1.2: Exponentes y Notación Científica

Objetivos de aprendizaje

• Diversas reglas de Exponentes
• Notación Científica

Los matemáticos, científicos y economistas suelen encontrar números muy grandes y muy pequeños. Pero puede que no sea obvio cuán comunes son tales figuras en la vida cotidiana. Por ejemplo, un píxel es la unidad de luz más pequeña que puede ser percibida y grabada por una cámara digital. Una cámara en particular podría grabar una imagen que es$2,048$ píxel por$1,536$ píxel, que es una imagen de muy alta resolución. También puede percibir una profundidad de color (gradaciones en colores) de hasta$48$ bits por fotograma, y puede disparar el equivalente de$24$ fotogramas por segundo. El número máximo posible de bits de información utilizados para filmar una película digital de una hora ($3,600$-segundo) es entonces un número extremadamente grande.

Usando una calculadora, ingresamos$2,048×1$$536×48×24×3$,$600$ y presionamos ENTRAR. Se muestra la calculadora$1.304596316E13$. ¿Qué significa esto? La porción “$E13$” del resultado representa el exponente$13$ de diez, por lo que hay un máximo de aproximadamente$1.3\times10^{13}$ bits de datos en esa película de una hora. En esta sección, revisamos primero las reglas de los exponentes y luego las aplicamos a cálculos que involucran números muy grandes o pequeños.

Uso de la regla del producto de exponentes

Considera el producto$x^3\times x^4$. Ambos términos tienen la misma base$x$, pero se elevan a diferentes exponentes. Expanda cada expresión y, a continuación, vuelva a escribir la expresión resultante.

$$\begin{align*} x^3 \times x^4 &= \overbrace{x \times x \times x}^{\text{3 factors}} \times \overbrace{ x \times x \times x\times x}^{\text{4 factors}} \\[4pt] &= \overbrace{x\times x\times x\times x\times x\times x\times x}^{\text{7 factors}} \\[4pt] &=x^7 \end{align*}$$

El resultado es ese$x^3\times x^4=x^{3+4}=x^7$.

Observe que el exponente del producto es la suma de los exponentes de los términos. Es decir, al multiplicar expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y agregamos los exponentes. Esta es la regla del producto de los exponentes.

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

Ahora consideremos un ejemplo con números reales.

$2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7$

Siempre podemos comprobar que esto es cierto simplificando cada expresión exponencial. Encontramos que$2^3$ es$8$$16$,$2^4$ es y$2^7$ es$128$. El producto$8\times16$ es igual$128$, por lo que la relación es verdadera. Podemos usar la regla de producto de exponentes para simplificar expresiones que son producto de dos números o expresiones con la misma base pero diferentes exponentes.

LA REGLA DEL PRODUCTO DE EXPONENTES

Para cualquier número real y números naturales$m$ y$n$, la regla de producto de exponentes establece que

$$a^m\times a^n=a^{m+n} \label{prod}$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Using the Product Rule

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

1. $t^5\times t^3$
2. $(−3)^5\times(−3)$
3. $x^2\times x^5\times x^3$

Solución

Utilice la regla del producto (Ecuación\ ref {prod}) para simplificar cada expresión.

1. $t^5\times t^3=t^{5+3}=t^8$
2. $(−3)^5\times(−3)=(−3)^5\times(−3)^1=(−3)^{5+1}=(−3)^6$
3. $x^2\times x^5\times x^3$

Al principio, puede parecer que no podemos simplificar un producto de tres factores. Sin embargo, utilizando la propiedad asociativa de la multiplicación, comienza simplificando los dos primeros.

$$x^2\times x^5\times x^3=(x^2\times x^5) \times x^3=(x^{2+5})\times x^3=x^7\times x^3=x^{7+3}=x^{10} \nonumber$$

Observe que obtenemos el mismo resultado sumando los tres exponentes en un solo paso.

$$x^2\times x^5\times x^3=x^{2+5+3}=x^{10} \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

1. $k^6\times k^9$
2. $\left(\dfrac{2}{y}\right)^4\times\left(\dfrac{2}{y}\right)$
3. $t^3\times t^6\times t^5$

Contestar a

$k^{15}$

Respuesta b

$\left(\dfrac{2}{y}\right)^5$

Respuesta c

$t^{14}$

Uso de la regla del cociente de los exponentes

La regla del cociente de exponentes nos permite simplificar una expresión que divide dos números con la misma base pero diferentes exponentes. De manera similar a la regla del producto, podemos simplificar una expresión como$\dfrac{y^m}{y^n}$, dónde$m>n$. Considera el ejemplo$\dfrac{y^9}{y^5}$. Realizar la división cancelando factores comunes.

$$\begin{align*} \dfrac{y^9}{y^5} &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}\\ &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y}{1}\\ &= y^4 \end{align*}$$

Observe que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del divisor y el dividendo.

$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$$

Es decir, al dividir expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y restamos los exponentes.

$\dfrac{y^9}{y^5}=y^{9−5}=y^4$

Por el momento, debemos estar al tanto de la condición$m>n$. De lo contrario, la diferencia$m-n$ podría ser cero o negativa. Esas posibilidades serán exploradas en breve. Además, en lugar de calificar variables como distintas de cero cada vez, simplificaremos las cosas y asumiremos a partir de aquí que todas las variables representan números reales distintos de cero.

LA REGLA DEL COCIENTE DE LOS EXPONENTES

Para cualquier número real$a$ y números naturales$m$ y$n$, de tal manera que$m>n$, la regla del cociente de exponentes establece que

$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n} \label{quot}$$

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Using the Quotient Rule

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

1. $\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}$
2. $\dfrac{t^{23}}{t^{15}}$
3. $\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}$

Solución

Utilice la regla del cociente (Ecuación\ ref {quot}) para simplificar cada expresión.

1. $\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}=(−2)^{14−9}=(−2)^5$
2. $\dfrac{t^{23}}{t^{15}}$=t^ {23−15} =t^8\)
3. $\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}=(z\sqrt{2})^{5−1}=(z\sqrt{2})^4$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

1. $\dfrac{s^{75}}{s^{68}}$
2. $\dfrac{(−3)^6}{−3}$
3. $\dfrac{(ef^2)^5}{(ef^2)^3}$

Responder a

$s^7$

Respuesta b

$(−3)^5$

Respuesta c

$(ef^2)^2$

Uso de la regla de poder de los exponentes

Supongamos que una expresión exponencial se eleva a algún poder. ¿Podemos simplificar el resultado? Sí. Para ello, utilizamos la regla de poder de los exponentes. Considera la expresión$(x^2)^3$. La expresión dentro de los paréntesis se multiplica dos veces porque tiene un exponente de$2$. Entonces el resultado se multiplica tres veces porque toda la expresión tiene un exponente de$3$.

$$\begin{align*} (x^2)^3 &= (x^2)\times(x^2)\times(x^2)\\ &= x\times x\times x\times x\times x\times x\\ &= x^6 \end{align*}$$

El exponente de la respuesta es producto de los exponentes:$(x^2)^3=x^{2⋅3}=x^6$. Es decir, al elevar una expresión exponencial a un poder, escribimos el resultado con la base común y el producto de los exponentes.

$$(a^m)^n=a^{m⋅n}$$

Tenga cuidado de distinguir entre los usos de la regla del producto y la regla de poder. Al usar la regla del producto, diferentes términos con las mismas bases se elevan a exponentes. En este caso, se suman los exponentes. Cuando se usa la regla de poder, un término en notación exponencial se eleva a una potencia. En este caso, multiplicas los exponentes.

Mesa$\PageIndex{1}$

Regla del producto	Regla de Poder
$5^3\times5^4=5^{3+4}=5^7$	$(5^3)^4=5^{3\times4}=5^{12}$
$x^5\times x^2=x^{5+2}=x^7$	$(x^5)^2=x^{5\times2}=x^{10}$
$(3a)^7\times(3a)^{10}=(3a)^{7+10}=(3a)^{17}$	$((3a)^7)^{10}=(3a)^{7\times10}=(3a)^{70}$

LA REGLA PODER DE LOS EXPONENTES

Para cualquier número real a y enteros positivos m y n, la regla de potencia de los exponentes establece que

$$(a^m)^n=a^{m⋅n} \label{power}$$

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Using the Power Rule

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

1. $(x^2)^7$
2. $((2t)^5)^3$
3. $((−3)^5)^{11}$

Solución

Utilice la regla de potencia (Ecuación\ ref {power}) para simplificar cada expresión.

1. $(x^2)^7=x^{2⋅7}=x^{14}$
2. $((2t)^5)^3=(2t)^{5⋅3}=(2t)^{15}$
3. $((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más.

1. $((3y)^8)^3$
2. $(t^5)^7$
3. $((−g)^4)^4$

Responder a

$(3y)^{24}$

Respuesta b

$t^{35}$

Respuesta c

$(−g)^{16}$

Uso de la regla del exponente cero de los exponentes

Regresar a la regla del cociente. Hicimos la condición de$m>n$ que para que la diferencia$m−n$ nunca fuera cero o negativa. ¿Qué pasaría si$m=n$? En este caso, usaríamos la regla del exponente cero de exponentes para simplificar la expresión a$1$. Para ver cómo se hace esto, comencemos con un ejemplo.

$$\dfrac{t^8}{t^8}=1 \nonumber$$

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, habríamos

$$\dfrac{t^8}{t^8}=t^{8−8}=t^0 \nonumber$$

Si equiparamos las dos respuestas, el resultado es$t^0=1$. Esto es cierto para cualquier número real distinto de cero, o cualquier variable que represente un número real.

$$a^0=1 \nonumber$$

La única excepción es la expresión$0^0$. Esto aparece más adelante en cursos más avanzados, pero por ahora, consideraremos que el valor es indefinido.

LA REGLA CERO EXPONENTE DE LOS EXPONENTES

Para cualquier número real distinto de cero a, la regla de exponentes de exponentes cero establece que

$$a^0=1$$

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Using the Zero Exponent Rule

Simplifica cada expresión usando la regla de exponente cero de exponentes.

1. $\dfrac{c^3}{c^3}$
2. $\dfrac{-3x^5}{x^5}$
3. $\dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3}$
4. $\dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2}$

Solución

Utilice el exponente cero y otras reglas para simplificar cada expresión.

a. $$\begin{align*} \dfrac{c^3}{c^3} &= c^{3-3}\\ &= c^0\\ &= 1 \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} \dfrac{-3x^5}{x^5} &= -3\times\dfrac{x^5}{x^5}\\ &= -3\times x^{5-5}\\ &= -3\times x^0\\ &= -3\times 1\\ &= -3 \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3} &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^{1+3}} && \text{ Use the product rule in the denominator}\\ &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^4} && \text{ Simplify}\\ &= (j^2k)^{4-4} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= (j^2k)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} \dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2} &= 5(rs^2)^{2-2} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= 5(rs^2)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 5\times1 && \text{ Use the zero exponent rule}\\ &= 5 && \text{ Simplify} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Simplifica cada expresión usando la regla de exponente cero de exponentes.

1. $\dfrac{t^7}{t^7}$
2. $\dfrac{(de^2)^{11}}{2(de^2)^{11}}$
3. $\dfrac{w^4\times w^2}{w^6}$
4. $\dfrac{t^3\times t^4}{t^2\times t^5}$

Contestar a

$1$

Respuesta b

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta c

$1$

Respuesta d

$1$

Uso de la regla negativa de los exponentes

Otro resultado útil se produce si relajamos la condición que$m>n$ en el cociente gobierna aún más. Por ejemplo, ¿podemos simplificar$\dfrac{t^3}{t^5}$? Cuando$m<n$ —es decir, donde la diferencia$m−n$ es negativa— podemos usar la regla negativa de los exponentes para simplificar la expresión a su recíproco.

Divide una expresión exponencial por otra con un exponente mayor. Usa nuestro ejemplo,$\dfrac{t^3}{t^5}$.

$$\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= \dfrac{t\times t\times t}{t\times t\times t\times t\times t} \\ &= \dfrac{1}{t\times t}\\ &= \dfrac{1}{h^2} \end{align*}$$

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, habríamos

$$\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= h^{3-5} \\ &= h^{-2} \end{align*}$$

Armando las respuestas, tenemos$h^{−2}=\dfrac{1}{h^2}$. Esto es cierto para cualquier número real distinto de cero, o cualquier variable que represente un número real distinto de cero.

Un factor con un exponente negativo se convierte en el mismo factor con un exponente positivo si se mueve a través de la barra de fracciones, del numerador al denominador o viceversa.

$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$y$a^n=\dfrac{1}{a^{−n}}$

Hemos demostrado que la expresión exponencial a se define cuando$n$ es un número natural$0$, o el negativo de un número natural. Eso significa que a se define para cualquier entero$n$. Además, las reglas de producto y cociente y todas las reglas que veremos pronto se mantienen para cualquier entero$n$.

LA REGLA NEGATIVA DE LOS EX

Para cualquier número real distinto de cero a y número natural n, la regla negativa de exponentes establece que

$$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$$

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Using the Negative Exponent Rule

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. No simplifique más. Escribir respuestas con exponentes positivos.

1. $\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}$
2. $\dfrac{z^2\times z}{z^4}$
3. $\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}$

Solución

1. $\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}=\theta^{3-10}=\theta^{-7}=\dfrac{1}{\theta^7}$
2. $\dfrac{z^2\times z}{z^4}=\dfrac{z^{2+1}}{z^4}=\dfrac{z^3}{z^4}=z^{3-4}=z^{-1}=\dfrac{1}{z}$
3. $\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}=(-5t^3)^{4-8}=(-5t^3)^{-4}=\dfrac{1}{(-5t^3)^4}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. No simplifique más. Escribir respuestas con exponentes positivos.

1. $\dfrac{(-3t)^2}{(-3t)^8}$
2. $\dfrac{f^{47}}{f^{49}\times f}$
3. $\dfrac{2k^4}{5k^7}$

Contestar a

$\dfrac{1}{(-3t)^6}$

Respuesta b

$\dfrac{1}{f^3}$

Respuesta c

$\dfrac{2}{5k^3}$

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Using the Product and Quotient Rules

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más. Escribir respuestas con exponentes positivos.

1. $b^2\times b^{-8}$
2. $(-x)^5\times(-x)^{-5}$
3. $\dfrac{-7z}{(-7z)^5}$

Solución

1. $b^2\times b^{-8}=b^{2-8}=b^{-6}=\dfrac{1}{b^6}$
2. $(-x)^5\times(-x)^{-5}=(-x)^{5-5}=(-x)^0=1$
3. $\dfrac{-7z}{(-7z)^5}= \dfrac{(-7z)^1}{(-7z)^5}=(-7z)^{1-5}=(-7z)^{-4}=\dfrac{1}{(-7z)^4}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Escribe cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplifique más. Escribir respuestas con exponentes positivos.

1. $t^{-11}\times t^6$
2. $\dfrac{25^{12}}{25^{13}}$

Contestar a

$t^{-5}=\dfrac{1}{t^5}$

Respuesta b

$\dfrac{1}{25}$

Encontrar el poder de un producto

Para simplificar el poder de un producto de dos expresiones exponenciales, podemos utilizar el poder de una regla de producto de exponentes, que descompone el poder de un producto de factores en el producto de los poderes de los factores. Por ejemplo, considere$(pq)^3$. Comenzamos usando las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación para reagrupar los factores.

$$\begin{align*} (pq)^3 &= (pq)\times(pq)\times(pq)\\ &= p\times q\times p\times q\times p\times q\\ &= p^3\times q^3 \end{align*}$$

En otras palabras,$(pq)^3=p^3\times q^3$.

EL PODER DE UNA REGLA DE PRODUCTO DE EXPONENTES

Para cualquier número real a y b y cualquier entero n, la potencia de una regla de producto de exponentes establece que

$$(ab)^n=a^nb^n$$

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Using the Power of a Product Rule

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible usando el poder de una regla de producto. Escribir respuestas con exponentes positivos.

1. $(ab^2)^3$
2. $(2t)^{15}$
3. $(-2w^3)^3$
4. $\dfrac{1}{(-7z)^4}$
5. $(e^{-2}f^2)^7$

Solución

Utilice las reglas de producto y cociente y las nuevas definiciones para simplificar cada expresión.

a.$(ab^2)^3=(a)^3\times(b^2)^3=a^{1\times3}\times b^{2\times3}=a^3b^6$

b.$(2t)^{15}=(2)^{15}\times(t)^{15}=2^{15}t^{15}=32,768t^{15}$

c.$(−2w^3)^3=(−2)^3\times(w^3)^3=−8\times w^{3\times3}=−8w^9$

d.$\dfrac{1}{(-7z)^4}=\dfrac{1}{(-7)^4\times(z)^4}=\dfrac{1}{2401z^4}$

e.$(e^{-2}f^2)^7=(e^{−2})^7\times(f^2)^7=e^{−2\times7}\times f^{2\times7}=e^{−14}f^{14}=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible usando el poder de una regla de producto. Escribir respuestas con exponentes positivos.

1. $(g^2h^3)^5$
2. $(5t)^3$
3. $(-3y^5)^3$
4. $\dfrac{1}{(a^6b^7)^3}$
5. $(r^3s^{-2})^4$

Contestar a

$g^{10}h^{15}$

Respuesta b

$125t^3$

Respuesta c

$-27y^{15}$

Respuesta d

$\dfrac{1}{a^{18}b^{21}}$

Respuesta e

$\dfrac{r^{12}}{s^8}$

Encontrar el poder de un cociente

Para simplificar el poder de un cociente de dos expresiones, podemos usar el poder de una regla de cociente, que establece que el poder de un cociente de factores es el cociente de los poderes de los factores. Por ejemplo, veamos el siguiente ejemplo.

$$(e^{−2}f^2)^7=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}$$

Reescribamos el problema original de manera diferente y veamos el resultado.

$$\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}$$

Aparece a partir de los dos últimos pasos que podemos usar el poder de una regla de producto como poder de una regla de cociente.

$$\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{(f^2)^7}{(e^2)^7}\\ &= \dfrac{f^{2\times7}}{e^{2\times7}}\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}$$

EL PODER DE UNA REGLA DE COCIENTE DE EXPONENTES

Para cualquier número real a y b y cualquier entero n, la potencia de una regla de cociente de exponentes establece que

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Using the Power of a Quotient Rule

Simplifica cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible usando el poder de una regla de cociente. Escribir respuestas con exponentes positivos.

1. $\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3$
2. $\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6$
3. $\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}$
4. $(j^3k^{-2})^4$
5. $(m^{-2}n^{-2})^3$

Solución

a.$\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3=\dfrac{(4)^3}{(z^{11})^3}=\dfrac{64}{z^{11\times3}}=\dfrac{64}{z^{33}}$

b.$\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6=\dfrac{(p)^6}{(q^3)^6}=\dfrac{p^{1\times6}}{q^{3\times6}}=\dfrac{p^6}{q^{18}}$

c.$\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}=\dfrac{(-1)^{27}}{(t^2)^{27}}=\dfrac{-1}{t^{2\times27}}=\dfrac{-1}{t^{54}}=-\dfrac{1}{t^{54}}$

d.$(j^3k^{-2})^4=\left(\dfrac{j^3}{k^2}\right)^4=\dfrac{(j^3)^4}{(k^2)^4}=\dfrac{j^{3\times4}}{k^{2\times4}}=\dfrac{j^{12}}{k^8}$

e.$(m^{-2}n^{-2})^3=\left(\dfrac{1}{m^2n^2}\right)^3=\dfrac{(1)^3}{(m^2n^2)^3}=\dfrac{1}{(m^2)^3(n^2)^3}=\dfrac{1}{m^{2\times3}n^{2\times3}}=\dfrac{1}{m^6n^6}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Simplifica cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible usando el poder de una regla de cociente. Escribir respuestas con exponentes positivos.

1. $\left(\dfrac{b^5}{c}\right)^3$
2. $\left(\dfrac{5}{u^8}\right)^4$
3. $\left(\dfrac{-1}{w^3}\right)^{35}$
4. $(p^{-4}q^3)^8$
5. $(c^{-5}d^{-3})^4$

Contestar a

$\dfrac{b^{15}}{c^3}$

Respuesta b

$\dfrac{625}{u^{32}}$

Respuesta c

$\dfrac{-1}{w^{105}}$

Respuesta d

$\dfrac{q^{24}}{p^{32}}$

Respuesta e

$\dfrac{1}{c^{20}d^{12}}$

Simplificación de expresiones exponenciales

Recordemos que simplificar una expresión significa reescribirla peinando términos o exponentes; es decir, escribir la expresión de manera más simple con menos términos. Las reglas para exponentes se pueden combinar para simplificar las expresiones.

Ejemplo$\PageIndex{9}$: Simplifying Exponential Expressions

Simplifica cada expresión y escribe la respuesta solo con exponentes positivos.

1. $(6m^2n^{-1})^3$
2. $17^5\times17^{-4}\times17^{-3}$
3. $\left(\dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}}\right)^2$
4. $(-2a^3b^{-1})(5a^{-2}b^2)$
5. $(x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2})^{-4}$
6. $\dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2}$

Solución

a. $$\begin{align*} (6m^2n^{-1})^3 &= (6)^3(m^2)^3(n^{-1})^3 && \text{ The power of a product rule}\\ &= 6^3m^{2\times3}n^{-1\times3} && \text{ The power rule}\\ &= 216m^6n^{-3} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{216m^6}{n^3} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} 17^5\times17^{-4}\times17^{-3} &= 17^{5-4-3} && \text{ The product rule}\\ &= 17^{-2} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{1}{17^2} \text{ or } \dfrac{1}{289} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} \left ( \dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}} \right )^2 &= \dfrac{(u^{-1}v)^2}{(v^{-1})^2} && \text{ The power of a quotient rule}\\ &= \dfrac{u^{-2}v^2}{v^{-2}} && \text{ The power of a product rule}\\ &= u^{-2}v^{2-(-2)} && \text{ The quotient rule}\\ &= u^{-2}v^4 && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{v^4}{u^2} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} \left (-2a^3b^{-1} \right ) \left(5a^{-2}b^2 \right ) &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ Commutative and associative laws of multiplication}\\ &= -10\times a^{3-2}\times b^{-1+2} && \text{ The product rule}\\ &= -10ab && \text{ Simplify} \end{align*}$$

e. $$\begin{align*} \left (x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2} \right )^{-4} &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ The product rule}\\ &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 && \text{ The zero exponent rule} \end{align*}$$

f. $$\begin{align*} \dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2} &= \dfrac{(3)^5\times(w^2)^5}{(6)^2\times(w^{-2})^2} && \text{ The power of a product rule}\\ &= \dfrac{3^5w^{2\times5}}{6^2w^{-2\times2}} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{243w^{10}}{36w^{-4}} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{27w^{10-(-4)}}{4} && \text{ The quotient rule and reduce fraction}\\ &= \dfrac{27w^{14}}{4} && \text{ Simplify} \end{align*}$$

Uso de la notación científica

Recordemos al inicio de la sección que encontramos el número$1.3\times10^{13}$ al describir bits de información en imágenes digitales. Otros números extremos incluyen el ancho de un cabello humano, que es aproximadamente$0.00005\; m$, y el radio de un electrón, que es aproximadamente$0.00000000000047\; m$. ¿Cómo podemos trabajar efectivamente leer, comparar y calcular con números como estos?

Un método abreviado de escribir números muy pequeños y muy grandes se llama notación científica, en la que expresamos números en términos de exponentes de$10$. Para escribir un número en notación científica, mueva el punto decimal a la derecha del primer dígito del número. Escribe los dígitos como un número decimal entre$1$ y$10$. Cuenta el número de lugares$n$ que moviste el punto decimal. Multiplique el número decimal por$10$ elevado a una potencia de$n$. Si moviste el decimal a la izquierda como en un número muy grande,$n$ es positivo. Si moviste el decimal a la derecha como en un número pequeño grande,$n$ es negativo.

Por ejemplo, considera el número$2,780,418$. Mueve el decimal a la izquierda hasta que esté a la derecha del primer dígito distinto de cero, que es$2$.

Obtenemos$2.780418$ moviendo los$6$ lugares decimales hacia la izquierda. Por lo tanto, el exponente de$10$ es$6$, y es positivo porque movimos el punto decimal hacia la izquierda. Esto es lo que debemos esperar de un gran número.

$2.780418\times{10}^6$

Trabajar con números pequeños es similar. Tomemos, por ejemplo, el radio de un electrón,$0.00000000000047\; m$. Realiza la misma serie de pasos anteriores, excepto mover el punto decimal hacia la derecha.

Tenga cuidado de no incluir el líder$0$ en su conteo. Movemos los$13$ lugares decimales hacia la derecha, por lo que el exponente de$10$ es$13$. El exponente es negativo porque movimos el punto decimal hacia la derecha. Esto es lo que debemos esperar para un número pequeño.

$4.7\times{10}^{−13}$

Notación científica

Un número se escribe en notación científica si está escrito en la forma$a\times{10}^n$, donde$1≤|a|<10$ y$n$ es un entero.

Ejemplo$\PageIndex{10}$: Converting Standard Notation to Scientific Notation

Escribe cada número en notación científica.

1. Distancia a la Galaxia de Andrómeda desde la Tierra:$24,000,000,000,000,000,000,000\; m$
2. Diámetro de la Galaxia de Andrómeda:$1,300,000,000,000,000,000,000\; m$
3. Número de estrellas en Andromeda Galaxy:$1,000,000,000,000$
4. Diámetro del electrón:$0.00000000000094\; m$
5. Probabilidad de ser alcanzado por un rayo en cualquier año:$0.00000143$

Solución

a.$24,000,000,000,000,000,000,000\; m$$22$ lugares

$2.4\times{10}^{22}\; m$

b.$1,300,000,000,000,000,000,000\; m$$21$ lugares

$1.3\times{10}^{21}\; m$

c.$1,000,000,000,000$$12$ lugares

$1\times{10}^{12}$

d.$0.00000000000094\; m$$13$ lugares

$9.4\times{10}^{-13}\; m$

e.$0.00000143$$6$ lugares

$1.43\times{10}^6$

Análisis

Observe que, si el número dado es mayor que$1$, como en los ejemplos a—c, el exponente de$10$ es positivo; y si el número es menor que$1$, como en los ejemplos d—e, el exponente es negativo.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Escribe cada número en notación científica.

1. Deuda nacional estadounidense por contribuyente (abril 2014):$\$152,000$
2. Población mundial (abril 2014):$7,158,000,000$
3. Ingreso nacional bruto mundial (abril de 2014):$\$85,500,000,000,000$
4. Tiempo para que la luz viaje$1\; m: 0.00000000334\; s$
5. Probabilidad de ganar lotería (coincidencia$6$ de números$49$ posibles):$0.0000000715$

Responder a

$\$1.52\times{10}^5$

Respuesta b

$7.158\times{10}^9$

Respuesta c

$\$8.55\times{10}^{13}$

Respuesta d

$3.34\times{10}^{-9}$

Respuesta e

$7.15\times{10}^{-8}$

Conversión de notación científica a notación estándar

Para convertir un número en notación científica a notación estándar, simplemente invierta el proceso. Mueve los decimales n lugares a la derecha si$n$ es positivo o$n$ coloca a la izquierda si$n$ es negativo y agrega ceros según sea necesario. Recuerde, si$n$ es positivo, el valor del número es mayor que$1$, y si$n$ es negativo, el valor del número es menor que uno.

Ejemplo$\PageIndex{11}$: Converting Scientific Notation to Standard Notation

Convertir cada número en notación científica a notación estándar.

1. $3.547\times{10}^{14}$
2. $−2\times{10}^6$
3. $7.91\times{10}^{−7}$
4. $−8.05\times{10}^{−12}$

Solución

a.$3.547\times{10}^{14}$

$3.54700000000000$

$\rightarrow14$lugares

$354,700,000,000,000$

b.$−2\times{10}^6$

$−2.000000$

$\rightarrow6$lugares

$−2,000,000$

c.$7.91\times{10}^{−7}$

$0000007.91$

$\rightarrow7$lugares

$0.000000791$

d.$−8.05\times{10}^{−12}$

$−000000000008.05$

$\rightarrow12$lugares

$−0.00000000000805$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Convertir cada número en notación científica a notación estándar.

1. $7.03\times{10}^5$
2. $−8.16\times{10}^{11}$
3. $−3.9\times{10}^{−13}$
4. $8\times{10}^{−6}$

Responder a

$703,000$

Respuesta b

$−816,000,000,000$

Respuesta c

$−0.00000000000039$

Respuesta d

$0.000008$

Uso de la notación científica en aplicaciones

La notación científica, utilizada con las reglas de los exponentes, hace que calcular con números grandes o pequeños sea mucho más fácil que hacerlo usando notación estándar. Por ejemplo, supongamos que se nos pide calcular el número de átomos en el$1\; L$ agua. Cada molécula de agua contiene$3$ átomos ($2$hidrógeno y$1$ oxígeno). La gota promedio de agua contiene alrededor de$1.32\times{10}{21}$ moléculas de agua y$1\; L$ de agua contiene aproximadamente gotas$1.22\times{10}^{4}$ promedio. Por lo tanto, hay aproximadamente$3⋅(1.32\times{10}^{21})⋅(1.22\times{10}^4)≈4.83\times{10}^{25}$ átomos en$1\; L$ el agua. Simplemente multiplicamos los términos decimales y sumamos los exponentes. ¡Imagina tener que realizar el cálculo sin usar notación científica!

Al realizar cálculos con notación científica, asegúrese de escribir la respuesta en notación científica adecuada. Por ejemplo, considera el producto$(7\times{10}^4)⋅(5\times{10}^6)=35\times{10}^{10}$. La respuesta no está en la notación científica adecuada porque$35$ es mayor que$10$. Considerar$35$ como$3.5\times10$. Eso suma un diez al exponente de la respuesta.

$(35)\times{10}^{10}=(3.5\times10)\times{10}^{10}=3.5\times(10\times{10}^{10})=3.5\times{10}^{11}$

Ejemplo$\PageIndex{12}$: Using Scientific Notation

Realizar las operaciones y escribir la respuesta en notación científica.

1. $(8.14\times{10}^{−7})(6.5\times{10}^{10})$
2. $(4\times{10}^5)÷(−1.52\times{10}^{9})$
3. $(2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13})$
4. $(1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5)$
5. $(3.33\times{10}^4)(−1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5)$

Soluciones

a. $$\begin{align*} (8.14\times{10}^{-7})(6.5\times{10}^{10}) &= (8.14\times6.5)({10}^{-7}\times{10}^{10}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (52.91)({10}^3) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 5.291\times{10}^4 \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

b. $$\begin{align*} (4\times{10}^5)\div (-1.52\times{10}^{9}) &= \left(\dfrac{4}{-1.52}\right)\left(\dfrac{{10}^5}{{10}^9}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &\approx (-2.63)({10}^{-4}) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= -2.63\times{10}^{-4} \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} (2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13}) &= (2.7\times6.04)({10}^5\times{10}^{13}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (16.308)({10}^{18}) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 1.6308\times{10}^{19} \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} (1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5) &= \left(\dfrac{1.2}{9.6}\right)\left(\dfrac{{10}^8}{{10}^5}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (0.125)({10}^3) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= 1.25\times{10}^2 \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

e. $$\begin{align*} (3.33\times{10}^4)(-1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5) &= [3.33\times(-1.05)\times5.62]({10}^4\times{10}^7\times{10}^5)\\ &\approx (-19.65)({10}^{16})\\ &= -1.965\times{10}^{17} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Realizar las operaciones y escribir la respuesta en notación científica.

1. $(−7.5\times{10}^8)(1.13\times{10}^{−2})$
2. $(1.24\times{10}^{11})÷(1.55\times{10}^{18})$
3. $(3.72\times{10}^9)(8\times{10}^3)$
4. $(9.933\times{10}^{23})÷(−2.31\times{10}^{17})$
5. $(−6.04\times{10}^9)(7.3\times{10}^2)(−2.81\times{10}^2)$

Responder a

$−8.475\times{10}^6$

Respuesta b

$8\times{10}^{−8}$

Respuesta c

$2.976\times{10}^{13}$

Respuesta d

$−4.3\times{10}^6$

Respuesta e

$≈1.24\times{10}^{15}$

Ejemplo$\PageIndex{13}$: Applying Scientific Notation to Solve Problems

En abril de 2014, la población de Estados Unidos era sobre$308,000,000$ personas. La deuda nacional estaba a punto$\$17,547,000,000,000$. Escriba cada número en notación científica, redondeando cifras a dos decimales, y encuentre el monto de la deuda por ciudadano estadounidense. Escribe la respuesta tanto en notaciones científicas como estándar.

Solución

La población era$308,000,000=3.08\times{10}^8$.

La deuda nacional fue$$17,547,000,000,000≈$1.75\times{10}^{13}$.

Para encontrar el monto de la deuda por ciudadano, dividir la deuda nacional por el número de ciudadanos.

$$\begin{align*} (1.75\times{10}^{13})\div (3.08\times{10}^8)&=\left(\dfrac{1.75}{3.08}\right)({10}^5)\\ &\approx 0.57\times{10}^5\\ &=5.7\times{10}^4 \end{align*}$$

La deuda por ciudadano en ese momento era sobre$$5.7\times{10}^4$, o$$57,000$.

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Un cuerpo humano promedio contiene alrededor de glóbulos$30,000,000,000,000$ rojos. Cada celda mide aproximadamente una$0.000008\; m$ longitud. Escribe cada número en notación científica y encuentra la longitud total si las celdas se colocaron de extremo a extremo. Escribe la respuesta tanto en notaciones científicas como estándar.

Responder

Número de celdas:$3\times{10}^{13}$; longitud de una celda:$8\times{10}^{−6}\; m$; longitud total:$2.4\times{10}^8\; m$ o$240,000,000\; m$.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicional con exponentes y notación científica.

Notación exponencial

Propiedades de los Exponentes

Exponente Cero

Simplificar expresiones de exponentes

Regla de cociente para exponentes

Notación Científica

Conversión a notación decimal

Ecuaciones Clave

Reglas de exponentes Para números reales distintos de cero a y b y enteros m y n
Regla del producto	$a^m⋅a^n=a^{m+n}$
Regla del cociente	$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$
Regla de poder	$(a^m)^n=a^{m⋅n}$
Regla de exponente cero	$a^0=1$
Regla negativa	$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$
Poder de una regla de producto	$(a⋅b)^n=a^n⋅b^n$
Poder de una regla de cociente	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

Conceptos clave

• Los productos de expresiones exponenciales con la misma base se pueden simplificar agregando exponentes. Ver Ejemplo.
• Los cocientes de expresiones exponenciales con la misma base pueden simplificarse restando exponentes. Ver Ejemplo.
• Los poderes de las expresiones exponenciales con la misma base pueden simplificarse multiplicando exponentes. Ver Ejemplo.
• Una expresión con exponente cero se define como 1. Ver Ejemplo.
• Una expresión con un exponente negativo se define como un recíproco. Ver Ejemplo y Ejemplo.
• El poder de un producto de factores es el mismo que el producto de los poderes de los mismos factores. Ver Ejemplo.
• El poder de un cociente de factores es el mismo que el cociente de los poderes de los mismos factores. Ver Ejemplo.
• Las reglas para expresiones exponenciales se pueden combinar para simplificar expresiones más complicadas. Ver Ejemplo.
• La notación científica utiliza potencias de 10 para simplificar números muy grandes o muy pequeños. Ver Ejemplo y Ejemplo.
• La notación científica puede ser utilizada para simplificar cálculos con números muy grandes o muy pequeños. Ver Ejemplo y Ejemplo.