la pendiente de la línea dada. La forma más fácil de hacerlo es escribir la ecuación en forma de pendiente-intercepción.
  2. Utilice la pendiente y el punto dado con la fórmula de punto-pendiente.
  3. Simplifique la forma de línea para interceptar pendiente y compare la ecuación con la línea dada.
Ejemplo2.3.15: Writing the Equation of a Line Parallel to a Given Line Passing Through a Given Point

Escribe la ecuación de línea paralela a a5x+3y=1 y pasando por el punto(3,5).

Solución

Primero, escribiremos la ecuación en forma de pendiente-intersección para encontrar la pendiente.

5x+3y=13y=5x+1y=53x+13

La pendiente esm=53. La intercepción y es13, pero eso realmente no entra en nuestro problema, ya que lo único que necesitamos para que dos líneas sean paralelas es la misma pendiente. La única excepción es que si lasy -intercepciones son iguales, entonces las dos líneas son la misma línea. El siguiente paso es usar esta pendiente y el punto dado con la fórmula punto-pendiente.

y5=53(x3)y5=53x+5y=53x+10

La ecuación de la línea esy=53x+10. Ver Figura2.3.8.

Plano de coordenadas con el eje x que va de negativo 8 a 8 en intervalos de 2 y el eje y que va de negativo 2 a 12 en intervalos de 2. Dos funciones están graficadas en la misma gráfica: y = negativo 5 veces x/3 más 1/3 e y = negativo 5 veces x/3 más 10. Las líneas no se cruzan.
Figura2.3.8
Ejercicio2.3.15

Encuentra la ecuación de la línea paralela5x=7+y y que pasa por el punto(1,2).

Contestar

y=5x+3

Ejemplo2.3.16: Finding the Equation of a Line Perpendicular to a Given Line Passing Through a Given Point

Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a5x3y+4=0 (4,1).

Solución

El primer paso es escribir la ecuación en forma de pendiente-intersección.

5x3y+4=03y=5x4y=53x+43

Vemos que la pendiente esm=53. Esto significa que la pendiente de la línea perpendicular a la línea dada es el recíproco negativo, o35. A continuación, utilizamos la fórmula de punto-pendiente con esta nueva pendiente y el punto dado.

y1=35(x(4))y1=35x125y=35x125+55y=35x75

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con ecuaciones lineales.

  1. Resolver ecuaciones racionales
  2. Ecuación de una línea dada dos puntos
  3. Encontrar la ecuación de una línea perpendicular a otra línea a través de un punto dado
  4. Encontrar la ecuación de una línea paralela a otra línea a través de un punto dado

Conceptos clave

  • Podemos resolver ecuaciones lineales en una variable en la formaax+b=0 usando propiedades algebraicas estándar. Ver Ejemplo y Ejemplo.
  • Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. Utilizamos la LCD para borrar las fracciones de una ecuación. Ver Ejemplo y Ejemplo.
  • Todas las soluciones a una ecuación racional deben verificarse dentro de la ecuación original para evitar un término indefinido, o cero en el denominador. Ver Ejemplo y Ejemplo.
  • Dados dos puntos, podemos encontrar la pendiente de una línea usando la fórmula de pendiente. Ver Ejemplo.
  • Podemos identificar la pendiente ey intercepción de una ecuación en forma de pendiente-intercepción. Ver Ejemplo.
  • Podemos encontrar la ecuación de una línea dada la pendiente y un punto. Ver Ejemplo.
  • También podemos encontrar la ecuación de una línea dada dos puntos. Encuentra el talud y usa la fórmula punto-pendiente. Ver Ejemplo.
  • La forma estándar de una línea no tiene fracciones. Ver Ejemplo.
  • Las líneas horizontales tienen una pendiente de cero y se definen comoy=c, dondec es una constante.
  • Las líneas verticales tienen una pendiente indefinida (cero en el denominador), y se definen como \(x=c\), dondec es una constante. Ver Ejemplo.
  • Las líneas paralelas tienen la misma pendiente y diferentesy -intercepciones. Ver Ejemplo.
  • Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas entre sí a menos que una sea horizontal y la otra sea vertical. Ver Ejemplo.

Colaboradores y Atribuciones

Template:ContribOpenStaxAlgebra


This page titled 2.3: Ecuaciones lineales en una variable is shared under a CC BY 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by OpenStax via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

Support Center

How can we help?