11: Los cuaterniones

Los cuaterniones fueron inventados por Sir William Rowan Hamilton alrededor de 1850. Hamilton fue quizás el primero en señalar que los números complejos podrían considerarse como una forma de multiplicar puntos en el avión. Entonces tuvo la idea de tratar de encontrar la manera de multiplicar puntos en para\(\mathbb{R}^3\) que los axiomas de campo quedaran satisfechos. No pudo hacer esto, pero finalmente encontró la manera de definir la multiplicación sobre para\(\mathbb{R}^4\) que la multiplicación junto con la adición vectorial ordinaria de elementos de\(\mathbb{R}^4\) satisfaría todos los axiomas de campo excepto la conmutatividad de la multiplicación. Llamó a estos nuevos objetos cuaterniones. Resultaron, como números complejos, tener muchas aplicaciones en ingeniería y física. Este “sistema numérico” se denota por\(\mathbb{H}\) para Hamilton ya que ya\(\mathbb{Q}\) se toma para denotar los números racionales.

Definición 11.1:

El anillo de cuaterniones es el anillo\((\mathbb{H},+,\cdot)\) donde\[\mathbb{H} = \mathbb{R}^4 = \{ (a,b,c,d) \ | \ a,b,c,d \in \mathbb{R}\}\] y donde\(+\) y\(\cdot\) están definidos por las reglas:\[\begin{aligned} (x,y,z,w) + (a,b,c,d) &=& (x+a,y+b,z+c,w+d) \\ (x,y,z,w) \cdot (a,b,c,d) &=& (xa - yb -zc-wd, \\ & &xb+ya+zd-wc,\\ & &xc-yd+za+wb,\\ & &xd+yc-zb+wa)\end{aligned}\] donde\(x,y,z,w,a,b,c,d \in \mathbb{R}\). La suma y multiplicación dentro de las 4 tuplas de la derecha representan suma y multiplicación en\(\mathbb{R}\).

Declarado de esta manera las reglas para la multiplicación son difíciles de recordar. Hay una manera más sencilla de describirlos: Vamos\[\begin{aligned} 1&=&(1,0,0,0) \\ i&=&(0,1,0,0)\\ j&=&(0,0,1,0)\\ k&=&(0,0,0,1)\end{aligned}\] Tenga en cuenta que aquí estamos siendo un poco perezosos en dejar que 1 signifique tanto el vector\((1,0,0,0)\) como el número real 1. El conjunto\(\{1,i,j,k\}\) es lo que se llama en álgebra lineal una base para\(\mathbb{R}^4\). Esto significa que si definimos for\(a \in \mathbb{R}\) y\((x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4\) el producto escalar por vector\[a(x,y,z,w)=(ax,ay,az,aw),\] el cuaternión\(q=(x,y,z,w)\) puede escribirse de manera única en la forma\[q=x1+yi+zj+wk.\] Ahora bien, si abreviamos\(x=x1\), el cuaternión toma la forma\[q= x+yi+zj+wk.\] Adición ahora se convierte en\[(x+yi+zj+wk) + (a+bi+cj+dk) = (x+a) +(y+b)i+(z+c)j+(w+d)k.\] Productos de los elementos de base se\(1,i,j,k\) definen de la siguiente manera:\[1q=q1=q \mbox{ for all } q \in \mathbb{H},\]\[i^2=j^2=k^2=-1,\]\[ij=-ji=k,\]\[jk=-kj=i,\]\[ki=-ik=j.\] Utilizando estas reglas, la ley distributiva, y el hecho de que si\(q_1\) y\(q_2\) son cualesquiera cuaterniones y\(a \in \mathbb{R}\) luego\[a(q_1q_2) = (aq_1)q_2 = q_1(aq_2),\] uno calcula fácilmente el producto de dos cuaterniones\(q_1 =x+yi+zj+wk\) y\(q_2=a+bi+cj+dk\).

Problema 11.1 Utilice las reglas anteriores para calcular el producto\(q_1q_2\) de los cuaterniones\(q_1=1+i+2j+3k\) y\(q_2=1-i-2j-3k\). Escribir el producto en forma estándar\(a+bi+cj+dk\), donde\(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).

Problema 11.2 Mostrar que\((1,0,0,0)\) actúa como identidad para\(\mathbb{H}\) y que no\(\mathbb{H}\) es un anillo conmutativo.

Problema 11.3 Mostrar que el cuaternión\(q =x+yi+zj+wk\) tiene un inverso dado por\(q^* =c(x-yi-zj-wk)\) donde\(c = 1/(x^2+y^2+z^2+w^2)\) siempre que\(q \ne 0\). Aquí\(0 = (0,0,0,0)\).

Problema 11.4 Mostrar que hay infinitamente muchos cuaterniones\(q\) satisfactorios\(q^2=-1\). Pista: considera cuaterniones de la forma\(q=xi+yj+zk\).

Problema 11.5 Mostrar que el conjunto de 8 elementos\[Q = \{ 1, -1, i, -i, j, -j, k,-k \}\] bajo multiplicación de cuaterniones es un grupo. Este es uno de los cinco grupos no isomórficos de orden 8. Se le llama, naturalmente, el grupo cuaternión.

Definición 11.2

Un anillo que satisface todos los axiomas de campo excepto posiblemente la conmutatividad de la multiplicación se llama anillo de división.

Tenga en cuenta que un anillo de división puede definirse como un anillo cuyos elementos distintos de cero forman un grupo bajo multiplicación. Todos los campos son anillos de división. Un anillo conmutativo que es un anillo de división es un campo.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

\(\mathbb{H}\)es un anillo de división.

Comprobante. A partir del álgebra lineal ya sabemos que la adición de vectores on\(\mathbb{R}^4\) es un grupo abeliano. De los problemas anteriores sabemos que\(\mathbb{H}\) tiene una identidad y cada elemento distinto de cero tiene una inversa. Sólo queda por probar la asociatividad para la multiplicación y las dos leyes distributivas. Las pruebas de estas propiedades son sencillas y las dejamos para el lector interesado.

El anillo de cuaterniones es uno de los raros ejemplos de un anillo de división no conmutativa. El siguiente teorema muestra por qué Hamilton tuvo dificultades para encontrar un anillo de división cuyo conjunto subyacente es\(\mathbb{R}^3\). \(\blacksquare\)

Teorema\(\PageIndex{2}\) (Frobenius)

Let\(D\) Ser un anillo de división que es algebraico sobre\(\mathbb{R}\). Entonces\(D\) es isomórfico a\(\mathbb{R}\),\(\mathbb{C}\), o\(\mathbb{H}\). \(\blacksquare\)

Ver Capítulo 7 de para ver qué significa ser algebraico sobre\(\mathbb{R}\) y cómo probar este teorema. Este resultado implica que no hay una forma “agradable” de definir la multiplicación en\(\mathbb{R}^n\) para que se convierta en un anillo de división a menos que\(n \in \{1,2,4\}\). Hay muchas formas interesantes y útiles de\(\mathbb{R}^n\) convertirlo en un anillo que no es un anillo de división para otros valores de\(n\). No obstante, no tenemos tiempo para entrar en estos asuntos.

Problema 11.6 Definir\[\mathcal{H} = \left \{ \left ( \begin{array}{cr} z & -\overline{w} \\ w&\overline{z} \end{array} \right ) \ | \ z,w \in \mathbb{C} \right \}.\]

1. Demostrar que\(\mathcal{H}\) es un subring del anillo\(M_2(\mathbb{C})\).
2. Demostrar que\(\mathcal{H}\) es un anillo de división. Pista: basta con mostrar que cada matriz distinta de cero en\(\mathcal{H}\) tiene una inversa que también está en\(\mathcal{H}\).
3. Definir las matrices\[\mathbf{1} = \left(\begin{array}{cr} 1 & 0 \\ 0&1 \end{array} \right ), I=\left(\begin{array}{cr} i & 0 \\ 0&-i \end{array} \right ), J=\left(\begin{array}{cr} 0 & i \\i&0 \end{array} \right ), K=\left(\begin{array}{cr} 0 & -1 \\ 1&0\end{array} \right )\]
   1. Demostrar que cada elemento de se\(\mathcal{H}\) puede escribir en la forma:\[a\mathbf{1} + bI + cJ + dK\] dónde\(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).
   2. Demostrar que\[I^2 = J^2 = K^2 = -\mathbf{1},\]\[IJ = K, JI = -K,\]\[JK = I, KJ = -I,\]\[KI = J, IK = -J\]

Observación

No es necesario verificarlo, pero de esto se deduce que\(\mathcal{H} \cong \mathbb{H}\).