4: Subgrupos

A partir de ahora, a menos que se indique lo contrario,\(G\) denotará un grupo cuya operación binaria se denota por\(a \cdot b\) o simplemente\(ab\) para\(a,b \in G\). La identidad de\(G\) será denotada por\(e\) y la inversa de\(a \in G\) será denotada por\(a^{-1}\). A veces, sin embargo, es posible que necesitemos discutir grupos cuyas operaciones son pensadas como adiciones. En tales casos escribimos\(a + b\) en lugar de\(ab\). También en este caso, la identidad se denota por\(0\) y la inversa de\(a \in G\) se denota por\(-a\). Las definiciones y resultados dados usando notación multiplicativa siempre se pueden traducir a notación aditiva si es necesario.

Definición 4.1:

Seamos\(G\) un grupo. Un subgrupo de\(G\) es un subconjunto\(H\) del\(G\) cual satisface las siguientes tres condiciones:

1. \(e \in H.\)
2. Si\(a,b \in H\), entonces\(ab \in H\).
3. Si\(a \in H\), entonces\(a^{-1} \in H\).

Por conveniencia a veces escribimos\(H \le G\) para significar que\(H\) es un subgrupo de\(G\).

Problema 4.1 Traducir la definición anterior en notación aditiva.

OBSERVACIÓN

Si\(H\) es un subgrupo de\(G\), entonces la operación binaria on\(G\) cuando se restringe a\(H\) es una operación binaria on\(H\). A partir de la definición, se puede demostrar fácilmente que un subgrupo\(H\) es un grupo por derecho propio con respecto a esta operación binaria. De esta manera se pueden obtener muchos ejemplos de grupos. De hecho, de una manera que concretaremos más adelante, cada grupo finito puede ser considerado como un subgrupo de uno de los grupos\(S_n\).

Problema 4.2 Demostrar que si\(G\) es algún grupo, entonces

1. \(\{e \} \le G\).
2. \(G \le G\).

Los subgrupos\(\{e \}\) y\(G\) se dice que son subgrupos triviales de\(G\).

Problema 4.3

a) Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos de\(S_4\) son subgrupos de\(S_4\).

1. \(H=\{ \iota, (1 \ 2), (3 \ 4), (1 \ 2) (3 \ 4) \}\)
2. \(K=\{ \iota, (1 \ 2 \ 3), ( 1 \ 3 \ 2) \}\)
3. \(J=\{ \iota, (1 \ 2), (1 \ 2 \ 3) \}\)
4. \(L=\{\sigma\in S_4 \ | \ \sigma(1) = 1\}\).

b) Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos de\(\mathbb{Z}_{12}\) son subgrupos de\(\mathbb{Z}_{12}\). (Aquí la operación binaria es adición módulo 12.)

1. \(A=\{ 0, 3, 6, 9, \}\)
2. \(B=\{ 0, 6 \}\)
3. \(C=\{0, 1,2,3,4,5 \}\)

(c) Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos de\(\mathbb{Z}\) son subgrupos de\(\mathbb{Z}\). (Aquí la operación binaria es suma.)

1. \(U=\{ 5k \ \vert k \ \in \mathbb{Z}\}\)
2. \(V=\{ 5k + 1 \ \vert \ k \in \mathbb{N}\}\)
3. \(W=\{ 5k +1 \ \vert \ k \in \mathbb{Z}\}\)

Problema 4.4 Dejar\[SL(2,\mathbb{R}) = \{ A \in GL(2,\mathbb{R}) \, \vert \, \det(A) = 1 \}.\] Demostrar eso\(SL(2,\mathbb{R}) \le GL(2,\mathbb{R})\).

\(SL(2,\mathbb{R})\)se llama el Grupo Lineal Especial de Grado 2 sobre\(\mathbb{R}\)

Problema 4.5 Por\(n \in \mathbb{N}\), que\(A_n\) sea el conjunto de todas las permutaciones pares en el grupo\(S_n\). Demostrar que\(A_n\) es un subgrupo de\(S_n\).

\(A_n\)se llama el grupo alterno de grado\(n\).

Problema 4.6 Enumerar los elementos de\(A_n\) for\(n = 1, 2, 3, 4\). A partir de este intento de adivinar el orden de\(A_n\) for\(n > 4\).

Definición 4.2:

Dejar\(a\) ser un elemento del grupo\(G\). Si existe\(n \in \mathbb{N}\) tal que\(a^n = e\) decimos que\(a\) tiene orden finito. y definimos\[\mathrm{o}(a) = \min \{ n \in \mathbb{N} \, | \, a^n=e \}\] Si\(a^n \ne e\) para todos\(n \in \mathbb{N}\), decimos que\(a\) tiene orden infinito y nosotros definir\[\mathrm{o}(a)=\infty.\] En cualquier caso llamamos\(\mathrm{o}(a)\) al orden de\(a\).

Anote cuidadosamente la diferencia entre el orden de un grupo y el orden de un elemento de un grupo. Algunos autores empeoran las cosas al usar la misma notación para ambos conceptos. Tal vez mediante el uso de notación diferente hará que sea un poco más fácil distinguir los dos conceptos.

Si\(n \ge 2\), para probar que\(\mathrm{o}(a)=n\) debemos demostrar eso\(a^i \ne e\) para\(i=1, 2, \dots, n-1\) y\(a^n =e\). Tenga en cuenta también que\(a=e\) si y solo si\(\mathrm{o}(a)=1\). Entonces cada elemento de un grupo que no sea\(e\) tiene orden\(n \ge 2\) o\(\infty\).

Problema 4.7 Traducir la definición anterior en notación aditiva. Es decir, definir el orden de un elemento de un grupo\(G\) con operación binaria\(+\) e identidad denotada por 0.

Problema 4.8 Encontrar el orden de cada elemento de\(S_3\).

Problema 4.9 Encontrar el orden de un\(k\) -ciclo cuando\(k=2,3,4,5\). Adivina el orden de un\(k\) -ciclo para arbitrario\(k\).

Problema 4.10 Encuentra el orden de las siguientes permutaciones:

a)\((1 \ 2) (3 \ 4 \ 5)\)

b)\((1 \ 2) ( 3 \ 4) (5 \ 6 \ 7 \ 8)\)

c)\((1 \ 2) ( 3 \ 4) (5 \ 6 \ 7 \ 8) ( 9 \ 10 \ 11)\)

d) Tratar de encontrar una regla para computar el orden de un producto ciclos disjuntos en términos de los tamaños de los ciclos.

Problema 4.11 Encuentra el orden de cada elemento del grupo\((\mathbb{Z}_6,+)\).

Problema 4.12 Encuentra el orden de cada elemento de\(GL(2,\mathbb{Z}_2)\). [Recordemos que\(GL(2,\mathbb{Z}_2)\) es el grupo de todas\(2 \times 2\) las matrices con entradas en\(Z_2\) con determinante distinto de cero. Recordemos que\(\mathbb{Z}_2 = \{ 0, 1 \}\) y las operaciones son multiplicación y suma módulo 2.]

Problema 4.13 Encuentra el orden del elemento 2 en el grupo\((\mathbb{R}-\{ 0 \},\cdot)\). ¿Hay algún elemento de orden finito en este grupo?

Definición 4.3:

Dejar\(a\) ser un elemento del grupo\(G\). Definir\[\langle a \rangle = \{ a^i: i \in \mathbb{Z}\}.\] Llamamos\(\langle a \rangle\) al subgrupo de\(G\) generado por\(a\).

OBSERVACIÓN

Tenga en cuenta que\[\langle a \rangle = \{ \ldots, a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a^1, a^2, a^3, \ldots \}.\] En particular,\(a = a^1\) y\(e = a^0\) están en\(\langle a \rangle\).

Problema 4.14 Traducir la definición anterior de\(\langle a \rangle\) y la observación en notación aditiva.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Para cada uno\(a\) en el grupo\(G\),\(\langle a \rangle\) es un subgrupo de\(G\). \(\langle a \rangle\)contiene\(a\) y es el subgrupo más pequeño del\(G\) que contiene\(a\). \(\blacksquare\)

Prueba Como se acaba de señalar\(e=a^0 \in \langle a \rangle\). Vamos\(a^n,a^m \in \langle a \rangle\). Ya que\(n+m \in \mathbb{Z}\) se deduce del Teorema 2.4 que\[a^na^m = a^{n+m} \in \langle a \rangle.\] También del Teorema 2.4\(a^n \in \langle a \rangle\), si, ya que\(n(-1) = -n\) tenemos\[(a^n)^{-1} = a^{-n} \in \langle a \rangle.\] Esto demuestra que\(\langle a \rangle\) es un subgrupo.

Ya\(a=a^1\) que es claro que\(a \in \langle a \rangle\). Si\(H\) hay algún subgrupo del\(G\) que contenga\(a\), ya que\(H\) se cierra bajo tomar productos y tomar inversos,\(a^n \in \langle a \rangle\) para cada\(n \in \mathbb{Z}\). Entonces\(\langle a \rangle \subseteq H\). Es decir, cada subgrupo del\(G\) que contiene\(a\) también contiene\(\langle a \rangle\). Esto implica que\(\langle a \rangle\) es el subgrupo más pequeño del\(G\) que contiene\(a\).

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Seamos\(G\) un grupo y dejemos\(a \in G\). Si\(\mathrm{o}(a)=1\), entonces\(\langle a \rangle = \{e\}\). Si\(\mathrm{o}(a) = n\) dónde\(n \ge 2\), entonces\[\langle a \rangle = \{ e, a, a^2, \ldots, a^{n-1} \}\] y los elementos\(e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}\) son distintos, es decir,\[\mathrm{o}(a) = \vert \langle a \rangle \vert.\]\(\blacksquare\)

Prueba Supongamos que\(\mathrm{o}(a) = n\). El caso\(n=1\) se deja al lector. Supongamos\(n \ge 2\). Debemos probar dos cosas.

1. Si\(i \in \mathbb{Z}\) entonces\(a^i \in \{ e, a, a^2, \ldots, a^{n-1} \}\).
2. Los elementos\(e, a, a^2, \ldots, a^{n-1}\) son distintos.

Para establecer 1 notamos que si\(i\) es algún entero podemos escribirlo en la forma\(i=nq+r\) donde\(r \in \{ 0, 1, \dots, n-1 \}\). Aquí\(q\) está el cociente y\(r\) es el resto cuando\(i\) se divide por\(n\). Ahora usando Teorema [Th2.3] tenemos\[a^i=a^{nq+r}=a^{nq}a^r=(a^n)^qa^r = e^qa^r=ea^r=a^r.\] Esto prueba 1. Para probar 2, asumir que\(a^i = a^j\) donde\(0 \le i < j \le n-1\). De ello se deduce que\[a^{j-i} = a^{j + (-i)} = a^ja^{-i} = a^ia^{-i}=a^0=e.\] Pero\(j-i\) es un entero positivo menor que\(n\), así\(a^{j-i} =e\) contradice el hecho de que\(\textrm{o}(a) =n\). Entonces la suposición de que\(a^i = a^j\) donde\(0 \le i < j \le n-1\) es falso. Esto implica que 2 sostiene. De ello se deduce que\(\langle a \rangle\) contiene exactamente\(n\) elementos, es decir,\(\mathrm{o}(a) = \vert \langle a \rangle \vert.\)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Si\(G\) es un grupo finito, entonces cada elemento de\(G\) tiene orden finito. \(\blacksquare\)

Prueba Dejar\(a\) ser cualquier elemento de\(G\). Considera la lista infinita\[a^1, a^2, a^3, \dots, a^i, \dots\] de elementos en\(G\). Dado que\(G\) es finito, todos los elementos de la lista no pueden ser diferentes. Por lo que debe haber enteros positivos\(i < j\) tales que\(a^i = a^j\). Dado que\(i < j\),\(j-i\) es un entero positivo. Entonces usando el Teorema 2.4 tenemos Es\[a^{j-i} = a^{j + (-i)} = a^ja^{-i} = a^ia^{-i}=a^0=e.\] decir,\(a^n = e\) para el entero positivo\(n=j-i\). Así\(a\) tiene el orden finito, que es lo que queríamos probar.

Problema 4.15 Por cada elección de\(G\) y cada\(a \in G\) lista dada todos los elementos del subgrupo\(\langle a \rangle\) de\(G\).

1. \(G=S_3\),\(a=( 1 \ 2)\).
2. \(G=S_3\),\(a=( 1 \ 2 \ 3 )\).
3. \(G=S_4\),\(a= ( 1 \ 2 \ 3 \ 4)\).
4. \(G=S_4\),\(a=( 1 \ 2)( 3 \ 4)\).
5. \(G=\mathbb{Z}\),\(a=5\).
6. \(G=\mathbb{Z}\),\(a=-1\).
7. \(G=\mathbb{Z}_{15}\),\(a=5\).
8. \(G=\mathbb{Z}_{15}\),\(a=1\).
9. \(G=GL(2,\mathbb{Z}_2)\),\(a= \left ( \begin{array} {cc} 1&1\\0&1 \end{array}\right)\).
10. \(G=GL(2,\mathbb{R})\),\(a= \left ( \begin{array} {cr} 0&-1 \\ 1&0 \end{array}\right)\).

Problema 4.16 Supongamos que\(a\) es un elemento de un grupo y\(o(a)= n\). Demostrar que\(a^m = e\) si y sólo si\(n \, \vert \, m\). [Pista: El algoritmo de división del apéndice C puede ser útil para la prueba en una dirección.]