10: Tratamiento Axiomático de$\mathbb{R, N, Z, Q}$ and $\mathbb{C}$

Hay varias formas de axiomatizar los sistemas numéricos estándar$\mathbb{R}$,$\mathbb{N}$,$\mathbb{Z}$, y$\mathbb{Q}$. Una forma es comenzar por establecer axiomas para$\mathbb{N}$ y luego usar$\mathbb{N}$ y establecer la teoría para construir sucesivamente los sistemas numéricos$\mathbb{Z}$,$\mathbb{Q}$ y$\mathbb{R}$. Una forma más rápida es comenzar con axiomas para$\mathbb{R}$ y usar estos axiomas encontrar$\mathbb{N}$,$\mathbb{Z}$, y$\mathbb{Q}$ dentro de$\mathbb{R}$. Seguimos este último enfoque aquí. Comenzamos definiendo un anillo ordenado.

Definición 10.1:

Un anillo ordenado es un cuádruple $$(R,+,\cdot, <)$$ donde$(R,+,\cdot)$ es un anillo conmutativo y$<$ es una relación binaria en la$R$ que satisface las siguientes propiedades para todos$a,b,c \in R$.

1. $a < b$y$b < c \Longrightarrow a < c$.
2. $a < b \Longrightarrow a+c < b+c$.
3. $a < b$y$0 < c \Longrightarrow ac < bc$.
4. Dado$a,b \in R$ uno y solo uno de los siguientes sostiene: $$a=b, \quad a < b, \quad b < a.$$

Tenga en cuenta que podríamos desarrollar parte de la teoría de los anillos ordenados sin el supuesto de conmutatividad; sin embargo, esta suposición hará las cosas un poco más fáciles. Todos los anillos ordenados que nos interesan son conmutativos de todos modos.

Terminología La relación binaria$<$ es como de costumbre llamada menor que. La condición 1 anterior se llama transitividad y la condición 4 se llama Ley de la Tricotomía. También nos referimos$<$ como una relación de orden o orden en el anillo$R$. Utilizamos las siguientes abreviaturas: $$\begin{aligned} b > a &\Longleftrightarrow& a < b \\ a \le b &\Longleftrightarrow& a < b \mbox{ or } a=b\\ b \ge a &\Longleftrightarrow& a \le b \\ a < b < c &\Longleftrightarrow& a < b \mbox{ and } b < c \\ a \le b \le c &\Longleftrightarrow& a \le b \mbox{ and } b \le c\end{aligned}$$ Se dice que un elemento$a$ es positivo si$a > 0$ y, negativo si$a < 0$. Tenga en cuenta que$-a$ puede ser positivo o negativo, dependiendo de si$a$ es o no positivo o negativo. De ahí que lo mejor sea leer$-a$ como menos $a$más bien que negativo $a$.

Problema 10.1 Dejar$R$ ser un anillo ordenado con identidad$1 \ne 0$. Demostrar que para todas$a,b,c \in R$ las siguientes declaraciones tienen:

1. $0 < a \mbox{ and } 0 < b \Longrightarrow 0 < ab$.
2. $a < 0 \Longrightarrow 0 < -a$.
3. $0 < 1$.
4. $a \neq 0 \Longrightarrow 0 < a^2$.
5. Si$a < b$ y$c < d$ entonces$a+c < b+d$.
6. $a < b \Longrightarrow -b < -a$.
7. $a < b \mbox{ and } c < 0 \Longrightarrow bc < ac$.
8. Si$a$ es una unidad y$0 < a$ luego$0 < a^{-1}$.
9. Si$a$ es una unidad y$0 < a < 1$ luego$1 < a^{-1}$.
10. $R$es infinito.

Tenga en cuenta que algunos anillos no se pueden pedir. Por ejemplo, la última afirmación del problema anterior muestra que no hay manera de convertir los anillos$\mathbb{Z}_n$ en anillos ordenados. Como veremos el campo de números complejos es un anillo infinito que no se puede convertir en un anillo ordenado. Daremos una definición rigurosa de los números complejos posteriormente. Los principales ejemplos de anillos ordenados son$\mathbb{Z}$,$\mathbb{Q}$ y$\mathbb{R}$.

Problema 10.2 Mostrar que si un anillo$R$ tiene una identidad$1 \neq 0$ y contiene un elemento$i$ tal que$i^2 = -1$, entonces$R$ no puede ser un anillo ordenado.

Si un anillo ordenado$R$ es un dominio integral (o campo), llamamos a$R$ un dominio ordenado (o campo ordenado). Ahora podemos distinguir$\mathbb{Z}$ de$\mathbb{Q}$ y$\mathbb{R}$ por el hecho de que$\mathbb{Z}$ es un dominio ordenado y no un campo ordenado, mientras que ambos$\mathbb{Q}$ y$\mathbb{R}$ son campos ordenados. El problema es cómo distinguir$\mathbb{Q}$ de$\mathbb{R}$. Esto fue históricamente algo difícil de lograr. La primera pista fue el hecho de que no$\sqrt{2}$ es un número racional. Para describir la diferencia, necesitamos algunas definiciones más.

Definición 10.2:

Deja$R$ ser un anillo ordenado. Dejar$S$ ser un subconjunto de$R$. Un elemento$b$ de$R$ se llama un límite superior para$S$ si$x \le b$ para todos$x \in S$. Si$S$ tiene un límite superior decimos que$S$ está acotado desde arriba.

Problema 10.3 Dar ejemplos de subconjuntos$S$ de$\mathbb{R}$ satisfacer las siguientes condiciones:

1. $S$no tiene límite superior.
2. $S$tiene un límite superior$b \in S$.
3. $S$está delimitado desde arriba pero no tiene límite superior$b \in S$.

Definición 10.3:

Let$S$ Ser un subconjunto de un anillo ordenado$R$ que está delimitado desde arriba. Un elemento$\ell \in R$ es un límite inferior superior (l.u.b) para$S$ si$\ell$ es un límite superior para$S$ y$\ell \le b$ para todos los límites superiores$b$ de$S$.

Problema 10.4 Dar límites superiores mínimos para los siguientes subconjuntos de$\mathbb{R}$.

1. $[0,1) = \{ x \in \mathbb{R}\ | \ 0 \le x < 1 \}$.
2. $[0,1] = \{ x \in \mathbb{R}\ | \ 0 \le x \le 1 \}$.

Definición 10.4:

Se dice que un campo ordenado$R$ está completo si satisface lo siguiente:

Axioma de límite inferior superior Cada subconjunto no vacío del$R$ cual está delimitado desde arriba tiene un límite superior mínimo.

Teorema$\PageIndex{1}$

Existe un campo ordenado completo. Cualquiera de estos dos campos son isomórficos. $\blacksquare$

La prueba de ello está más allá del alcance de este curso. Muchos libros de análisis comienzan simplemente asumiendo que existe tal campo. En realidad iniciamos este curso asumiendo familiaridad con así$\mathbb{R}$ como$\mathbb{N}$,$\mathbb{Q}$ y$\mathbb{Z}$.

Definición 10.5:

El campo ordenado completo único cuya existencia es afirmada por\ (\ mathbb {R, N, Z, Q}\) y$\mathbb{C}$ "href=” /libreras/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_capters/10:_axiomatic_tratamiento_de/ (/MathBB%7Br, _N, _Z, _Q%7D/) _y/ (/MathBB%7BC%7D/) #Theorem_. 5C (.5CPageIndex.7B1.7D.5C) ">Teorema 10.1 se llama el campo de los números reales y denotan por$\mathbb{R}$.

Todas las propiedades de los números reales se derivan de las propiedades definitorias de un campo ordenado completo. Por ejemplo, se puede probar que si$a \in \mathbb{R}$ y$a > 0$, entonces hay un elemento único$x \in \mathbb{R}$ tal que$x^2=a$ y$x > 0$.

Se puede demostrar que no$\mathbb{Q}$ está completo. Por ejemplo, el conjunto $$S=\{ x \in \mathbb{Q} \, \vert \, x^2 < 2 \}$$ está delimitado desde arriba pero no tiene menos límite superior en$\mathbb{Q}$. Como suponemos que$\mathbb{R}$ está completo, el conjunto$S$ sí tiene un límite superior mínimo$\ell$ en el$\mathbb{R}$ que se puede demostrar que es positivo y satisface$\ell^2=2$.

También observamos que así como definimos la resta en un anillo por la regla $$a-b=a+(-b),$$ definimos la división en un campo de la siguiente manera:

Definición 10.6:

Dejar$a$ y$b$ ser elementos de un campo. Si$b \neq 0$ definimos $$a/b = \frac a b = a \div b = a\cdot b^{-1}$$ dónde$b^{-1}$ es la inversa de$b$ con respecto a la multiplicación.

Bajo el supuesto de la existencia de un campo ordenado completo$\mathbb{R}$, podemos definir$\mathbb{N}$,$\mathbb{Z}$, y de la$\mathbb{Q}$ siguiente manera. Primero definimos$\mathbb{N}$.

Definición 10.7:

Digamos que un subconjunto$S$ de$\mathbb{R}$ es inductivo si satisface las dos condiciones siguientes:

1. $1 \in S$.
2. Si$n \in S$, entonces$n+1 \in S$.

Definición 10.8:

Luego definimos los números naturales$\mathbb{N}$ para que sean la intersección de la colección de todos los subconjuntos inductivos de$\mathbb{R}$.

Definición 10.9:

Dejar$1$ denotar la identidad de$\mathbb{R}$. Definir$2 = 1 + 1$$3 = 2 + 1$,$4 = 3+1$,,$5= 4+1$,$6 = 5+1$,$7 = 6 + 1$,$8 = 7 + 1$,$9 = 8+1$.

Si partimos solo con los axiomas para un campo ordenado completo, inicialmente tenemos solo los números$0$ y$1$. De la definición anterior obtenemos además los números 2,3,4,5,6,7,8,9. Utilizando el hecho de que para cada uno$-a \in \mathbb{R}$ que$a \in \mathbb{R}$ tenemos obtenemos también$-1, -2, -3, -4, -5, \dots$, así como números como $$\frac 1 2 = 2^{-1}, \quad \frac 1 3 = 3^{-1}, \quad \frac 1 4 = 4^{-1}, \quad \frac 2 3 = 2 \cdot 3^{-1}, \dots$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Mostrar que cada uno de los siguientes es un subconjunto inductivo de$\mathbb{R}$.

1. $\mathbb{R}$.
2. $\{ x \in \mathbb{R}\, | \, x \ge 1 \}$.
3. $\{1,2 \} \cup \{ x \in \mathbb{R}\, | \, x \ge 3 \}$.
4. $\{1,2,3 \} \cup \{ x \in \mathbb{R}\, | \, x \ge 4 \}$.

De\ (\ mathbb {R, N, Z, Q}\) y$\mathbb{C}$ "href=” /libreras/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_capítulos/10:_axiomático_tratamiento_de/ (/MathBB%7BR, _N, _Z, _Q%7D/) _y/ (/MathBB%7BC%7D/) #Definition_10 .7: ">Definición 10.7 y\ (\ mathbb {R, N, Z, Q}\) y $\mathbb{C}$"href=” /Librerías/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_capters/10:_axiomatic_tratamiento_of/ (/mathbb%7br, _N, _Z, _Q%7D/) _y/ (/mathbb%7bc%7D/) #Definition_10 .8: ">Definición 10.8 se pueden probar los siguientes dos teoremas:

Teorema$\PageIndex{2}$

$\mathbb{N}$es un subconjunto inductivo de\(\mathbb{R}\). $\blacksquare$

Teorema$\PageIndex{3}$

Si$S \subseteq \mathbb{N}$ y$S$ es inductivo entonces$S=\mathbb{N}$. $\blacksquare$

Problema 10.5

a) Demostrar que$2, 3, 4,$ y$5$ son elementos de$\mathbb{N}$.
b) Demostrar que$2+2=4$,$2 \cdot 2 = 4$. c) Demostrarlo$1 < 2 < 5$.

Aquí hay algunos ejemplos de cosas que se pueden probar mediante el uso de la inducción (esto es la abreviatura de El principio de inducción matemática).

Problema 10.6 Demostrarlo$n \ge 1$ para todos$n \in \mathbb{N}$. Pista: Vamos $$S=\{ n \in \mathbb{N}\ | \ n \ge 1 \}.$$ Probar eso$S \subseteq \mathbb{N}$ y$S$ es inductivo. Concluir desde el Principio de Inducción Matemática que$S=\mathbb{N}$. Esto equivale a la declaración$n \ge 1$ para todos$n \in \mathbb{N}$ y completa la prueba.

Problema 10.7 Demostrarlo$2^n > n$ para todos$n \in \mathbb{N}$.

Problema 10.8 Probar Parte 3 del Teorema 7.2. Pista: divide el problema en dos partes. Primero prueba$f(a^n) =f(a)^n$ para todos$n \in \mathbb{N}$ usando inducción. Usa el Teorema 7.2, Parte 1 para manejar el caso$n=0$ y usa el Teorema 7.2, la Parte 2 y las leyes de los exponentes para manejar el caso donde$n$ es negativo.

Problema 10.9 Demuéstralo$0 < \frac 1 2 < 1$.

Problema 10.10 Como se señaló anteriormente se puede probar que si$a \in \mathbb{R}$ y$a > 0$ existe un número único$x \in \mathbb{R}$ satisfactorio$x^2=a$ y$x > 0$. $x$Se denota el número$\sqrt{a}$. Demostrar eso $$1 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2$$ y $$\frac 52 < \sqrt{8} < 3.$$

Definición 10.10:

Definir$\mathbb{Z}= \mathbb{N}\cup \{ 0 \} \cup -\mathbb{N}$ dónde$-\mathbb{N}= \{ -n \ | \ n\in \mathbb{N}\}$.

El conjunto$\mathbb{Z}$ es un subring del anillo al$\mathbb{R}$ que llamamos el anillo de enteros. Todas las propiedades de las$\mathbb{Z}$ que estamos acostumbrados a seguir de los axiomas para$\mathbb{R}$ y las definiciones anteriores. Esto incluye cosas como que no hay entero$x$ tal que$1 < x < 2$. En este curso no nos tomaremos el tiempo para desarrollar todos los resultados conocidos de esta naturaleza.

Definición 10.11:

$\mathbb{Q}= \{ n/m \ | \ n, m \in \mathbb{Z}\mbox{ and } m \neq 0 \}.$

El conjunto$\mathbb{Q}$ es un subcampo de$\mathbb{R}$ llamado el campo de números racionales.

Definición 10.12:

El campo de números complejos es el triple$(\mathbb{C}, +, \cdot)$ donde $$\mathbb{C}= \{ (a,b) \ | \ a,b \in \mathbb{R}\},$$ y la suma y la multiplicación se definen de la siguiente manera para$(a,b)$,$(c,d) \in \mathbb{C}$: $$\begin{aligned} (a,b) + (c,d) &=& (a+c,b+d) \\ (a,b) \cdot (c,d) &=& (ac-bd, ad+bc)\end{aligned}$$

Teorema$\PageIndex{4}$

$\mathbb{C}$es un campo con cero dado por$(0,0)$, identidad dada por$(1,0)$, el inverso aditivo de$(a,b)$ está dado por$(-a,-b)$ y si$(a,b) \neq (0,0)$ entonces el inverso multiplicativo de$(a,b)$ está dado por $$(a,b)^{-1} = \left ( \frac a{a^2+b^2}, \frac {-b}{a^2+b^2} \right ).$$ $\blacksquare$

Este teorema es sencillo de probar. Para ahorrar tiempo demostramos solo lo siguiente:

Problema 10.11 Demostrar que$(0,0)$ es el cero de$\mathbb{C}$ y el inverso aditivo$-(a,b)$ de$(a,b) \in \mathbb{C}$ está dado por$(-a,-b)$.

Problema 10.12 Demostrar que$(1,0)$ es una identidad para$\mathbb{C}$, eso$(0,1)^2 = -(1,0)$ y que si$(a,b) \neq (0,0)$ entonces se da la inversa multiplicativa de como$(a,b)$ se afirma en el teorema.

Remarcar

Si escribimos para$a, b \in \mathbb{R}$ $$a+bi =(a,b), \quad a = (a,0), \quad bi=(0,b), \quad i=(0,1)$$ entonces $$i^2 = -1$$ y podemos considerar$\mathbb{R}$ como un subconjunto de$\mathbb{C}$ y la suma y multiplicación en$\mathbb{R}$ concuerda con eso en$\mathbb{C}$ para elementos de$\mathbb{R}$. Es decir, en esta notación$\mathbb{R}$ se encuentra un subcampo de$\mathbb{C}$.

Nos falta tiempo en este curso para discutir alguna de las muchas aplicaciones de los números complejos en matemáticas, ingeniería y física.

Problema 10.13 Usar la notación anterior para los elementos de$\mathbb{C}$, let$z= 2 + 3i$,$w=-2 + 4i$ y$\theta = (-1/2) + (\sqrt{3}/2)i$. Escribe lo siguiente en el formulario$a + bi$ donde$a$ y$b$ son números reales:

1. $z + w$.
2. $zw$.
3. $z^{-1}$.
4. $\theta^3$.

Definición 10.13:

Dejar$a,b \in \mathbb{R}$ y dejar$z = a+bi \in \mathbb{C}$. El número complejo$\overline{z} = a - bi$ se llama el conjugado de$z$. $\overline{z}$se lee “conjugado z”.

Problema 10.14 Demostrar que el mapeo$\varphi : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ definido por$\varphi(z) = \overline{z}$ es un isomorfismo de anillo de$\mathbb{C}$ a sí mismo que es su propio inverso. Es decir, para que todos$z,w \in \mathbb{C}$ prueben:

1. $\overline{zw} = \overline{z} \, \overline{w},$
2. $\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w},$y
3. $\overline{\overline{z}} = z$

Otra forma de definir$\mathbb{C}$ se da en el siguiente problema.

Problema 10.15 Dejar $$R = \left \{ \left ( \begin{array}{cr} a & -b \\ b&a \end{array} \right ) \ | \ a,b \in \mathbb{R} \right \}.$$ Esta es una subring del anillo de todas las$2 \times 2$ matrices$M_2(\mathbb{R})$. De hecho,$R$ es un campo. Demostrar que$R$ es isomórfico (como un anillo) a$\mathbb{C}$.

Problema 10.16 Compara la fórmula en\ (\ mathbb {R, N, Z, Q}\) y$\mathbb{C}$ "href=” /librerías/Abstract_and_geometric_algebra/elementary_abstract_algebra_ (Clark) /01:_capters/10:_axiomático_tratamiento_of/ (/MathBB%7Br, _N, _Z, _Q%D7/) _y/ (/MathBB%7BC%7D/) #Theorem_ .5C (.5CPageIndex.7B4.7D.5c) "> Teorema 10.4 para la inversa de un número complejo a la fórmula para la inversa de una matriz de la forma $$\left (\begin{array}{cr} a & -b \\ b&a \end{array} \right ).$$

Remarcar

Mencionamos aquí algunos teoremas interesantes sobre los$\mathbb{R}$ que no tendremos tiempo de cubrir en este curso. Las pruebas se pueden encontrar en cursos de análisis introductorio y cursos avanzados de álgebra.

Se dice que un conjunto$S$ es contable si es finito o si hay una correspondencia uno a uno entre$S$ y$\mathbb{N}$. Se dice que un conjunto que no es contable es incontable.

Teorema$\PageIndex{5}$

$\mathbb{Q}$es contable. $\blacksquare$

Teorema$\PageIndex{6}$

$\mathbb{R}$es incontable. $\blacksquare$

Un número real que no está en$\mathbb{Q}$, es decir, no es racional, se dice que es un número irracional.

Teorema$\PageIndex{7}$

El conjunto de números irracionales es incontable. $\blacksquare$

Se dice que un número real es algebraico si es una raíz de algún polinomio distinto de cero$a_nx^n + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0$ donde los coeficientes$a_i$ son números racionales. Por ejemplo,$\sqrt{2}$ es algebraica ya que es una raíz de$x^2 - 2$ y$\sqrt[3]{(1+\sqrt{5})}$ es algebraica ya que es una raíz de$x^6-2x^3-4$. Un número racional$q$ es algebraico ya que es una raíz de$x-q$.

Teorema$\PageIndex{8}$

El conjunto de números algebraicos forma un subcampo contable de$\mathbb{R}$. $\blacksquare$

Se dice que un número real que no es algebraico es trascendental.

Teorema$\PageIndex{9}$

El conjunto de números trascendentales es incontable. $\blacksquare$

Sin embargo es muy difícil demostrar que un número real particular es trascendental. Ejemplos importantes de números trascendentales son$\pi$ y$e$.

Teorema$\PageIndex{10}$ (Hermite 1873)

$e$es trascendental. $\blacksquare$

Teorema$\PageIndex{11}$ (Lindemann 1882)

$\pi$es trascendental. $\blacksquare$