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# 8: Cosets y Teorema de Lagrange

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## Definición 8.1:

Dejar$$G$$ ser un grupo y dejar$$H$$ ser un subgrupo de$$G$$. Para cada elemento$$a$$ de$$G$$ definimos$aH= \{ ah \ | \ h \in H \}.$ Llamamos$$aH$$ al coset de$$H$$ in$$G$$ generado por$$a$$.

## Observación

En el caso de la notación aditiva el coset de$$H$$ in$$G$$ generado por$$a$$ se escribe en la forma$a + H = \{ a + h \ | \ h \in H \}$

A veces$$aH$$ se llama coset izquierdo y el conjunto$$Ha = \{ ha \ | \ h \in H \}$$ se llama coset derecho. Ya que solo usaremos cosets izquierdos, dejaremos fuera el modificador izquierdo.

Problema 8.1 Aquí consideramos todos los coconjuntos de un subgrupo particular del grupo$$U_{13}$$. Recordemos eso$U_{13} = \{1, 2, \dots, 11, 12 \}$ y que el elemento$$2 \in U_{13}$$ tiene orden 12, así$U_{13}= \{1, 2, 2^2, 2^3, \dots, 2^{11} \}.$ Desde 2 tiene orden 12,$$2^{12} = 1$$, pero$$2^i \neq 1$$ para$$1 \le i \le 11$$. De ello se deduce$$(2^4)^2 = 2^8 \neq 1$$, pero$$(2^4)^3 = 2^{12} = 1$$. De ahí que$$2^4$$ tenga orden 3 por lo que$H = \langle 2^{4} \rangle = \{ 1, 2^4, 2^8 \}$ es un subgrupo de$$U_{13}$$.

Demostrar que el subgrupo que$$H$$ acaba de definir tiene exactamente cuatro coconjuntos diferentes en$$U_{13}$$. Tenga en cuenta que si enumeramos todos los cosets$2H,\ 2^2H, \ 2^3H,\ \dots, \ 2^{11}H, \ 2^{12}H,$ parece que hay 12 cosets. Mostrar sin embargo que sólo hay cuatro cosets diferentes.

Tenga en cuenta que ninguno de los coconjuntos se superpone, es decir, si dos coconjuntos son diferentes, entonces su intersección es el conjunto vacío. También tenga en cuenta que cada elemento de$$U_{13}$$ está en uno y solo uno de los cuatro coconjuntos diferentes y cada coconjunto de$$H$$ tiene el mismo número de elementos que$$H$$.

Problema 8.2 Encuentra todos los coconjuntos del subgrupo$$H = \langle (1\ 2) \rangle$$ del grupo$$S_3$$.

Problema 8.3 Dejar$$G$$ ser un grupo finito y dejar$$H$$ ser un subgrupo de$$G$$. Vamos$$a,b \in G$$. Demostrar las siguientes declaraciones.

1. $$a \in aH$$.
2. $$\vert aH \vert = \vert H \vert$$.
3. Si$$aH \cap bH \neq \emptyset$$, entonces$$aH = bH$$.

## Observación

Supongamos que$$G = \{g_1, g_2, \dots, g_n \}$$ es un grupo con$$n$$ elementos y$$H \le G$$. Entonces si formamos la lista de todos los cosets de$$H$$ en$$G$$ tenemos$g_1H, g_2H, \dots, g_nH.$ Pero como se señaló en los ejemplos anteriores algunos de los cosets de esta lista se repiten varias veces. Si eliminamos todas las repeticiones de la lista nos quedamos con lo que llamaremos los distintos cosets de$$H$$ in$$G$$. Si hay cosets$$s$$ distintos podemos denotarlos por$$a_1H, a_2H, \dots, a_sH$$.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$ (Lagranges's Theorem)

Si$$G$$ es un grupo finito y$$H \le G$$ luego se$$\vert H \vert$$ divide$$\vert G \vert$$.

Prueba$$n$$ Sea el orden de$$G$$, y deje$$k$$ ser el orden de$$H$$. Eso queremos demostrarlo$$k \ \vert \ n$$. $$a_1H, a_2H, \dots, a_sH$$Dejen ser los distintos cosets de$$H$$ in$$G$$. Tenga en cuenta que$$s$$ es el número de coconjuntos distintos. Por Problema 8.3, estos cosets son disjuntos por pares y su unión es todo el grupo. Es decir,$G = a_1H \cup a_2H \cup \cdots \cup a_sH \ \mbox{ and a_iH \cap a_jH = \emptyset when i \neq j}.$ ya que también cada coset tiene el mismo número de elementos que$$H$$, tenemos De\begin{aligned} \vert G \vert &=& \vert a_1H \vert + \vert a_2H \vert + \cdots + \vert a_sH \vert\\ &=& \vert H \vert + \vert H \vert + \cdots + \vert H \vert \\ &=& k + k + \cdots + k \\ &=& ks.\end{aligned} ello se deduce que$$n=ks$$. Esto demuestra eso$$k \ \vert \ n$$, y prueba el teorema.

Los siguientes problemas dan algunos corolarios importantes del Teorema de Lagrange.

Problema 8.4 Demostrar que si$$G$$ es un grupo finito y$$a \in G$$ luego se$$o(a)$$ divide$$\vert G \vert$$.

Problema 8.5 Demostrar que si$$G$$ es un grupo finito y$$a \in G$$ luego$$a^{|G|}=e.$$

Problema 8.6 Demostrar que si$$p$$ es un primo y$$a$$ es un elemento distinto de cero de$$\mathbb{Z}_p$$ entonces$$a^{p-1} =1$$. [Aquí el producto es módulo de multiplicación $$p$$.] En teoría de números esto se llama Pequeño Teorema de Fermat

Problema 8.7 Demostrar que si$$n \in \mathbb{N}$$ y$$a \in U_n$$ entonces$$a^{\phi(n)} =1$$. [Aquí el producto es módulo de multiplicación $$n$$.] En teoría de números esto se llama Teorema de Euler.

Problema 8.8 Demostrar que si$$|G|=p$$ donde$$p$$ es un primo entonces$$G$$ es un grupo cíclico.

Problema 8.9 Demostrar que si$$G$$ y$$H$$ son grupos de orden$$p$$ donde$$p$$ es primo entonces$$G \cong H$$.

Problema 8.10 Dejar$$G$$ ser un grupo. Demostrar las siguientes declaraciones.

1. Si$$|G| = 2$$ entonces$$G \cong \mathbb{Z}_2$$.
2. Si$$|G| = 3$$ entonces$$G \cong \mathbb{Z}_3$$.
3. Si$$|G| = 5$$ entonces$$G \cong \mathbb{Z}_5$$.

Tenga en cuenta que hemos visto los dos primeros ítems anteriormente. Pero ahora podemos dar pruebas más fáciles.

Problema 8.11 Encuentra dos grupos de orden 4 que no sean isomórficos.

Problema 8.12 Encuentra dos grupos de orden 6 que no sean isomórficos.

## Definición 8.2

Decimos que hay clases de$$k$$ isomorfismo de grupos de orden$$n$$ si hay$$k$$ grupos$$G_1, G_2, \dots, G_k$$ tales que (1) si$$i \neq j$$ entonces$$G_i$$ y no$$G_j$$ son isomorfos, y (2) cada grupo de orden$$n$$ es isomórfico$$G_i$$ para algunos$$i \in \{ 1, 2, \dots , k \}$$.

Esto a veces se expresa diciendo que hay$$k$$ grupos de orden $$n$$hasta el isomorfismo o que hay grupos$$k$$ no isomórficos de orden $$n$$.

En cursos más avanzados de álgebra, se muestra que el número de clases de isomorfismo de grupos de orden$$n$$ para$$n \le 17$$ viene dado por la siguiente tabla:$\begin{array} {rccccccccccccccccc} Order:&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17 \\ Number:&1&1&1&2&1&2&1&5&2&2&1&5&1&2&1&14&1 \end{array}$

Esta tabla significa, por ejemplo, que se pueden encontrar 14 grupos de orden 16 de tal manera que cada grupo de orden 16 es isomórfico a uno y sólo uno de estos 14 grupos.

Gordon Royle tiene tal lista para grupos de orden hasta 1000 (con excepción de los órdenes 512 y 768). Es interesante señalar que el mayor número de grupos parece aparecer cuando el orden es un poder de 2, es decir para 2, 4, 8, 16 32, etc. Hay, por ejemplo, 56092 grupos no isomórficos de orden 256.Para toda la lista ir a la página principal de Gordon Royle en http://www.cs.uwa.edu.au/~gordon/ y siga el enlace a Datos combinatorios.

En un artículo reciente Los grupos de orden a lo sumo 2000 de H. U. Besche, B. Eick, y E. A. O'Brien se da a conocer que han podido extender resultados conocidos para que ahora se conozca el número de grupos de cada orden hasta el año 2000. El anuncio de investigación se puede encontrar en http://www.ams.org/jourcgi.

En el Cuadro 8.1, enumeramos los diez órdenes más desafiantes tomados del artículo de Besche, et al y el número de grupos de cada orden. Es interesante señalar que de acuerdo con este trabajo hay 49, 487,365,422 grupos de orden$$2^{10}$$ y sólo 423,164,062 grupos restantes de orden$$\le 2000$$. Por lo tanto, más del 99% de los grupos de orden$$\le 2000$$ son de orden$$2^{10}$$.

Cuadro 8.1 Los diez pedidos más difíciles
Orden Número
$$2^{10}$$ $$49\,487\,365\,422$$
$$2^9 \cdot 3$$ $$408\,641\,062$$
$$2^9$$ $$10\,494\,213$$
$$2^8 \cdot 5$$ $$1\,116\,461$$
$$2^8 \cdot 3$$ $$1\,090\,235$$
$$2^8 \cdot 7$$ $$1\,083\,553$$
$$2^7 \cdot 3 \cdot 5$$ $$241\,004$$
$$2^7 \cdot 3^2$$ $$157\,877$$
$$2^8$$ $$56\,092$$
$$2^6 \cdot 3^3$$ $$47\,937$$

En el extremo opuesto hay algunos órdenes para los que sólo hay una clase de grupos de isomorfismo. Por ejemplo, solo hay una clase de isomorfismo de grupos de orden$$n$$ si$$n$$ es primo. Pero hay algunos no primos que tienen esta propiedad, por ejemplo, 15.

No se conoce ninguna fórmula para el número de clases de isomorfismo de grupos de orden$$n$$. Aunque las clases de isomorfismo numérico de grupos de orden no$$n$$ se conocen en general, es posible calcular fácilmente el número de clases de isomorfismo de grupos abelianos de orden$$n$$ utilizando el siguiente teorema famoso que declaramos sin pruebas.

## El teorema fundamental de los grupos abelianos finitos

Si$$G$$ es un grupo abeliano finito de orden al menos dos entonces$G \cong \mathbb{Z}_{p_1^{n_1}} \times \mathbb{Z}_{p_2^{n_2}} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_s^{n_s}}$ donde para cada uno$$i$$,$$p_i$$ es un primo y$$n_i$$ es un entero positivo. Además, los poderes primos$$p_i^{n_i}$$ son únicos salvo por el orden de los factores. $$\blacksquare$$

Si el grupo$$G$$ en el teorema anterior tiene orden$$n$$ entonces$n={p_1^{n_1}}{p_2^{n_2}}\dots {p_s^{n_s}}.$ Entonces el$$p_i$$ puede obtenerse de la factorización prima del orden del grupo$$G$$. Estos primos no son necesariamente distintos, por lo que no podemos decir cuáles$$n_i$$ son los. Sin embargo, podemos encontrar todas las opciones posibles para el$$n_i$$. Por ejemplo, si$$G$$ es un grupo abeliano de orden$$72=3^2 \cdot 2^3$$ entonces$$G$$ es isomórfico a uno y sólo a uno de los siguientes grupos. Tenga en cuenta que cada uno corresponde a una forma de factorizar 72 como producto de poderes primos. $\begin{array} {ll} \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 & \qquad 72 = 9 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 & \qquad 72 = 9 \cdot 4 \cdot 2 \\ \mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_8 & \qquad 72 = 9 \cdot 8 \\ \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 & \qquad 72 = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 & \qquad 72 = 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2 \\ \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_8 & \qquad 72 = 3 \cdot 3 \cdot 8 \end{array}$Así, existen exactamente 6 grupos abelianos no isomórficos del orden 72.

Corolario For$$n \ge 2$$, el número de clases de isomorfismo de grupos abelianos de orden$$n$$ es igual al número de formas de factorizar$$n$$ como producto de poderes primos (donde el orden de los factores no cuenta).

Problema 8.13 Determinar el número de grupos abelianos no isomórficos de orden$$n$$ donde$$n \in \{ 4, 6, 8, 16,1800 \}$$

Problema 8.14 Demuéstralo$$\mathbb{Z}_6 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$$.

## Observación

En teoría de números se demuestra que si$$n=a b$$ y$$\gcd (a,b) = 1$$ entonces$$\mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b$$. A esto se le llama el Teorema del Resto Chino.

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