4: Subgrupos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
A partir de ahora, a menos que se indique lo contrario,G denotará un grupo cuya operación binaria se denota pora⋅b o simplementeab paraa,b∈G. La identidad deG será denotada pore y la inversa dea∈G será denotada pora−1. A veces, sin embargo, es posible que necesitemos discutir grupos cuyas operaciones son pensadas como adiciones. En tales casos escribimosa+b en lugar deab. También en este caso, la identidad se denota por0 y la inversa dea∈G se denota por−a. Las definiciones y resultados dados usando notación multiplicativa siempre se pueden traducir a notación aditiva si es necesario.
SeamosG un grupo. Un subgrupo deG es un subconjuntoH delG cual satisface las siguientes tres condiciones:
- e∈H.
- Sia,b∈H, entoncesab∈H.
- Sia∈H, entoncesa−1∈H.
Por conveniencia a veces escribimosH≤G para significar queH es un subgrupo deG.
Problema 4.1 Traducir la definición anterior en notación aditiva.
SiH es un subgrupo deG, entonces la operación binaria onG cuando se restringe aH es una operación binaria onH. A partir de la definición, se puede demostrar fácilmente que un subgrupoH es un grupo por derecho propio con respecto a esta operación binaria. De esta manera se pueden obtener muchos ejemplos de grupos. De hecho, de una manera que concretaremos más adelante, cada grupo finito puede ser considerado como un subgrupo de uno de los gruposSn.
Problema 4.2 Demostrar que siG es algún grupo, entonces
- {e}≤G.
- G≤G.
Los subgrupos{e} yG se dice que son subgrupos triviales deG.
Problema 4.3
a) Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos deS4 son subgrupos deS4.
- H={ι,(1 2),(3 4),(1 2)(3 4)}
- K={ι,(1 2 3),(1 3 2)}
- J={ι,(1 2),(1 2 3)}
- L={σ∈S4 | σ(1)=1}.
b) Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos deZ12 son subgrupos deZ12. (Aquí la operación binaria es adición módulo 12.)
- A={0,3,6,9,}
- B={0,6}
- C={0,1,2,3,4,5}
(c) Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos deZ son subgrupos deZ. (Aquí la operación binaria es suma.)
- U={5k |k ∈Z}
- V={5k+1 | k∈N}
- W={5k+1 | k∈Z}
Problema 4.4 DejarSL(2,R)={A∈GL(2,R)|det(A)=1}. Demostrar esoSL(2,R)≤GL(2,R).
SL(2,R)se llama el Grupo Lineal Especial de Grado 2 sobreR
Problema 4.5 Porn∈N, queAn sea el conjunto de todas las permutaciones pares en el grupoSn. Demostrar queAn es un subgrupo deSn.
Anse llama el grupo alterno de gradon.
Problema 4.6 Enumerar los elementos deAn forn=1,2,3,4. A partir de este intento de adivinar el orden deAn forn>4.
Dejara ser un elemento del grupoG. Si existen∈N tal quean=e decimos quea tiene orden finito. y definimoso(a)=min{n∈N|an=e} Sian≠e para todosn∈N, decimos quea tiene orden infinito y nosotros definiro(a)=∞. En cualquier caso llamamoso(a) al orden dea.
Anote cuidadosamente la diferencia entre el orden de un grupo y el orden de un elemento de un grupo. Algunos autores empeoran las cosas al usar la misma notación para ambos conceptos. Tal vez mediante el uso de notación diferente hará que sea un poco más fácil distinguir los dos conceptos.
Sin≥2, para probar queo(a)=n debemos demostrar esoai≠e parai=1,2,…,n−1 yan=e. Tenga en cuenta también quea=e si y solo sio(a)=1. Entonces cada elemento de un grupo que no seae tiene ordenn≥2 o∞.
Problema 4.7 Traducir la definición anterior en notación aditiva. Es decir, definir el orden de un elemento de un grupoG con operación binaria+ e identidad denotada por 0.
Problema 4.8 Encontrar el orden de cada elemento deS3.
Problema 4.9 Encontrar el orden de unk -ciclo cuandok=2,3,4,5. Adivina el orden de unk -ciclo para arbitrariok.
Problema 4.10 Encuentra el orden de las siguientes permutaciones:
a)(1 2)(3 4 5)
b)(1 2)(3 4)(5 6 7 8)
c)(1 2)(3 4)(5 6 7 8)(9 10 11)
d) Tratar de encontrar una regla para computar el orden de un producto ciclos disjuntos en términos de los tamaños de los ciclos.
Problema 4.11 Encuentra el orden de cada elemento del grupo(Z6,+).
Problema 4.12 Encuentra el orden de cada elemento deGL(2,Z2). [Recordemos queGL(2,Z2) es el grupo de todas2×2 las matrices con entradas enZ2 con determinante distinto de cero. Recordemos queZ2={0,1} y las operaciones son multiplicación y suma módulo 2.]
Problema 4.13 Encuentra el orden del elemento 2 en el grupo(R−{0},⋅). ¿Hay algún elemento de orden finito en este grupo?
Dejara ser un elemento del grupoG. Definir⟨a⟩={ai:i∈Z}. Llamamos⟨a⟩ al subgrupo deG generado pora.
Tenga en cuenta que⟨a⟩={…,a−3,a−2,a−1,a0,a1,a2,a3,…}. En particular,a=a1 ye=a0 están en⟨a⟩.
Problema 4.14 Traducir la definición anterior de⟨a⟩ y la observación en notación aditiva.
Para cada unoa en el grupoG,⟨a⟩ es un subgrupo deG. ⟨a⟩contienea y es el subgrupo más pequeño delG que contienea. ◼
Prueba Como se acaba de señalare=a0∈⟨a⟩. Vamosan,am∈⟨a⟩. Ya quen+m∈Z se deduce del Teorema 2.4 queanam=an+m∈⟨a⟩. También del Teorema 2.4an∈⟨a⟩, si, ya quen(−1)=−n tenemos(an)−1=a−n∈⟨a⟩. Esto demuestra que⟨a⟩ es un subgrupo.
Yaa=a1 que es claro quea∈⟨a⟩. SiH hay algún subgrupo delG que contengaa, ya queH se cierra bajo tomar productos y tomar inversos,an∈⟨a⟩ para cadan∈Z. Entonces⟨a⟩⊆H. Es decir, cada subgrupo delG que contienea también contiene⟨a⟩. Esto implica que⟨a⟩ es el subgrupo más pequeño delG que contienea.
SeamosG un grupo y dejemosa∈G. Sio(a)=1, entonces⟨a⟩={e}. Sio(a)=n dónden≥2, entonces⟨a⟩={e,a,a2,…,an−1} y los elementose,a,a2,…,an−1 son distintos, es decir,o(a)=|⟨a⟩|.◼
Prueba Supongamos queo(a)=n. El cason=1 se deja al lector. Supongamosn≥2. Debemos probar dos cosas.
- Sii∈Z entoncesai∈{e,a,a2,…,an−1}.
- Los elementose,a,a2,…,an−1 son distintos.
Para establecer 1 notamos que sii es algún entero podemos escribirlo en la formai=nq+r donder∈{0,1,…,n−1}. Aquíq está el cociente yr es el resto cuandoi se divide porn. Ahora usando Teorema [Th2.3] tenemosai=anq+r=anqar=(an)qar=eqar=ear=ar. Esto prueba 1. Para probar 2, asumir queai=aj donde0≤i<j≤n−1. De ello se deduce queaj−i=aj+(−i)=aja−i=aia−i=a0=e. Peroj−i es un entero positivo menor quen, asíaj−i=e contradice el hecho de queo(a)=n. Entonces la suposición de queai=aj donde0≤i<j≤n−1 es falso. Esto implica que 2 sostiene. De ello se deduce que⟨a⟩ contiene exactamenten elementos, es decir,\mathrm{o}(a) = \vert \langle a \rangle \vert.
SiG es un grupo finito, entonces cada elemento deG tiene orden finito. \blacksquare
Prueba Dejara ser cualquier elemento deG. Considera la lista infinitaa^1, a^2, a^3, \dots, a^i, \dots de elementos enG. Dado queG es finito, todos los elementos de la lista no pueden ser diferentes. Por lo que debe haber enteros positivosi < j tales quea^i = a^j. Dado quei < j,j-i es un entero positivo. Entonces usando el Teorema 2.4 tenemos Esa^{j-i} = a^{j + (-i)} = a^ja^{-i} = a^ia^{-i}=a^0=e. decir,a^n = e para el entero positivon=j-i. Asía tiene el orden finito, que es lo que queríamos probar.
Problema 4.15 Por cada elección deG y cadaa \in G lista dada todos los elementos del subgrupo\langle a \rangle deG.
- G=S_3,a=( 1 \ 2).
- G=S_3,a=( 1 \ 2 \ 3 ).
- G=S_4,a= ( 1 \ 2 \ 3 \ 4).
- G=S_4,a=( 1 \ 2)( 3 \ 4).
- G=\mathbb{Z},a=5.
- G=\mathbb{Z},a=-1.
- G=\mathbb{Z}_{15},a=5.
- G=\mathbb{Z}_{15},a=1.
- G=GL(2,\mathbb{Z}_2),a= \left ( \begin{array} {cc} 1&1\\0&1 \end{array}\right).
- G=GL(2,\mathbb{R}),a= \left ( \begin{array} {cr} 0&-1 \\ 1&0 \end{array}\right).
Problema 4.16 Supongamos quea es un elemento de un grupo yo(a)= n. Demostrar quea^m = e si y sólo sin \, \vert \, m. [Pista: El algoritmo de división del apéndice C puede ser útil para la prueba en una dirección.]