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LibreTexts Español

6.6: Propiedades logarítmicas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Utilice la regla del producto para logaritmos.
  • Utilice la regla del cociente para logaritmos.
  • Usa la regla de potencia para logaritmos.
  • Expandir expresiones logarítmicas.
  • Condensar expresiones logarítmicas.
  • Utilice la fórmula de cambio de base para logaritmos.

En química, la escala de pH se utiliza como medida de la acidez o alcalinidad de una sustancia. Sustancias con un pH menor que7 se consideran ácidas, y sustancias con un pH mayor al que7 se dice que son alcalinas. Nuestros cuerpos, por ejemplo, deben mantener un pH cercano para que7.35 las enzimas funcionen correctamente. Para tener una idea de lo que es ácido y lo que es alcalino, considere los siguientes niveles de pH de algunas sustancias comunes:

  • Ácido de la batería:0.8
  • Ácido estomacal:2.7
  • Zumo de naranja:3.3
  • Agua pura:7 a25C
  • Sangre humana:7.35
  • Coco fresco:7.8
  • Hidróxido de sodio (lejía):14

Para determinar si una solución es ácida o alcalina, encontramos su pH, que es una medida del número de iones de hidrógeno activos positivos en la solución. El pH se define por la siguiente fórmula, donde[H+] es la concentración de iones hidrógeno en la solución

pH=log([H+])=log(1[H+])

La equivalencia de Ecuaciones\ ref {eq1} y\ ref {eq2} es una de las propiedades logaritmos que examinaremos en esta sección.

Prueba del pH del ácido clorhídrico.
Figura6.6.1: El pH del ácido clorhídrico se prueba con papel tornasol. (crédito: David Berardan).

Uso de la regla de producto para logaritmos

Recordemos que las funciones logarítmicas y exponenciales se “deshacen” entre sí. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. Primero, las siguientes propiedades son fáciles de probar.

logb1=0logbb=1

Por ejemplo,log51=0 ya que50=1. Ylog55=1 desde entonces51=5.

A continuación, tenemos la propiedad inversa.

logb(bx)=xblogbx=x,x>0

Por ejemplo, para evaluarlog(100), podemos reescribir el logaritmo aslog10(102), y luego aplicar la propiedad inversalogb(bx)=x para obtenerlog10(102)=2.

Para evaluareln(7), podemos reescribir el logaritmo comoeloge7, y luego aplicar la propiedad inversablogbx=x para obtenereloge7=7.

Por último, tenemos la propiedad uno-a-uno.

logbM=logbN if and only if M=N

Podemos usar la propiedad uno a uno para resolver la ecuaciónlog3(3x)=log3(2x+5) parax. Como las bases son las mismas, podemos aplicar la propiedad uno a uno estableciendo los argumentos iguales y resolviendo parax:

3x=2x+5Establezca los argumentos iguales.

x=5Restar2x.

Pero, ¿qué pasa con la ecuaciónlog3(3x)+log3(2x+5)=2? La propiedad uno a uno no nos ayuda en esta instancia. Antes de que podamos resolver una ecuación como esta, necesitamos un método para combinar términos en el lado izquierdo de la ecuación.

Recordemos que utilizamos la regla de producto de exponentes para combinar el producto de exponentes agregando:xaxb=xa+b. Tenemos una propiedad similar para logaritmos, llamada regla de producto para logaritmos, que dice que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos. Debido a que los logs son exponentes, y nos multiplicamos como bases, podemos sumar los exponentes. Usaremos la propiedad inversa para derivar la regla del producto a continuación.

Dado cualquier número realx y números reales positivosMN,, yb, dóndeb1, mostraremos

logb(MN)=logb(M)+logb(N).

Dejarm=logbM yn=logbN. En forma exponencial, estas ecuaciones sonbm=M ybn=N. De ello se deduce que

logb(MN)=logb(bmbn)Substitute for M and N=logb(bm+n)Apply the product rule for exponents=m+nApply the inverse property of logs=logb(M)+logb(N)Substitute for m and n

Tenga en cuenta que las aplicaciones repetidas de la regla del producto para logaritmos nos permiten simplificar el logaritmo del producto de cualquier número de factores. Por ejemplo, considerelogb(wxyz). Usando la regla del producto para logaritmos, podemos reescribir este logaritmo de un producto como la suma de logaritmos de sus factores:

logb(wxyz)=logbw+logbx+logby+logbz

La regla del producto para logaritmos

La regla de producto para logaritmos se puede utilizar para simplificar un logaritmo de un producto reescribiéndolo como una suma de logaritmos individuales.

logb(MN)=logb(M)+logb(N) for b>0

Cómo: Dado el logaritmo de un producto, utilizar la regla de producto de logaritmos para escribir una suma equivalente de logaritmos
  1. Factorizar el argumento completamente, expresando cada factor de número entero como producto de primos.
  2. Escribe la expresión equivalente sumando los logaritmos de cada factor.
Ejemplo6.6.1: Using the Product Rule for Logarithms

Ampliarlog3(30x(3x+4)).

Solución

Comenzamos factorizando el argumento por completo, expresándonos30 como producto de primos.

log3(30x(3x+4))=log3(235x(3x+4))

A continuación escribimos la ecuación equivalente sumando los logaritmos de cada factor.

log3(30x(3x+4))=log3(2)+log3(3)+log3(5)+log3(x)+log3(3x+4)

Ejercicio6.6.1

Ampliarlogb(8k).

Contestar

logb2+logb2+logb2+logbk=3logb2+logbk

Uso de la regla del cociente para logaritmos

Para los cocientes, tenemos una regla similar para logaritmos. Recordemos que utilizamos la regla del cociente de exponentes para combinar el cociente de exponentes restando:xab=xab. La regla del cociente para logaritmos dice que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos.

La regla del cociente para logaritmos

La regla del cociente para logaritmos se puede utilizar para simplificar un logaritmo o un cociente reescribiéndolo como la diferencia de logaritmos individuales.

logb(MN)=logbMlogbN

Al igual que con la regla del producto, podemos usar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente.

Prueba

Dado cualquier número realx y números reales positivosM,N, y b, b, dondeb1, mostraremos

logb(MN)=logb(M)logb(N).

Dejarm=logbM yn=logbN. En forma exponencial, estas ecuaciones sonbm=M ybn=N. De ello se deduce que

logb(MN)=logb(bmbn)Substitute for M and N=logb(bmn)Apply the quotient rule for exponents=mnApply the inverse property of logs=logb(M)logb(N)Substitute for m and n

Por ejemplo, para expandirnoslog(2x2+6x3x+9), primero debemos expresar el cociente en términos más bajos. Factorización y cancelación obtenemos,

log(2x2+6x3x+9)=log(2x(x+3)3(x+3))Factor the numerator and denominator=log(2x3)Cancel the common factors

A continuación aplicamos la regla del cociente restando el logaritmo del denominador del logaritmo del numerador. Después aplicamos la regla del producto.

log(2x3)=log(2x)log(3)=log(2)+log(x)log(3)

Cómo: Dado el logaritmo de un cociente, usar la regla de cociente de logaritmos para escribir una diferencia equivalente de logaritmos
  1. Expresar el argumento en términos más bajos factorizando el numerador y denominador y cancelando términos comunes.
  2. Escribe la expresión equivalente restando el logaritmo del denominador del logaritmo del numerador.
  3. Verifique para ver que cada término esté completamente expandido. De no ser así, aplique la regla del producto para que los logaritmos se expandan completamente.
Ejemplo6.6.2: Using the Quotient Rule for Logarithms

Ampliarlog2(15x(x1)(3x+4)(2x)).

Solución

Primero observamos que el cociente está factorizado y en términos más bajos, por lo que aplicamos la regla del cociente.

log2(15x(x1)(3x+4)(2x))=log2(15x(x1))log2((3x+4)(2x))

Observe que los términos resultantes son logaritmos de productos. Para expandirnos por completo, aplicamos la regla del producto, señalando que los factores primos del factor 15 son 3 y 5.

log2(15x(x1))log2((3x+4)(2x))=[log2(3)+log2(5)+log2(x)+log2(x1)][log2(3x+4)+log2(2x)]=log2(3)+log2(5)+log2(x)+log2(x1)log2(3x+4)log2(2x)

Análisis

Hay excepciones a considerar en este y ejemplos posteriores. Primero, porque los denominadores nunca deben ser cero, esta expresión no está definida parax=43 yx=2. También, dado que el argumento de un logaritmo debe ser positivo, observamos a medida que observamos el logaritmo expandido, quex>0,x>1,x>43, yx<2. Combinar estas condiciones está más allá del alcance de esta sección, y no las consideraremos aquí ni en ejercicios posteriores.

Ejercicio6.6.2

Ampliarlog3(7x2+21x7x(x1)(x2)).

Contestar

log3(x+3)log3(x1)log3(x2)

Uso de la regla de poder para logaritmos

Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente, pero ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, comox2? Un método es el siguiente:

logb(x2)=logb(xx)=logbx+logbx=2logbx

Observe que utilizamos la regla del producto para logaritmos para encontrar una solución para el ejemplo anterior. Al hacerlo, hemos derivado la regla de potencia para logaritmos, que dice que el log de una potencia es igual al exponente multiplicado por el log de la base. Hay que tener en cuenta que, aunque la entrada a un logaritmo puede no estar escrita como una potencia, podemos cambiarla a una potencia. Por ejemplo,

100=1023=3121e=e1

La regla de poder para logaritmos

La regla de potencia para logaritmos se puede utilizar para simplificar el logaritmo de una potencia reescribiéndola como el producto del exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

logb(Mn)=nlogbM

Cómo: Dado el logaritmo de una potencia, usar la regla de poder de logaritmos para escribir un producto equivalente de un factor y un logaritmo
  1. Expresar el argumento como un poder, si es necesario.
  2. Escribe la expresión equivalente multiplicando el exponente por el logaritmo de la base.
Ejemplo6.6.3: Expanding a Logarithm with Powers

Ampliarlog2x5.

Solución

El argumento ya está escrito como una potencia, por lo que identificamos el exponente, 5, y la basex, y reescribimos la expresión equivalente multiplicando el exponente por el logaritmo de la base.

log2(x5)=5log2x

Ejercicio6.6.3

Ampliarlnx2.

Contestar

2lnx

Ejemplo6.6.4: Rewriting an Expression as a Power before Using the Power Rule

Expandirlog3(25) usando la regla de potencia para registros.

Solución

Expresando el argumento como un poder, obtenemoslog3(25)=log3(52).

A continuación identificamos el exponente2,, y la base5, y reescribimos la expresión equivalente multiplicando el exponente por el logaritmo de la base.

log3(52)=2log3(5)

Ejercicio6.6.4

Ampliarln(1x2).

Contestar

2ln(x)

Ejemplo6.6.5: Using the Power Rule in Reverse

Reescribir4ln(x) usando la regla de potencia para registros a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de1.

Solución

Debido a que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente multiplicado por el logaritmo de la base, se deduce que el producto de un número y un logaritmo pueden escribirse como una potencia. Para la expresión4ln(x), identificamos el factor,4, como el exponente y el argumento,x, como la base, y reescribimos el producto como un logaritmo de una potencia:4ln(x)=ln(x4).

Ejercicio6.6.5

Reescribir2log34 usando la regla de potencia para registros a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de1.

Contestar

log316

Expansión de expresiones logarítmicas

En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de poder a menudo se denominan “leyes de registros”. A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo:

logb(6xy)=logb(6x)logby=logb6+logbxlogby

Podemos usar la regla de potencia para expandir expresiones logarítmicas que involucran exponentes negativos y fraccionarios. Aquí hay una prueba alternativa de la regla del cociente para logaritmos usando el hecho de que un recíproco es un poder negativo:

logb(AC)=logb(AC1)=logb(A)+logb(C1)=logbA+(1)logbC=logbAlogbC

También podemos aplicar la regla del producto para expresar una suma o diferencia de logaritmos como logaritmo de un producto.

Con la práctica, podemos mirar una expresión logarítmica y expandirla mentalmente, escribiendo la respuesta final. Recuerde, sin embargo, que solo podemos hacer esto con productos, cocientes, potencias y raíces, nunca con suma o resta dentro del argumento del logaritmo.

Ejemplo6.6.6: Expanding Logarithms Using Product, Quotient, and Power Rules

Reescribirln(x4y7) como suma o diferencia de registros.

Solución

Primero, porque tenemos un cociente de dos expresiones, podemos usar la regla del cociente:

ln(x4y7)=ln(x4y)ln(7)

Después al ver el producto en el primer término, utilizamos la regla del producto:

ln(x4y)ln(7)=ln(x4)+ln(y)ln(7)

Finalmente, utilizamos la regla de poder en el primer término:

ln(x4)+ln(y)ln(7)=4ln(x)+ln(y)ln(7)

Ejercicio6.6.6

Ampliarlog(x2y3z4).

Contestar

2logx+3logy4logz

Ejemplo6.6.7: Using the Power Rule for Logarithms to Simplify the Logarithm of a Radical Expression

Ampliarlog(x).

Solución

log(x)=logx(12)=12logx

Ejercicio6.6.7

Ampliarln(3x2).

Contestar

23lnx

Q&A: ¿Podemos ampliarln(x2+y2)?

No. No hay manera de expandir el logaritmo de una suma o diferencia dentro del argumento del logaritmo.

Ejemplo6.6.8: Expanding Complex Logarithmic Expressions

Ampliarlog6(64x3(4x+1)(2x1)).

Solución

Podemos expandirnos aplicando las Reglas de Producto y Cociente.

log6(64x3(4x+1)(2x1))=log664+log6x3+log6(4x+1)log6(2x1)Apply the Quotient Rule=log626+log6x3+log6(4x+1)log6(2x1)Simplify by writing 64 as 26=6log62+3log6x+log6(4x+1)log6(2x1)Apply the Power Rule

Ejercicio6.6.8

Ampliarln((x1)(2x+1)2(x29)).

Contestar

12ln(x1)+ln(2x+1)ln(x+3)ln(x3)

Condensación de expresiones logarítmicas

Podemos usar las reglas de logaritmos que acabamos de aprender para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base que un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para combinarse. Más adelante aprenderemos a cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensarse.

Cómo: Dada una suma, diferencia o producto de logaritmos con la misma base, escribir una expresión equivalente como un logaritmo único
  1. Aplica primero la propiedad de energía. Identificar términos que son productos de factores y un logaritmo, y reescribir cada uno como el logaritmo de una potencia.
  2. Siguiente aplicar la propiedad del producto. Reescribir sumas de logaritmos como logaritmo de un producto.
  3. Aplicar el cociente propiedad último. Reescribir las diferencias de logaritmos como el logaritmo de un cociente.
Ejemplo6.6.9: Using the Product and Quotient Rules to Combine Logarithms

Escribirlog3(5)+log3(8)log3(2) como un solo logaritmo.

Solución

Uso de las reglas de producto y cociente

log3(5)+log3(8)=log3(58)=log3(40)

Esto reduce nuestra expresión original a

log3(40)log3(2)

Luego, usando la regla del cociente

log3(40)log3(2)=log3(402)=log3(20)

Ejercicio6.6.9

Condensarlog3log4+log5log6.

Contestar

log(3546); también se puede escribirlog(58) reduciendo la fracción a términos más bajos.

Ejemplo6.6.10: Condensing Complex Logarithmic Expressions

Condensarlog2(x2)+12log2(x1)3log2((x+3)2).

Solución

Aplicamos primero la regla de poder:

log2(x2)+12log2(x1)3log2((x+3)2)=log2(x2)+log2(x1)log2((x+3)6)

A continuación aplicamos la regla del producto a la suma:

log2(x2)+log2(x1)log2((x+3)6)=log2(x2x1)log2((x+3)6)

Finalmente, aplicamos la regla del cociente a la diferencia:

log2(x2x1)log2((x+3)6)=log2x2x1(x+3)6

Ejemplo6.6.11: Rewriting as a Single Logarithm

Reescribir2logx4log(x+5)+1xlog(3x+5) como un logaritmo único.

Solución

Aplicamos primero la regla de poder:

2logx4log(x+5)+1xlog(3x+5)=log(x2)log(x+5)4+log((3x+5)x1)

A continuación reorganizamos y aplicamos la regla del producto a la suma:

log(x2)log(x+5)4+log((3x+5)x1)=log(x2)+log((3x+5)x1log(x+5)4=log(x2(3x+5)x1)log(x+5)4=logx2(3x+5)x1(x+5)4Apply the quotient rule to the difference

Ejercicio6.6.10

Reescribirlog(5)+0.5log(x)log(7x1)+3log(x1) como un logaritmo único.

Contestar

log5(x1)3x(7x1)

Ejercicio6.6.11

Condensar4(3log(x)+log(x+5)log(2x+3)).

Contestar

logx12(x+5)4(2x+3)4; esta respuesta también podría escribirselog(x3(x+5)(2x+3))4

Ejemplo6.6.12: Applying of the Laws of Logs

Recordemos que, en química,pH=log[H+]. Si se duplica la concentración de iones hidrógeno en un líquido, ¿cuál es el efecto sobre el pH?

Solución

Supongamos queC es la concentración original de iones hidrógeno, yP es el pH original del líquido. EntoncesP=log(C). Si se duplica la concentración, la nueva concentración es2C. Entonces el pH del nuevo líquido es

pH=log(2C)

Uso de la regla del producto de registros

pH=log(2C)=(log(2)+log(C))=log(2)log(C)

Ya queP=log(C), el nuevo pH es

pH=Plog(2)P0.301

Ejercicio6.6.12

Cuando se duplica la concentración de iones hidrógeno, el pH disminuye aproximadamente0.301.

¿Cómo cambia el pH cuando la concentración de iones de hidrógeno positivos disminuye a la mitad?

Contestar

El pH aumenta en aproximadamente0.301.

Uso de la fórmula de cambio de base para logaritmos

La mayoría de las calculadoras solo pueden evaluar registros comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base distinta al10 mineral, e, utilizamos la fórmula de cambio de base para reescribir el logaritmo como el cociente de logaritmos de cualquier otra base; al usar una calculadora, los cambiaríamos a registros comunes o naturales.

Para derivar la fórmula de cambio de base, utilizamos la propiedad uno a uno y la regla de potencia para logaritmos.

Dados los números reales positivosMb,, yn, dónden1 yb1, mostramos

logbM=lognMlognb

Vamosy=logbM. Al tomar la base logarítmican de ambos lados de la ecuación, llegamos a una forma exponencial, a saberby=M. De ello se deduce que

logn(by)=lognMApply the one-to-one propertyylognb=lognMApply the power rule for logarithmsy=lognMlognbIsolate ylogbM=lognMlognbSubstitute for y

Por ejemplo, para evaluarlog536 usando una calculadora, primero debemos reescribir la expresión como cociente de registros comunes o naturales. Usaremos el registro común.

log536=log(36)log(5)Apply the change of base formula using base 102.2266Use a calculator to evaluate to 4 decimal places

LA FORMULA DE CAMBIO DE BASE

La fórmula de cambio de base se puede utilizar para evaluar un logaritmo con cualquier base.

Para cualquier número real positivoM,b, yn, dónden1 yb1,

logbM=lognMlognb

De ello se deduce que la fórmula de cambio de base se puede utilizar para reescribir un logaritmo con cualquier base como cociente de logaritmos comunes o naturales.

logbM=lnMlnb

y

logbM=logMlogb

Cómo: Dado un logaritmo con la formalogbM, use the change-of-base formula to rewrite it as a quotient of logs with any positive base n, where n1
  1. Determinar la nueva basen, recordando que el tronco comúnlog(x),, tiene base 10, y el tronco natural,ln(x), tiene basee.
  2. Reescribir el registro como cociente usando la fórmula de cambio de base
    • El numerador del cociente será un logaritmo con basen y argumentoM.
    • El denominador del cociente será un logaritmo con basen y argumentob.
Ejemplo6.6.13: Changing Logarithmic Expressions to Expressions Involving Only Natural Logs

Cambiolog53 a un cociente de logaritmos naturales.

Solución

Porque estaremos expresandolog53 como cociente de logaritmos naturales, la nueva base,n=e.

Reescribimos el registro como cociente usando la fórmula de cambio de base. El numerador del cociente será el logaritmo natural con argumento3. El denominador del cociente será el logaritmo natural con argumento 5.

logbM=lnMlnb

log53=ln3ln5

Ejercicio6.6.13

Cambiolog0.58 a un cociente de logaritmos naturales.

Contestar

ln8ln0.5

Q&A: ¿Podemos cambiar logaritmos comunes a logaritmos naturales?

Sí. Recuerdalog9 ese mediolog109. Entonces,log9=ln9ln10.

Ejemplo6.6.14: Using the Change-of-Base Formula with a Calculator

Evaluarlog2(10) usando la fórmula de cambio de base con una calculadora.

Solución

De acuerdo con la fórmula de cambio de base, podemos reescribir la base logarítmica2 como un logaritmo de cualquier otra base. Dado que nuestras calculadoras pueden evaluar el logaritmo natural, podríamos elegir usar el logaritmo natural, que es la base logarítmicae.

log210=ln10ln2Apply the change of base formula using base e3.3219Use a calculator to evaluate to 4 decimal places

Ejercicio6.6.14

Evaluarlog5(100) usando la fórmula de cambio de base.

Contestar

ln100ln54.60511.6094=2.861

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con leyes de logaritmos.

  • Las propiedades de los logaritmos
  • Expandir expresiones logarítmicas
  • Evaluar una expresión logarítmica natural

Ecuaciones Clave

La regla del producto para logaritmos logb(MN)=logb(M)+logb(N)
La regla del cociente para logaritmos logb(MN)=logbMlogbN
La regla de poder para logaritmos logb(Mn)=nlogbM
La fórmula de cambio de base logbM=lognMlognbn>0,n1,b1

Conceptos clave

  • Podemos usar la regla de producto de logaritmos para reescribir el log de un producto como una suma de logaritmos. Ver Ejemplo6.6.1.
  • Podemos usar la regla del cociente de logaritmos para reescribir el log de un cociente como diferencia de logaritmos. Ver Ejemplo6.6.2.
  • Podemos usar la regla de potencia para logaritmos para reescribir el log de una potencia como producto del exponente y el log de su base. Ver Ejemplo6.6.3 6.6.4, Ejemplo y Ejemplo6.6.5.
  • Podemos usar la regla de producto, la regla de cociente y la regla de potencia juntas para combinar o expandir un logaritmo con una entrada compleja. Ver Ejemplo6.6.6 6.6.7, Ejemplo y Ejemplo6.6.8.
  • Las reglas de logaritmos también se pueden utilizar para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base que un logaritmo único. Ver Ejemplo6.6.9, Ejemplo6.6.106.6.11, Ejemplo y Ejemplo6.6.12.
  • Podemos convertir un logaritmo con cualquier base a un cociente de logaritmos con cualquier otra base usando la fórmula de cambio de base. Ver Ejemplo6.6.13.
  • La fórmula de cambio de base se utiliza a menudo para reescribir un logaritmo con una base distinta a 10 ye como cociente de registros naturales o comunes. De esa manera se puede utilizar una calculadora para evaluar. Ver Ejemplo6.6.14.

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