7.6: Matrices y Operaciones Matriciales

Objetivos de aprendizaje

• Encuentra la suma y diferencia de dos matrices.
• Encuentra múltiplos escalares de una matriz.
• Encuentra el producto de dos matrices.

Dos equipos de fútbol de clubes, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevos equipos para una próxima temporada. En la tabla se$\PageIndex{1}$ muestran las necesidades de ambos equipos.

Mesa$\PageIndex{1}$

	Gatos monteses	Gatos de barro
Goles	6	10
Bolas	30	24
Jerseys	14	20

Un gol cuesta$$300$; un balón cuesta$$10$; y un jersey cuesta$$30$. ¿Cómo podemos encontrar el costo total del equipo necesario para cada equipo? En esta sección, descubrimos un método en el que los datos en la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipo.

Figura$\PageIndex{1}$

Encontrar la suma y la diferencia de dos matrices

Para resolver un problema como el descrito para los equipos de fútbol, podemos usar una matriz, que es una matriz rectangular de números. Una fila en una matriz es un conjunto de números que están alineados horizontalmente. Una columna en una matriz es un conjunto de números que están alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamada elemento, de la matriz. Las matrices (plural) están encerradas en [] o (), y generalmente se nombran con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices nombradas$A$,$B$, y$C$ se muestran a continuación.

$$\begin{align*} A&=\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \\[4pt] B &=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & -5 & 6 \\ 7 & 8 & 2 \end{bmatrix} \\[4pt] C &=\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$$

A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o dimensiones:$m×n$ indicando$m$ filas y$n$ columnas. Las entradas de matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para ubicar la entrada en matriz$A$ identificada como$a_{ij}$, buscamos la entrada en fila$i$, columna$j$. En matriz$A$, que se muestra a continuación, la entrada en fila$2$, columna$3$ es$a_{23}$.

$$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \nonumber$$

• Una matriz cuadrada es una matriz con dimensiones$n × n$, lo que significa que tiene el mismo número de filas que columnas. La$3×3$ matriz anterior es un ejemplo de una matriz cuadrada.
• Una matriz de filas es una matriz que consiste en una fila con dimensiones$1 × n$. $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{bmatrix} \nonumber$$
• Una matriz de columna es una matriz que consiste en una columna con dimensiones$m × 1$. $$\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\a_{31} \end{bmatrix} \nonumber$$

Se puede usar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables en el sistema. Las matrices a menudo facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están gravadas con variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones básicas de matriz.

Definición: MATRICES

Una matriz es una matriz rectangular de números que generalmente se nombra con una letra mayúscula:$A$$B$,$C$,, y así sucesivamente. Cada entrada en una matriz es referida como$a_{ij}$, tal que$i$ representa la fila y$j$ representa la columna. A menudo se hace referencia a las matrices por sus dimensiones:$m × n$ indicando$m$ filas y$n$ columnas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding the Dimensions of the Given Matrix and Locating Entries

Matriz dada$A$:

1. ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz$A$?
2. ¿Cuáles son las entradas en$a_{31}$ y$a_{22}$?

$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\2 & 4 & 7\\3 & 1 & −2 \end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

1. Las dimensiones se$3 \times 3$ deben a que hay tres filas y tres columnas.
2. La entrada$a_{31}$ es el número en la fila 3, columna 1, que es$3$. La entrada$a_{22}$ es el número en la fila 2, columna 2, que es$4$. Recuerda, la fila viene primero, luego la columna.

Sumando y restando matrices

Utilizamos matrices para enumerar datos o para representar sistemas. Debido a que las entradas son números, podemos realizar operaciones en matrices. Sumamos o restamos matrices sumando o restando las entradas correspondientes. Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una$3 \times 3$ matriz y otra$3 \times 3$ matriz, pero no podemos sumar o restar una$2 \times 3$ matriz y una$3 \times 3$ matriz porque algunas entradas en una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.

SUMINAR Y RESTAR MATRICES

Dadas matrices$A$ y$B$ de dimensiones similares, suma y resta de$A$ y$B$ producirá matriz$C$ o matriz$D$ de la misma dimensión.

$$A+B=C$$

tal que$a_{ij}+b_{ij}=c_{ij}$

$$A−B=D$$

tal que$a_{ij}−b_{ij}=d_{ij}$

La adición de matriz es conmutativa.

$$A+B=B+A$$

También es asociativo.

$$(A+B)+C=A+(B+C)$$

Ejemplo$\PageIndex{2A}$: Finding the Sum of Matrices

Encuentra la suma de$A$ y$B$, dada

$$A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d \end{bmatrix} \nonumber$$

y

$$B=\begin{bmatrix}e & f\\g & h\end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

Agregar entradas correspondientes.

$$\begin{align} A+B &=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}e & f\\g & h\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}a+e & b+f\\c+g & d+h \end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{2B}$: Adding Matrix $A$ and Matrix $B$

Encuentra la suma de$A$ y$B$.

$$A=\begin{bmatrix}4 &1\\3 & 2 \end{bmatrix} \nonumber$$

y

$$B=\begin{bmatrix}5 & 9\\0 & 7\end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

Agregar entradas correspondientes. Agregar la entrada en la fila 1, columna 1,$a_{11}$, de matriz$A$ a la entrada en la fila 1, columna 1,$b_{11}$, de$B$. Continuar con el patrón hasta que se hayan agregado todas las entradas.

$$\begin{align} A+B &=\begin{bmatrix}4&1\\3 &2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5&9\\0&7\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}4+5&1+9\\3+0&2+7\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}9&10\\3&9\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{2C}$: Finding the Difference of Two Matrices

Encuentra la diferencia de$A$ y$B$.

$A=\begin{bmatrix}−2&3\\0&1\end{bmatrix}$y$B=\begin{bmatrix}8&1\\5&4\end{bmatrix}$

Solución

Se restan las entradas correspondientes de cada matriz.

$$\begin{align} A−B &=\begin{bmatrix}−2&3\\0&1\end{bmatrix}−\begin{bmatrix}8&1\\5&4\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−2−8&3−1\\0−5&1−4\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}−10&2\\−5&−3\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{2D}$: Finding the Sum and Difference of Two 3 x 3 Matrices

Dado$A$ y$B$:

1. Encuentra la suma.
2. Encuentra la diferencia.

$$A=\begin{bmatrix}2&−10&−2\\14&12&10\\4&−2&2\end{bmatrix} \nonumber$$

y

$$B=\begin{bmatrix}6&10&−2\\0&−12&−4\\−5&2&−2\end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

1. Agregar las entradas correspondientes.

$$\begin{align} A+B & =\begin{bmatrix} 2& −10& −2\\14 & 12 & 10\\4 & −2 & 2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6 & 10 & −2\\0 & −12 & −4\\−5 & 2 & −2\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}2+6 & −10+10 & −2−2\\14+0 & 12−12 & 10−4\\4−5 & −2+2 & 2−2\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix} 8 & 0 & −4\\14 & 0 & 6\\−1 & 0 & 0\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

2. Reste las entradas correspondientes.

$$\begin{align} A−B &=\begin{bmatrix}2&−10&−2\\14&12&10\\4&−2&2\end{bmatrix}−\begin{bmatrix}6&10&−2\\0&−12&−4\\−5&2&−2\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}2−6 & −10−10 & −2+2\\14−0 & 12+12 & 10+4\\4+5 & −2−2 & 2+2\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}−4 & −20 & 0\\14 & 24 & 14\\9 & −4 & 4\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Agregar matriz$A$ y matriz$B$.

$$A=\begin{bmatrix}2&6\\1&0\\1&−3\end{bmatrix} \nonumber$$

y

$$B=\begin{bmatrix}3&−2\\1&5\\−4&3\end{bmatrix} \nonumber$$

Contestar

$$\begin{align} A+B&=\begin{bmatrix}2&6\\ 1 &0\\1&−3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3&-2 \\1&5 \\-4&3\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}2+3&6+(−2)\\1+1&0+5\\1+(-4)&−3+3\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}5&4\\2&5\\-3&0\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

Encontrar múltiplos escalares de una matriz

Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante llamada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de número real que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. El proceso de multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de la multiplicación escalar.

Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita agregar a su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de la matrícula. Estiman que se necesita$15%$ más equipo en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la Tabla$\PageIndex{2}$.

Mesa$\PageIndex{2}$

	Laboratorio A	Laboratorio B
Computadoras	15	27
Mesas de Computadora	16	34
Sillas	16	34

Convirtiendo los datos a una matriz, tenemos

$$C_{2013}=\begin{bmatrix}15 & 27\\16&34\\16&34\end{bmatrix} \nonumber$$

Para calcular cuánto equipo de cómputos se necesitará, multiplicamos todas las entradas en matriz$C$ por$0.15$.

$$(0.15)C_{2013}=\begin{bmatrix}(0.15)15&(0.15)27\\(0.15)16&(0.15)34\\(0.15)16 &(0.15)34\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.25 &4.05\\2.4&5.1\\2.4&5.1\end{bmatrix} \nonumber$$

Debemos redondear hasta el siguiente entero, así que la cantidad de equipo nuevo que se necesita es

$$\begin{bmatrix}3&5\\3&6\\3&6\end{bmatrix} \nonumber$$

Sumando las dos matrices como se muestra a continuación, vemos los nuevos montos de inventario.

$$\begin{bmatrix}15&27\\16&34\\16&34\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3&5\\3&6\\3&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}18&32\\19&40\\19&40\end{bmatrix} \nonumber$$

Esto significa

$$C_{2014}=\begin{bmatrix}18&32\\19&40\\19&40\end{bmatrix} \nonumber$$

Así, el Laboratorio A contará con$18$ computadoras, mesas de$19$ computadora y$19$ sillas; el Laboratorio B contará con$32$ computadoras, mesas de$40$ computadora y$40$ sillas.

MULTIPLACIÓN ESCALAR

La multiplicación escalar implica encontrar el producto de una constante por cada entrada en la matriz. Dado

$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \nonumber$$

el múltiplo escalar$cA$ es

$$cA=c\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \nonumber$$

$$=\begin{bmatrix}ca_{11}&ca_{12}\\ca_{21}&ca_{22}\end{bmatrix} \nonumber$$

La multiplicación escalar es distributiva. Para las matrices$A$,$B$, y$C$ con escalares$a$ y$b$,

$$a(A+B)=aA+aB$$

$$(a+b)A=aA+bA$$

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Multiplying the Matrix by a Scalar

Multiplica la matriz$A$ por el escalar$3$.

$$A=\begin{bmatrix}8&1\\5&4\end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

Multiplica cada entrada$A$ por el escalar$3$.

$$\begin{align} 3A&=3\begin{bmatrix}8&1\\5&4\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}3⋅8&3⋅1\\3⋅5&3⋅4\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}24&3\\15&12\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dada la matriz$B$, encuentra$−2B$ dónde

$$B=\begin{bmatrix}4&1\\3&2\end{bmatrix} \nonumber$$

Contestar

$$−2B=\begin{bmatrix}−8&−2\\−6&−4\end{bmatrix} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Finding the Sum of Scalar Multiples

Encuentra la suma$3A+2B$.

$$A=\begin{bmatrix}1&−2&0\\0&−1&2\\4&3&−6\end{bmatrix} \nonumber$$

y

$$B=\begin{bmatrix}−1&2&1\\0&−3&2\\0&1&−4\end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

Primero, encuentra$3A$, luego$2B$.

$$\begin{align} 3A&=\begin{bmatrix}3⋅1&3(−2)&3⋅0\\3⋅0&3(−1)&3⋅2\\3⋅4&3⋅3&3(−6)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}3&−6&0\\0&−3&6\\12&9&−18\end{bmatrix}\nonumber \end{align} \nonumber$$

$$\begin{align} 2B&=\begin{bmatrix}2(−1)&2⋅2&2⋅1\\2⋅0&2(−3)&2⋅2\\2⋅0&2⋅1&2(−4)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}−2&4&2\\0&−6&4\\0&2&−8\end{bmatrix}\nonumber \end{align} \nonumber$$

Ahora, agregue$3A+2B$.

$$\begin{align} 3A+2B&=\begin{bmatrix}3&−6&0\\0&−3&6\\12&9&−18\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}−2&4&2\\0&−6&4\\0&2&−8\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}3−2&−6+4&0+2\\0+0&−3−6&6+4\\12+0&9+2&−18−8\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}1& −2&2\\0&−9&10\\12&11&−26\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

Encontrar el producto de dos matrices

Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Encontrar el producto de dos matrices sólo es posible cuando las dimensiones internas son las mismas, lo que significa que el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Si$A$ es una$m × r$ matriz y$B$ es una$r × n$ matriz, entonces la matriz del producto$AB$ es una$m × n$ matriz. Por ejemplo, el producto$AB$ es posible porque el número de columnas en$A$ es el mismo que el número de filas en$B$. Si las dimensiones internas no coinciden, el producto no está definido.

Multiplicamos entradas de$A$ con entradas de$B$ acuerdo a un patrón específico como se describe a continuación. El proceso de multiplicación matricial se vuelve más claro cuando se trabaja un problema con números reales.

Para obtener las entradas en fila$i$ de$AB$, multiplicamos las entradas en fila$i$ de$A$ por columna$j$ en$B$ y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices$A$ y$B$, donde las dimensiones de$A$ son$2 \times 3$ y las dimensiones de$B$ son$3 \times 3$, el producto de$AB$ será una$2 \times 3$ matriz.

$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix} \nonumber$$

y

$$B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix} \nonumber$$

Multiplicar y sumar de la siguiente manera para obtener la primera entrada de la matriz del producto$AB$.

1. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de$AB$, multiplique la primera fila$A$ por la primera columna en$B$, y agregue.

   $$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\end{bmatrix} ⋅\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\\b_{31}\end{bmatrix}=a_{11}⋅b_{11}+a_{12}⋅b_{21}+a_{13}⋅b_{31} \nonumber$$

2. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de$AB$, multiplique la primera fila de$A$ por la segunda columna en$B$, y agregue.

   $$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\end{bmatrix} ⋅\begin{bmatrix}b_{12}\\b_{22}\\b_{32}\end{bmatrix}=a_{11}⋅b_{12}+a_{12}⋅b_{22}+a_{13}⋅b_{32} \nonumber$$

3. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de$AB$, multiplique la primera fila de$A$ por la tercera columna en$B$, y agregue.

   $$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\end{bmatrix} ⋅\begin{bmatrix}b_{13}\\b_{23}\\b_{33}\end{bmatrix}=a_{11}⋅b_{13}+a_{12}⋅b_{23}+a_{13}⋅b_{33} \nonumber$$

Se procede de la misma manera para obtener la segunda fila de$AB$. Es decir, fila 2 de$A$ veces columna 1 de$B$; fila 2 de$A$ veces columna 2 de$B$; fila 2 de$A$ veces columna 3 de$B$. Cuando esté completa, la matriz del producto será

$$AB=\begin{bmatrix}a_{11}⋅b_{11}+a_{12}⋅b_{21}+a_{13}⋅b_{31} &a_{11}⋅b_{12}+a_{12}⋅b_{22}+a_{13}⋅b_{32}&a_{11}⋅b_{13}+a_{12}⋅b_{23}+a_{13}⋅b_{33} \\a_{21}⋅b_{11}+a_{22}⋅b_{21}+a_{23}⋅b_{31}&a_{21}⋅b_{12}+a_{22}⋅b_{22}+a_{23}⋅b_{32}&a_{21}⋅b_{13}+a_{22}⋅b_{23}+a_{23}⋅b_{33}\end{bmatrix} \nonumber$$

PROPIEDADES DE MULTIPLICACIÓN

Para la matriz$A, B$, y$C$ se mantienen las siguientes propiedades.

• La multiplicación matricial es asociativa: $$(AB)C=A(BC).$$
• La multiplicación matricial es distributiva: $$C(A+B)=CA+CB$$ $$(A+B)C=AC+BC.$$

Obsérvese que la multiplicación matricial no es conmutativa.

Ejemplo$\PageIndex{5A}$: Multiplying Two Matrices

Multiplicar matriz$A$ y matriz$B$.

$$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix} \nonumber$$

y

$$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

Primero, verificamos las dimensiones de las matrices. La matriz$A$ tiene dimensiones$2 × 2$ y la matriz$B$ tiene dimensiones$2 × 2$. Las dimensiones internas son las mismas para que podamos realizar la multiplicación. El producto tendrá las dimensiones$2 × 2$.

Realizamos las operaciones descritas anteriormente.

Ejemplo$\PageIndex{5B}$: Multiplying Two Matrices

Dado$A$ y$B$:

1. Encuentra$AB$.
2. Encuentra$BA$.

$$A=\begin{bmatrix}−1&2&3\\ 4&0&5\end{bmatrix} \nonumber$$

y

$$B=\begin{bmatrix}5&−1\\-4&0\\2&3\end{bmatrix} \nonumber$$

Solución

1. Como las dimensiones de$A$ son$2 \times 3$ y las dimensiones de$B$ son$3 \times 2$, estas matrices se pueden multiplicar juntas porque el número de columnas en$A$ coincide con el número de filas en$B$. El producto resultante será una$2 \times 2$ matriz, el número de filas en$A$ por el número de columnas en$B$.

$$\begin{align}AB&=\begin{bmatrix}−1&2&3\\4&0&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5&−1\\−4&0\\2&3\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}−1(5)+2(−4)+3(2)&−1(−1)+2(0)+3(3)\\4(5)+0(−4)+5(2)&4(−1)+0(0)+5(3)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}−7&10\\30&11\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

2. Las dimensiones de$B$ son$3 \times 2$ y las dimensiones de$A$ son$2 \times 3$. Las dimensiones internas coinciden por lo que se define el producto y será una$3 \times 3$ matriz.

$$\begin{align}BA&=\begin{bmatrix}5&−1\\−4&0\\2&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} −1&2&3\\4&0&5\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}5(−1)+−1(4)&5(2)+−1(0)&5(3)+−1(5)\\−4(−1)+0(4)&−4(2)+0(0)&−4(3)+0(5)\\2(−1)+3(4)& 2(2)+3(0)&2(3)+3(5)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &=\begin{bmatrix}−9&10&10\\4&−8&−12\\10&4&21\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

Análisis

Observe que los productos$AB$ y no$BA$ son iguales.

$$AB=\begin{bmatrix}−7&10\\30&11\end{bmatrix}≠ \begin{bmatrix}−9&10&10\\4&−8&−12\\10&4&21\end{bmatrix}=BA \nonumber$$

Esto ilustra el hecho de que la multiplicación matricial no es conmutativa.

Q&A: ¿Es posible que se defina AB pero no BA?

Sí, considera una matriz$A$ con dimensión$3 × 4$ y matriz$B$ con dimensión$4 × 2$. Para el producto$AB$ las dimensiones internas son$4$ y se define el producto, pero para el producto$BA$ las dimensiones internas son$2$ y$3$ así el producto está indefinido.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Using Matrices in Real-World Problems

Volvamos al problema presentado en la apertura de esta sección. Contamos con Mesa$\PageIndex{3}$, representando las necesidades de equipamiento de dos equipos de futbol.

Mesa$\PageIndex{3}$

	Gatos monteses	Gatos de barro
Goles	6	10
Bolas	30	24
Jerseys	14	20

También se nos dan los precios de los equipos, como se muestra en la Tabla$\PageIndex{4}$.

Mesa$\PageIndex{4}$

Gol	$300
Pelota	$10
Jersey	$30

Convertiremos los datos en matrices. Por lo tanto, la matriz de necesidad de equipo se escribe como

$$E=\begin{bmatrix}6&10\\30&24\\14&20\end{bmatrix} \nonumber$$

La matriz de costos se escribe como

$$C=\begin{bmatrix}300&10&30\end{bmatrix} \nonumber$$

Realizamos multiplicación matricial para obtener costos para el equipo.

$$\begin{align} CE&=\begin{bmatrix}300&10&30\end{bmatrix}⋅\begin{bmatrix}6&10\\30&24\\14&20\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}300(6)+10(30)+30(14)&300(10)+10(24)+30(20)\end{bmatrix} \nonumber \\[4pt] &= \begin{bmatrix}2,520&3,840\end{bmatrix} \nonumber \end{align} \nonumber$$

El costo total del equipo para los gatos monteses es$$2,520$, y el costo total para el equipo para los gatos de barro es$$3,840$.

Cómo: Dada una operación matricial, evaluar usando una calculadora

1. Guardar cada matriz como una variable de matriz$[A], [B], [C],...$
2. Ingrese la operación en la calculadora, llamando a cada variable de matriz según sea necesario.
3. Si se define la operación, la calculadora presentará la matriz de solución; si la operación es indefinida, mostrará un mensaje de error.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Using a Calculator to Perform Matrix Operations

Encontrar$AB−C$ dado

$A=\begin{bmatrix}−15&25&32\\41&−7&−28\\10&34&−2\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}45&21&−37\\−24&52&19\\6&−48&−31\end{bmatrix}$, y$C=\begin{bmatrix}−100&−89&−98\\25&−56&74\\−67&42&−75\end{bmatrix}$

Solución

En la página de matriz de la calculadora, ingresamos matriz$A$ arriba como la variable matriz$[ A ]$, matriz$B$ arriba como la variable matriz$[ B ]$, y matriz$C$ arriba como la variable matriz$[ C ]$.

En la pantalla de inicio de la calculadora, escribimos el problema y llamamos a cada variable de matriz según sea necesario.

$$[A]×[B]−[C] \nonumber$$

La calculadora nos da la siguiente matriz.

$$\begin{bmatrix}−983&−462&136\\1,820&1,897&−856\\−311&2,032&413\end{bmatrix} \nonumber$$

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con matrices y operaciones matriciales.

• Dimensiones de una matriz
• Suma y resta de matriz
• Operaciones Matrix
• Multiplicación Matricial

Conceptos clave

• Una matriz es una matriz rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas.
• Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. Una$3×2$ matriz tiene tres filas y dos columnas. Ver Ejemplo$\PageIndex{1}$.
• Sumamos y restamos matrices de dimensiones iguales sumando y restando las entradas correspondientes de cada matriz. Ver Ejemplo$\PageIndex{2}$, Ejemplo$\PageIndex{3}$$\PageIndex{4}$, Ejemplo y Ejemplo$\PageIndex{5}$.
• La multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por una constante. Ver Ejemplo$\PageIndex{6}$.
• A menudo se requiere multiplicación escalar antes de que pueda ocurrir la suma o resta. Ver Ejemplo$\PageIndex{7}$.
• Multiplicar matrices es posible cuando las dimensiones internas son las mismas: el número de columnas en la primera matriz debe coincidir con el número de filas en la segunda.
• El producto de dos matrices,$A$ y$B$, se obtiene multiplicando cada entrada en la fila 1 de$A$ por cada entrada en la columna 1 de$B$; luego multiplicar cada entrada de la fila 1 de$A$ por cada entrada en las columnas 2 de$B$, y así sucesivamente. Ver Ejemplo$\PageIndex{8}$ y Ejemplo$\PageIndex{9}$.
• Muchos problemas del mundo real a menudo se pueden resolver usando matrices. Ver Ejemplo$\PageIndex{10}$.
• Podemos usar una calculadora para realizar operaciones matriciales después de guardar cada matriz como una variable matricial. Ver Ejemplo$\PageIndex{11}$.