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4.5: Propiedades logarítmicas

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    Objetivos de aprendizaje
    • Utilice la regla del producto para logaritmos.
    • Utilice la regla del cociente para logaritmos.
    • Usa la regla de potencia para logaritmos.
    • Expandir expresiones logarítmicas.
    • Condensar expresiones logarítmicas.
    • Utilice la fórmula de cambio de base para logaritmos.

    En química, la escala de pH se utiliza como medida de la acidez o alcalinidad de una sustancia. Sustancias con un pH menor que\(7\) se consideran ácidas, y sustancias con un pH mayor al que\(7\) se dice que son alcalinas. Nuestros cuerpos, por ejemplo, deben mantener un pH cercano para que\(7.35\) las enzimas funcionen correctamente. Para tener una idea de lo que es ácido y lo que es alcalino, considere los siguientes niveles de pH de algunas sustancias comunes:

    • Ácido de la batería:\(0.8\)
    • Ácido estomacal:\(2.7\)
    • Zumo de naranja:\(3.3\)
    • Agua pura:\(7\) a\(25^\circ C\)
    • Sangre humana:\(7.35\)
    • Coco fresco:\(7.8\)
    • Hidróxido de sodio (lejía):\(14\)

    Para determinar si una solución es ácida o alcalina, encontramos su pH, que es una medida del número de iones de hidrógeno activos positivos en la solución. El pH se define por la siguiente fórmula, donde\([\ce{H^{+}}]\) es la concentración de iones hidrógeno en la solución

    \[\begin{align} {pH}&=−{\log}([\ce{H^{+}}]) \label{eq1} \\[4pt] &={\log}\left(\dfrac{1}{[\ce{H^{+}}]}\right) \label{eq2} \end{align}\]

    La equivalencia de Ecuaciones\ ref {eq1} y\ ref {eq2} es una de las propiedades logaritmos que examinaremos en esta sección.

    Prueba del pH del ácido clorhídrico.
    Figura\(\PageIndex{1}\): El pH del ácido clorhídrico se prueba con papel tornasol. (crédito: David Berardan).

    Uso de la regla de producto para logaritmos

    Recordemos que las funciones logarítmicas y exponenciales se “deshacen” entre sí. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. Primero, las siguientes propiedades son fáciles de probar.

    \[ \begin{align*} \log_b1 &=0 \\[4pt] \log_bb &=1 \end{align*}\]

    Por ejemplo,\({\log}_51=0\) ya que\(5^0=1\). Y\({\log}_55=1\) desde entonces\(5^1=5\).

    A continuación, tenemos la propiedad inversa.

    \[ \begin{align*} \log_b(b^x) &=x \\[4pt] b^{\log_b x} &=x, \,x>0 \end{align*}\]

    Por ejemplo, para evaluar\({\log(100)}\), podemos reescribir el logaritmo as\({\log}_{10}({10}^2)\), y luego aplicar la propiedad inversa\({\log}_b(b^x)=x\) para obtener\({\log}_{10}({10}^2)=2\).

    Para evaluar\(e^{\ln(7)}\), podemos reescribir el logaritmo como\(e^{{\log}_e7}\), y luego aplicar la propiedad inversa\(b^{{\log}_bx}=x\) para obtener\(e^{{\log}_e 7}=7\).

    Por último, tenemos la propiedad uno-a-uno.

    \[ \log_bM = \log_bN \text{ if and only if } M=N\]

    Podemos usar la propiedad uno a uno para resolver la ecuación\({\log}_3(3x)={\log}_3(2x+5)\) para\(x\). Como las bases son las mismas, podemos aplicar la propiedad uno a uno estableciendo los argumentos iguales y resolviendo para\(x\):

    \(3x=2x+5\)Establezca los argumentos iguales.

    \(x=5\)Restar\(2x\).

    Pero, ¿qué pasa con la ecuación\({\log}_3(3x)+{\log}_3(2x+5)=2\)? La propiedad uno a uno no nos ayuda en esta instancia. Antes de que podamos resolver una ecuación como esta, necesitamos un método para combinar términos en el lado izquierdo de la ecuación.

    Recordemos que utilizamos la regla de producto de exponentes para combinar el producto de exponentes agregando:\(x^ax^b=x^{a+b}\). Tenemos una propiedad similar para logaritmos, llamada regla de producto para logaritmos, que dice que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos. Debido a que los logs son exponentes, y nos multiplicamos como bases, podemos sumar los exponentes. Usaremos la propiedad inversa para derivar la regla del producto a continuación.

    Dado cualquier número real\(x\) y números reales positivos\(M\)\(N\),, y\(b\), dónde\(b≠1\), mostraremos

    \({\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\).

    Dejar\(m={\log}_bM\) y\(n={\log}_bN\). En forma exponencial, estas ecuaciones son\(b^m=M\) y\(b^n=N\). De ello se deduce que

    \[\begin{align*} {\log}_b(MN)&= {\log}_b(b^mb^n) \qquad \text{Substitute for M and N}\\[4pt] &= {\log}_b(b^{m+n}) \qquad \text{Apply the product rule for exponents}\\[4pt] &= m+n \qquad \text{Apply the inverse property of logs}\\[4pt] &= {\log}_b(M)+{\log}_b(N) \qquad \text{Substitute for m and n} \end{align*}\]

    Tenga en cuenta que las aplicaciones repetidas de la regla del producto para logaritmos nos permiten simplificar el logaritmo del producto de cualquier número de factores. Por ejemplo, considere\({\log}_b(wxyz)\). Usando la regla del producto para logaritmos, podemos reescribir este logaritmo de un producto como la suma de logaritmos de sus factores:

    \({\log}_b(wxyz)={\log}_bw+{\log}_bx+{\log}_by+{\log}_bz\)

    La regla del producto para logaritmos

    La regla de producto para logaritmos se puede utilizar para simplificar un logaritmo de un producto reescribiéndolo como una suma de logaritmos individuales.

    \[\begin{align} {\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\text{ for } b> 0 \end{align}\]

    Cómo: Dado el logaritmo de un producto, utilizar la regla de producto de logaritmos para escribir una suma equivalente de logaritmos
    1. Factorizar el argumento completamente, expresando cada factor de número entero como producto de primos.
    2. Escribe la expresión equivalente sumando los logaritmos de cada factor.
    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Using the Product Rule for Logarithms

    Ampliar\({\log}_3(30x(3x+4))\).

    Solución

    Comenzamos factorizando el argumento por completo, expresándonos\(30\) como producto de primos.

    \({\log}_3(30x(3x+4))={\log}_3(2⋅3⋅5⋅x⋅(3x+4))\)

    A continuación escribimos la ecuación equivalente sumando los logaritmos de cada factor.

    \({\log}_3(30x(3x+4))={\log}_3(2)+{\log}_3(3)+{\log}_3(5)+{\log}_3(x)+{\log}_3(3x+4)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Ampliar\({\log}_b(8k)\).

    Contestar

    \({\log}_b2+{\log}_b2+{\log}_b2+{\log}_bk=3{\log}_b2+{\log}_bk\)

    Uso de la regla del cociente para logaritmos

    Para los cocientes, tenemos una regla similar para logaritmos. Recordemos que utilizamos la regla del cociente de exponentes para combinar el cociente de exponentes restando:\(x^{\frac{a}{b}}=x^{a−b}\). La regla del cociente para logaritmos dice que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos.

    La regla del cociente para logaritmos

    La regla del cociente para logaritmos se puede utilizar para simplificar un logaritmo o un cociente reescribiéndolo como la diferencia de logaritmos individuales.

    \[{\log}_b\left(\dfrac{M}{N}\right)={\log}_bM−{\log}_bN\]

    Al igual que con la regla del producto, podemos usar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente.

    Prueba

    Dado cualquier número real\(x\) y números reales positivos\(M\),\(N\), y b, b, donde\(b≠1\), mostraremos

    \({\log}_b\left(\dfrac{M}{N}\right)={\log}_b(M)−{\log}_b(N)\).

    Dejar\(m={\log}_bM\) y\(n={\log}_bN\). En forma exponencial, estas ecuaciones son\(b^m=M\) y\(b^n=N\). De ello se deduce que

    \[\begin{align*} {\log}_b\left (\dfrac{M}{N} \right )&= {\log}_b\left(\dfrac{b^m}{b^n}\right) \qquad \text{Substitute for M and N}\\[4pt] &= {\log}_b(b^{m-n}) \qquad \text{Apply the quotient rule for exponents}\\[4pt] &= m-n \qquad \text{Apply the inverse property of logs}\\[4pt] &= {\log}_b(M)-{\log}_b(N) \qquad \text{Substitute for m and n} \end{align*}\]

    Por ejemplo, para expandirnos\({\log}\left (\dfrac{2x^2+6x}{3x+9} \right )\), primero debemos expresar el cociente en términos más bajos. Factorización y cancelación obtenemos,

    \[\begin{align*} {\log}\left (\dfrac{2x^2+6x}{3x+9} \right )&= {\log}\left (\dfrac{2x(x+3)}{3(x+3)} \right ) \qquad \text{Factor the numerator and denominator}\\[4pt] &= {\log}\left (\dfrac{2x}{3} \right ) \qquad \text{Cancel the common factors} \end{align*}\]

    A continuación aplicamos la regla del cociente restando el logaritmo del denominador del logaritmo del numerador. Después aplicamos la regla del producto.

    \[ \begin{align*} {\log}\left(\dfrac{2x}{3}\right) &={\log}(2x)−{\log}(3) \\[4pt] &={\log}(2)+{\log}(x)−{\log}(3) \end{align*}\]

    Cómo: Dado el logaritmo de un cociente, usar la regla de cociente de logaritmos para escribir una diferencia equivalente de logaritmos
    1. Expresar el argumento en términos más bajos factorizando el numerador y denominador y cancelando términos comunes.
    2. Escribe la expresión equivalente restando el logaritmo del denominador del logaritmo del numerador.
    3. Verifique para ver que cada término esté completamente expandido. De no ser así, aplique la regla del producto para que los logaritmos se expandan completamente.
    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Using the Quotient Rule for Logarithms

    Ampliar\({log}_2\left(\dfrac{15x(x−1)}{(3x+4)(2−x)}\right)\).

    Solución

    Primero observamos que el cociente está factorizado y en términos más bajos, por lo que aplicamos la regla del cociente.

    \({\log}_2(\dfrac{15x(x−1)}{(3x+4)(2−x)})={\log}_2(15x(x−1))−{\log}_2((3x+4)(2−x))\)

    Observe que los términos resultantes son logaritmos de productos. Para expandirnos por completo, aplicamos la regla del producto, señalando que los factores primos del factor 15 son 3 y 5.

    \[\begin{align*} {\log}_2(15x(x-1))-{\log}_2((3x+4)(2-x))&= [{\log}_2(3)+{\log}_2(5)+{\log}_2(x)+{\log}_2(x-1)]-[{\log}_2(3x+4)+{\log}_2(2-x)]\\[4pt] &= {\log}_2(3)+{\log}_2(5)+{\log}_2(x)+{\log}_2(x-1)-{\log}_2(3x+4)-{\log}_2(2-x) \end{align*}\]

    Análisis

    Hay excepciones a considerar en este y ejemplos posteriores. Primero, porque los denominadores nunca deben ser cero, esta expresión no está definida para\(x=−\dfrac{4}{3}\) y\(x=2\). También, dado que el argumento de un logaritmo debe ser positivo, observamos a medida que observamos el logaritmo expandido, que\(x>0\),\(x>1\),\(x>−\dfrac{4}{3}\), y\(x<2\). Combinar estas condiciones está más allá del alcance de esta sección, y no las consideraremos aquí ni en ejercicios posteriores.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Ampliar\({\log}_3\left(\dfrac{7x^2+21x}{7x(x−1)(x−2)}\right)\).

    Contestar

    \({\log}_3(x+3)−{\log}_3(x−1)−{\log}_3(x−2)\)

    Uso de la regla de poder para logaritmos

    Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente, pero ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, como\(x^2\)? Un método es el siguiente:

    \[\begin{align*} {\log}_b(x^2)&= {\log}_b(x\cdot x)\\[4pt] &= {\log}_bx+{\log}_bx\\[4pt] &= 2{\log}_bx \end{align*}\]

    Observe que utilizamos la regla del producto para logaritmos para encontrar una solución para el ejemplo anterior. Al hacerlo, hemos derivado la regla de potencia para logaritmos, que dice que el log de una potencia es igual al exponente multiplicado por el log de la base. Hay que tener en cuenta que, aunque la entrada a un logaritmo puede no estar escrita como una potencia, podemos cambiarla a una potencia. Por ejemplo,

    \(100={10}^2\)\(\sqrt{3}=3^{\dfrac{1}{2}}\)\(\dfrac{1}{e}=e^{−1}\)

    La regla de poder para logaritmos

    La regla de potencia para logaritmos se puede utilizar para simplificar el logaritmo de una potencia reescribiéndola como el producto del exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

    \[{\log}_b(M^n)=n{\log}_bM\]

    Cómo: Dado el logaritmo de una potencia, usar la regla de poder de logaritmos para escribir un producto equivalente de un factor y un logaritmo
    1. Expresar el argumento como un poder, si es necesario.
    2. Escribe la expresión equivalente multiplicando el exponente por el logaritmo de la base.
    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Expanding a Logarithm with Powers

    Ampliar\({\log}_2x^5\).

    Solución

    El argumento ya está escrito como una potencia, por lo que identificamos el exponente, 5, y la base\(x\), y reescribimos la expresión equivalente multiplicando el exponente por el logaritmo de la base.

    \({\log}_2(x^5)=5{\log}_2x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Ampliar\(\ln x^2\).

    Contestar

    \(2\ln x\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Rewriting an Expression as a Power before Using the Power Rule

    Expandir\({\log}_3(25)\) usando la regla de potencia para registros.

    Solución

    Expresando el argumento como un poder, obtenemos\({\log}_3(25)={\log}_3(5^2)\).

    A continuación identificamos el exponente\(2\),, y la base\(5\), y reescribimos la expresión equivalente multiplicando el exponente por el logaritmo de la base.

    \({\log}_3(52)=2{\log}_3(5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Ampliar\(\ln\left (\dfrac{1}{x^2} \right )\).

    Contestar

    \(−2\ln(x)\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Using the Power Rule in Reverse

    Reescribir\(4\ln(x)\) usando la regla de potencia para registros a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de\(1\).

    Solución

    Debido a que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente multiplicado por el logaritmo de la base, se deduce que el producto de un número y un logaritmo pueden escribirse como una potencia. Para la expresión\(4\ln(x)\), identificamos el factor,\(4\), como el exponente y el argumento,\(x\), como la base, y reescribimos el producto como un logaritmo de una potencia:\(4\ln(x)=\ln(x^4)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Reescribir\(2{\log}_34\) usando la regla de potencia para registros a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de\(1\).

    Contestar

    \({\log}_316\)

    Expansión de expresiones logarítmicas

    En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de poder a menudo se denominan “leyes de registros”. A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo:

    \[\begin{align*} {\log}_b \left (\dfrac{6x}{y} \right )&= {\log}_b(6x)-{\log}_by\\[4pt] &= {\log}_b6+{\log}_bx-{\log}_by \end{align*}\]

    Podemos usar la regla de potencia para expandir expresiones logarítmicas que involucran exponentes negativos y fraccionarios. Aquí hay una prueba alternativa de la regla del cociente para logaritmos usando el hecho de que un recíproco es un poder negativo:

    \[\begin{align*} {\log}_b\left (\dfrac{A}{C} \right )&= {\log}_b(AC^{-1})\\[4pt] &= {\log}_b(A)+{\log}_b(C^{-1})\\[4pt] &= {\log}_bA+(-1){\log}_bC\\[4pt] &= {\log}_bA−{\log}_bC \end{align*}\]

    También podemos aplicar la regla del producto para expresar una suma o diferencia de logaritmos como logaritmo de un producto.

    Con la práctica, podemos mirar una expresión logarítmica y expandirla mentalmente, escribiendo la respuesta final. Recuerde, sin embargo, que solo podemos hacer esto con productos, cocientes, potencias y raíces, nunca con suma o resta dentro del argumento del logaritmo.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Expanding Logarithms Using Product, Quotient, and Power Rules

    Reescribir\(ln \left (\dfrac{x^4y}{7} \right )\) como suma o diferencia de registros.

    Solución

    Primero, porque tenemos un cociente de dos expresiones, podemos usar la regla del cociente:

    \(\ln \left (\dfrac{x^4y}{7} \right )=\ln(x^4y)−\ln(7)\)

    Después al ver el producto en el primer término, utilizamos la regla del producto:

    \(\ln(x^4y)−\ln(7)=\ln(x^4)+\ln(y)−\ln(7)\)

    Finalmente, utilizamos la regla de poder en el primer término:

    \(\ln(x^4)+\ln(y)−\ln(7)=4\ln(x)+\ln(y)−\ln(7)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Ampliar\(\log \left (\dfrac{x^2y^3}{z^4} \right )\).

    Contestar

    \(2\log x+3\log y−4\log z\)

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Using the Power Rule for Logarithms to Simplify the Logarithm of a Radical Expression

    Ampliar\(\log(x)\).

    Solución

    \[\begin{align*} \log(\sqrt{x})&= \log x^{\left (\tfrac{1}{2} \right )}\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}\log x \end{align*}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Ampliar\(\ln(\sqrt[3]{x^2})\).

    Contestar

    \(\dfrac{2}{3}\ln x\)

    Q&A: ¿Podemos ampliar\(\ln(x^2+y^2)\)?

    No. No hay manera de expandir el logaritmo de una suma o diferencia dentro del argumento del logaritmo.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Expanding Complex Logarithmic Expressions

    Ampliar\({\log}_6 \left (\dfrac{64x^3(4x+1)}{(2x−1)} \right )\).

    Solución

    Podemos expandirnos aplicando las Reglas de Producto y Cociente.

    \[\begin{align*} {\log}_6\left (\dfrac{64x^3(4x+1)}{(2x-1)} \right )&= {\log}_664+{\log}_6x^3+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1)\qquad \text{Apply the Quotient Rule}\\[4pt] &= {\log}_626+{\log}_6x^3+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1) \qquad \text{Simplify by writing 64 as } 2^6\\[4pt] &= 6{\log}_62+3{\log}_6x+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1) \qquad \text{Apply the Power Rule} \end{align*}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Ampliar\(\ln \left (\dfrac{\sqrt{(x−1){(2x+1)}^2}}{(x^2−9)}\right )\).

    Contestar

    \(\dfrac{1}{2}\ln(x−1)+\ln(2x+1)−\ln(x+3)−\ln(x−3)\)

    Condensación de expresiones logarítmicas

    Podemos usar las reglas de logaritmos que acabamos de aprender para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base que un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para combinarse. Más adelante aprenderemos a cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensarse.

    Cómo: Dada una suma, diferencia o producto de logaritmos con la misma base, escribir una expresión equivalente como un logaritmo único
    1. Aplica primero la propiedad de energía. Identificar términos que son productos de factores y un logaritmo, y reescribir cada uno como el logaritmo de una potencia.
    2. Siguiente aplicar la propiedad del producto. Reescribir sumas de logaritmos como logaritmo de un producto.
    3. Aplicar el cociente propiedad último. Reescribir las diferencias de logaritmos como el logaritmo de un cociente.
    Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Using the Product and Quotient Rules to Combine Logarithms

    Escribir\({\log}_3(5)+{\log}_3(8)−{\log}_3(2)\) como un solo logaritmo.

    Solución

    Uso de las reglas de producto y cociente

    \({\log}_3(5)+{\log}_3(8)={\log}_3(5⋅8)={\log}_3(40)\)

    Esto reduce nuestra expresión original a

    \({\log}_3(40)−{\log}_3(2)\)

    Luego, usando la regla del cociente

    \({\log}_3(40)−{\log}_3(2)={\log}_3 \left (\dfrac{40}{2} \right )={\log}_3(20)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Condensar\({\log}_3−{\log}_4+{\log}_5−{\log}_6\).

    Contestar

    \(\log \left (\dfrac{3⋅5}{4⋅6} \right)\); también se puede escribir\(\log \left (\dfrac{5}{8} \right )\) reduciendo la fracción a términos más bajos.

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Condensing Complex Logarithmic Expressions

    Condensar\({\log}_2(x^2)+\dfrac{1}{2}{\log}_2(x−1)−3{\log}_2({(x+3)}^2)\).

    Solución

    Aplicamos primero la regla de poder:

    \({\log}_2(x^2)+\dfrac{1}{2}{\log}_2(x−1)−3{\log}_2({(x+3)}^2)={\log}_2(x^2)+{\log}_2(\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)\)

    A continuación aplicamos la regla del producto a la suma:

    \({\log}_2(x^2)+{\log}_2(\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)={\log}_2(x^2\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)\)

    Finalmente, aplicamos la regla del cociente a la diferencia:

    \({\log}_2(x^2\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)={\log}_2\dfrac{x^2\sqrt{x−1}}{{(x+3)}^6}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\): Rewriting as a Single Logarithm

    Reescribir\(2\log x−4\log(x+5)+\dfrac{1}{x}\log(3x+5)\) como un logaritmo único.

    Solución

    Aplicamos primero la regla de poder:

    \(2\log x−4\log(x+5)+\dfrac{1}{x}\log(3x+5)=\log(x^2)−\log{(x+5)}^4+\log({(3x+5)}^{x^{−1}})\)

    A continuación reorganizamos y aplicamos la regla del producto a la suma:

    \[\begin{align*} \log(x^2)-\log{(x+5)}^4+\log({(3x+5)}^{x^{-1}})&= \log(x^2)+\log({(3x+5)}^{x^{-1}}-\log{(x+5)}^4\\[4pt] &= \log(x^2{(3x+5)}^{x^{-1}})-\log{(x+5)}^4\\[4pt] &= \log\dfrac{x^2{(3x+5)}^{x^{-1}}}{{(x+5)}^4} \qquad \text{Apply the quotient rule to the difference} \end{align*}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Reescribir\(\log(5)+0.5\log(x)−\log(7x−1)+3\log(x−1)\) como un logaritmo único.

    Contestar

    \(\log \dfrac{5{(x−1)}^3\sqrt{x}}{(7x−1)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Condensar\(4(3\log(x)+\log(x+5)−\log(2x+3))\).

    Contestar

    \(\log\dfrac{x^{12}{(x+5)}^4}{{(2x+3)}^4}\); esta respuesta también podría escribirse\(\log{ \left (\dfrac{x^3(x+5)}{(2x+3)} \right )}^4\)

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\): Applying of the Laws of Logs

    Recordemos que, en química,\({pH}=−\log[H+]\). Si se duplica la concentración de iones hidrógeno en un líquido, ¿cuál es el efecto sobre el pH?

    Solución

    Supongamos que\(C\) es la concentración original de iones hidrógeno, y\(P\) es el pH original del líquido. Entonces\(P=–\log(C)\). Si se duplica la concentración, la nueva concentración es\(2C\). Entonces el pH del nuevo líquido es

    \(pH=−\log(2C)\)

    Uso de la regla del producto de registros

    \(pH=−\log(2C)=−(\log(2)+\log(C))=−\log(2)−\log(C)\)

    Ya que\(P=–\log(C)\), el nuevo pH es

    \(pH=P−\log(2)≈P−0.301\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Cuando se duplica la concentración de iones hidrógeno, el pH disminuye aproximadamente\(0.301\).

    ¿Cómo cambia el pH cuando la concentración de iones de hidrógeno positivos disminuye a la mitad?

    Contestar

    El pH aumenta en aproximadamente\(0.301\).

    Uso de la fórmula de cambio de base para logaritmos

    La mayoría de las calculadoras solo pueden evaluar registros comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base distinta al\(10\) mineral, e, utilizamos la fórmula de cambio de base para reescribir el logaritmo como el cociente de logaritmos de cualquier otra base; al usar una calculadora, los cambiaríamos a registros comunes o naturales.

    Para derivar la fórmula de cambio de base, utilizamos la propiedad uno a uno y la regla de potencia para logaritmos.

    Dados los números reales positivos\(M\)\(b\),, y\(n\), dónde\(n≠1\) y\(b≠1\), mostramos

    \({\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\)

    Vamos\(y={\log}_bM\). Al tomar la base logarítmica\(n\) de ambos lados de la ecuación, llegamos a una forma exponencial, a saber\(b^y=M\). De ello se deduce que

    \[\begin{align*} {\log}_n(b^y)&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the one-to-one property}\\[4pt] y{\log}_nb&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the power rule for logarithms}\\[4pt] y&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Isolate y}\\[4pt] {\log}_bM&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Substitute for y} \end{align*}\]

    Por ejemplo, para evaluar\({\log}_536\) usando una calculadora, primero debemos reescribir la expresión como cociente de registros comunes o naturales. Usaremos el registro común.

    \[\begin{align*} {\log}_536&= \dfrac{\log(36)}{\log(5)} \qquad \text{Apply the change of base formula using base 10}\\[4pt] &\approx 2.2266 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}\]

    LA FORMULA DE CAMBIO DE BASE

    La fórmula de cambio de base se puede utilizar para evaluar un logaritmo con cualquier base.

    Para cualquier número real positivo\(M\),\(b\), y\(n\), dónde\(n≠1\) y\(b≠1\),

    \[{\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\]

    De ello se deduce que la fórmula de cambio de base se puede utilizar para reescribir un logaritmo con cualquier base como cociente de logaritmos comunes o naturales.

    \[{\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}\]

    y

    \[{\log}_bM=\dfrac{\log M}{\log b}\]

    Cómo: Dado un logaritmo con la forma\({\log}_bM\), use the change-of-base formula to rewrite it as a quotient of logs with any positive base \(n\), where \(n≠1\)
    1. Determinar la nueva base\(n\), recordando que el tronco común\(\log(x)\),, tiene base 10, y el tronco natural,\(\ln(x)\), tiene base\(e\).
    2. Reescribir el registro como cociente usando la fórmula de cambio de base
      • El numerador del cociente será un logaritmo con base\(n\) y argumento\(M\).
      • El denominador del cociente será un logaritmo con base\(n\) y argumento\(b\).
    Ejemplo\(\PageIndex{13}\): Changing Logarithmic Expressions to Expressions Involving Only Natural Logs

    Cambio\({\log}_53\) a un cociente de logaritmos naturales.

    Solución

    Porque estaremos expresando\({\log}_53\) como cociente de logaritmos naturales, la nueva base,\(n=e\).

    Reescribimos el registro como cociente usando la fórmula de cambio de base. El numerador del cociente será el logaritmo natural con argumento\(3\). El denominador del cociente será el logaritmo natural con argumento 5.

    \({\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}\)

    \({\log}_53=\dfrac{\ln3}{\ln5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Cambio\(\log0.58\) a un cociente de logaritmos naturales.

    Contestar

    \(\dfrac{\ln8}{\ln 0.5}\)

    Q&A: ¿Podemos cambiar logaritmos comunes a logaritmos naturales?

    Sí. Recuerda\(\log9\) ese medio\({\log}_{10}9\). Entonces,\(\log9=\dfrac{\ln9}{\ln10}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\): Using the Change-of-Base Formula with a Calculator

    Evaluar\({\log}_2(10)\) usando la fórmula de cambio de base con una calculadora.

    Solución

    De acuerdo con la fórmula de cambio de base, podemos reescribir la base logarítmica\(2\) como un logaritmo de cualquier otra base. Dado que nuestras calculadoras pueden evaluar el logaritmo natural, podríamos elegir usar el logaritmo natural, que es la base logarítmica\(e\).

    \[\begin{align*} {\log}_210&= \dfrac{\ln10}{\ln2} \qquad \text{Apply the change of base formula using base } e\\[4pt] &\approx 3.3219 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}\]

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Evaluar\({\log}_5(100)\) usando la fórmula de cambio de base.

    Contestar

    \(\dfrac{\ln100}{\ln5}≈\dfrac{4.6051}{1.6094}=2.861\)

    Medios

    Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con leyes de logaritmos.

    • Las propiedades de los logaritmos
    • Expandir expresiones logarítmicas
    • Evaluar una expresión logarítmica natural

    Ecuaciones Clave

    La regla del producto para logaritmos \({\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\)
    La regla del cociente para logaritmos \({\log}_b(\dfrac{M}{N})={\log}_bM−{\log}_bN\)
    La regla de poder para logaritmos \({\log}_b(M^n)=n{\log}_bM\)
    La fórmula de cambio de base \({\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\)\(n>0\),\(n≠1\),\(b≠1\)

    Conceptos clave

    • Podemos usar la regla de producto de logaritmos para reescribir el log de un producto como una suma de logaritmos. Ver Ejemplo\(\PageIndex{1}\).
    • Podemos usar la regla del cociente de logaritmos para reescribir el log de un cociente como diferencia de logaritmos. Ver Ejemplo\(\PageIndex{2}\).
    • Podemos usar la regla de potencia para logaritmos para reescribir el log de una potencia como producto del exponente y el log de su base. Ver Ejemplo\(\PageIndex{3}\) \(\PageIndex{4}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{5}\).
    • Podemos usar la regla de producto, la regla de cociente y la regla de potencia juntas para combinar o expandir un logaritmo con una entrada compleja. Ver Ejemplo\(\PageIndex{6}\) \(\PageIndex{7}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{8}\).
    • Las reglas de logaritmos también se pueden utilizar para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base que un logaritmo único. Ver Ejemplo\(\PageIndex{9}\), Ejemplo\(\PageIndex{10}\)\(\PageIndex{11}\), Ejemplo y Ejemplo\(\PageIndex{12}\).
    • Podemos convertir un logaritmo con cualquier base a un cociente de logaritmos con cualquier otra base usando la fórmula de cambio de base. Ver Ejemplo\(\PageIndex{13}\).
    • La fórmula de cambio de base se utiliza a menudo para reescribir un logaritmo con una base distinta a 10 y\(e\) como cociente de registros naturales o comunes. De esa manera se puede utilizar una calculadora para evaluar. Ver Ejemplo\(\PageIndex{14}\).

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