11: Los cuaterniones
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Los cuaterniones fueron inventados por Sir William Rowan Hamilton alrededor de 1850. Hamilton fue quizás el primero en señalar que los números complejos podrían considerarse como una forma de multiplicar puntos en el avión. Entonces tuvo la idea de tratar de encontrar la manera de multiplicar puntos en paraR3 que los axiomas de campo quedaran satisfechos. No pudo hacer esto, pero finalmente encontró la manera de definir la multiplicación sobre paraR4 que la multiplicación junto con la adición vectorial ordinaria de elementos deR4 satisfaría todos los axiomas de campo excepto la conmutatividad de la multiplicación. Llamó a estos nuevos objetos cuaterniones. Resultaron, como números complejos, tener muchas aplicaciones en ingeniería y física. Este “sistema numérico” se denota porH para Hamilton ya que yaQ se toma para denotar los números racionales.
El anillo de cuaterniones es el anillo(H,+,⋅) dondeH=R4={(a,b,c,d) | a,b,c,d∈R} y donde+ y⋅ están definidos por las reglas:(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=(x+a,y+b,z+c,w+d)(x,y,z,w)⋅(a,b,c,d)=(xa−yb−zc−wd,xb+ya+zd−wc,xc−yd+za+wb,xd+yc−zb+wa) dondex,y,z,w,a,b,c,d∈R. La suma y multiplicación dentro de las 4 tuplas de la derecha representan suma y multiplicación enR.
Declarado de esta manera las reglas para la multiplicación son difíciles de recordar. Hay una manera más sencilla de describirlos: Vamos1=(1,0,0,0)i=(0,1,0,0)j=(0,0,1,0)k=(0,0,0,1) Tenga en cuenta que aquí estamos siendo un poco perezosos en dejar que 1 signifique tanto el vector(1,0,0,0) como el número real 1. El conjunto{1,i,j,k} es lo que se llama en álgebra lineal una base paraR4. Esto significa que si definimos fora∈R y(x,y,z,w)∈R4 el producto escalar por vectora(x,y,z,w)=(ax,ay,az,aw), el cuaterniónq=(x,y,z,w) puede escribirse de manera única en la formaq=x1+yi+zj+wk. Ahora bien, si abreviamosx=x1, el cuaternión toma la formaq=x+yi+zj+wk. Adición ahora se convierte en(x+yi+zj+wk)+(a+bi+cj+dk)=(x+a)+(y+b)i+(z+c)j+(w+d)k. Productos de los elementos de base se1,i,j,k definen de la siguiente manera:1q=q1=q for all q∈H,i2=j2=k2=−1,ij=−ji=k,jk=−kj=i,ki=−ik=j. Utilizando estas reglas, la ley distributiva, y el hecho de que siq1 yq2 son cualesquiera cuaterniones ya∈R luegoa(q1q2)=(aq1)q2=q1(aq2), uno calcula fácilmente el producto de dos cuaternionesq1=x+yi+zj+wk yq2=a+bi+cj+dk.
Problema 11.1 Utilice las reglas anteriores para calcular el productoq1q2 de los cuaternionesq1=1+i+2j+3k yq2=1−i−2j−3k. Escribir el producto en forma estándara+bi+cj+dk, dondea,b,c,d∈R.
Problema 11.2 Mostrar que(1,0,0,0) actúa como identidad paraH y que noH es un anillo conmutativo.
Problema 11.3 Mostrar que el cuaterniónq=x+yi+zj+wk tiene un inverso dado porq∗=c(x−yi−zj−wk) dondec=1/(x2+y2+z2+w2) siempre queq≠0. Aquí0=(0,0,0,0).
Problema 11.4 Mostrar que hay infinitamente muchos cuaternionesq satisfactoriosq2=−1. Pista: considera cuaterniones de la formaq=xi+yj+zk.
Problema 11.5 Mostrar que el conjunto de 8 elementosQ={1,−1,i,−i,j,−j,k,−k} bajo multiplicación de cuaterniones es un grupo. Este es uno de los cinco grupos no isomórficos de orden 8. Se le llama, naturalmente, el grupo cuaternión.
Un anillo que satisface todos los axiomas de campo excepto posiblemente la conmutatividad de la multiplicación se llama anillo de división.
Tenga en cuenta que un anillo de división puede definirse como un anillo cuyos elementos distintos de cero forman un grupo bajo multiplicación. Todos los campos son anillos de división. Un anillo conmutativo que es un anillo de división es un campo.
Hes un anillo de división.
Comprobante. A partir del álgebra lineal ya sabemos que la adición de vectores onR4 es un grupo abeliano. De los problemas anteriores sabemos queH tiene una identidad y cada elemento distinto de cero tiene una inversa. Sólo queda por probar la asociatividad para la multiplicación y las dos leyes distributivas. Las pruebas de estas propiedades son sencillas y las dejamos para el lector interesado.
El anillo de cuaterniones es uno de los raros ejemplos de un anillo de división no conmutativa. El siguiente teorema muestra por qué Hamilton tuvo dificultades para encontrar un anillo de división cuyo conjunto subyacente esR3. ◼
LetD Ser un anillo de división que es algebraico sobreR. EntoncesD es isomórfico aR,C, oH. ◼
Ver Capítulo 7 de para ver qué significa ser algebraico sobreR y cómo probar este teorema. Este resultado implica que no hay una forma “agradable” de definir la multiplicación enRn para que se convierta en un anillo de división a menos quen∈{1,2,4}. Hay muchas formas interesantes y útiles deRn convertirlo en un anillo que no es un anillo de división para otros valores den. No obstante, no tenemos tiempo para entrar en estos asuntos.
Problema 11.6 DefinirH={(z−¯ww¯z) | z,w∈C}.
- Demostrar queH es un subring del anilloM2(C).
- Demostrar queH es un anillo de división. Pista: basta con mostrar que cada matriz distinta de cero enH tiene una inversa que también está enH.
- Definir las matrices1=(1001),I=(i00−i),J=(0ii0),K=(0−110)
- Demostrar que cada elemento de seH puede escribir en la forma:a1+bI+cJ+dK dóndea,b,c,d∈R.
- Demostrar queI2=J2=K2=−1,IJ=K,JI=−K,JK=I,KJ=−I,KI=J,IK=−J
No es necesario verificarlo, pero de esto se deduce queH≅H.