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4.3: Luz polarizada

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    La óptica de polarización proporciona un campo de aplicación más apropiado para el álgebra Pauli y el formalismo espinor. Históricamente, por supuesto, iba al revés, y varios aspectos del formalismo habían sido avanzados por muchos autores, a menudo a través del descubrimiento independiente en respuesta a una necesidad práctica.

    En la presente discusión dejamos de lado el enfoque histórico y mediante el uso de la matemática para el malismo ya desarrollada, llegamos a la consolidación y racionalización de material muy desconectado.

    Otro factor que simplifica nuestro argumento es que no intentamos describir la polarización en toda la complejidad de una situación real, sino que nos concentramos primero en un modelo matemático simple, el oscilador armónico isotrópico bidimensional. Este es, por supuesto, el método estándar de la teoría elemental, sin embargo, al traducir esta descripción al formalismo espinorial, establecemos el escenario para generalizaciones. Una generalización potencial sería establecer la conexión con la teoría estadística de la coherencia. Sin embargo, en la presente etapa nos preocuparemos más por las aplicaciones a la mecánica cuántica

    Consideremos una onda plana monocromática polarizada que se propaga en la dirección z y escribamos para los componentes x e y del campo eléctrico

    \[\begin{array}{c} {E_{x} = p_{1} \cos(\omega t+ \phi_{1}) = p_{1} \cos \tau}\\ {E_{y} = p_{2} \cos(\omega t+ \phi_{2}) = p_{2} \cos (\tau-\phi)} \end{array} \label{EQ4.3.1}\]

    con

    \[\begin{array}{cc} {\phi = \phi_{1}-\phi_{2}}&{p_{1}, p_{2} \ge 0} \end{array} \label{EQ4.3.2}\]

    Definamos nuevos parámetros:

    \[\begin{array}{c} {p_{1} = p \cos \theta}\\ {0 \le \theta \le \pi}\\ {p_{2} = p \sin \theta} \end{array} \label{EQ4.3.3}\]

    Es conveniente expresar la información contenida en las Ecuaciones 4.3.1—4.3.3 en términos de la espinora

    \[\begin{array}{c} {| \hat{k} \rangle = p \begin{pmatrix} {e^{-i \phi/2}}&{\cos (\theta/2)}\\ {e^{i \phi/2}}&{\sin (\theta/2)} \end{pmatrix} e^{-i \phi/2}} \end{array} \label{EQ4.3.4}\]

    Aquí\(\phi = \omega t + \phi_{1}\) representa la fase común de los dos componentes que no afecta

    el estado de polarización. Sin embargo, la presencia de este tercer ángulo está en línea con nuestra definición de espinor en las Ecuaciones 4.1.10 y 4.1.11 en la Sección 4.1. Demostrará ser de importancia en el problema de la división y composición del haz. Al normalizar la intensidad y el fraguado\(p = 1\), el espinor\ ref {EQ4.3.4} se ajusta a nuestra normalización unitaria de la sección 4.1.

    Mediante el uso de las Ecuaciones 4.1.30, 4.1.36 y 4.1.38 de la Sección 4.1 obtenemos

    \[\begin{array}{c} {| \hat{k} \rangle \langle \hat{k} | = \frac{1}{2} (1+ \hat{k} \cdot \vec{\sigma})} \end{array} \label{EQ4.3.5}\]

    con

    \[\begin{array}{c} {k_{1} = \langle \hat{k} | \sigma_{1} | \hat{k} \rangle = \sin \theta \cos \phi = 2p_{1}p_{2} \cos phi}\\ {k_{2} = \langle \hat{k} | \sigma_{2} | \hat{k} \rangle = \sin \theta \sin \phi = 2p_{1}p_{2} \sin phi}\\ {k_{3} = \langle \hat{k} | \sigma_{3} | \hat{k} \rangle = \cos \theta = p_{2}^{2}-p_{1}^{2}} \end{array}\]

    De tal manera el spinor\ ref {EQ4.3.5}, y por lo tanto cada estado de polarización se mapea en la superficie de la esfera unitaria, la llamada\(Poincar \acute{e}\) esfera.

    Vemos que el vector unitario\((1, 0, 0)(\theta = \pi/2, \phi = 0)\) corresponde a la polarización lineal a lo largo

    \[\begin{array}{ccc} {\frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{x}+\hat{y})}&{or}&{|45^{\circ} \rangle} \nonumber \end{array}\]

    \((0, 1, 0)(\theta = \pi/2, \phi = \phi/2)\)corresponde a la luz polarizada circularmente derecha\(| R \rangle\), y\((0, 0, 1)\) o\(\theta = 0\) a la polarización lineal en la\(\hat{x}\) dirección:\(| \hat{x} \rangle\). (Ver Figuras 4.3 y 4.4.)

    Existe un método alternativo, y aún más favorecido de parametrizar la\(Poincar \acute{e}\) esfera, en el que el eje preferido para la definición de coordenadas esféricas corresponde a luz de helicidad positiva\(| R \rangle\). Esta elección implica un nuevo conjunto de ángulos esféricos, digamos\(\alpha, \beta\) para reemplazar\(\phi, \theta\). Su relación se muestra geométricamente en las Figuras 4.3 y 4.4. El tratamiento algebraico correspondiente se resume de la siguiente manera.

    Reletiquetamos los ejes cartesianos en el “\(Poincar \acute{e}\)espacio” como

    \[\begin{array}{c} {k_{3} = s_{1} = \sin \beta \cos \alpha}\\ {k_{1} = s_{2} = \sin \beta \sin \alpha}\\ {k_{2} = s_{3} = \cos \beta} \end{array} \label{EQ4.3.7}\]

    El vector\(\hat{s}\) está asociado con la espinora unitaria

    \[\begin{array}{c} {| \hat{s} \rangle = \begin{pmatrix} {e^{-i \alpha/2}}&{\cos (\beta/2)}\\ {e^{i \alpha/2}}&{\sin (\beta/2)} \end{pmatrix}} \end{array}\]

    y

    \[\begin{array}{c} {| \hat{s} \rangle \langle \hat{s} | = \frac{1}{2} (1+ \hat{s} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

    La ventaja de esta elección es que los ángulos\(\alpha, \beta\) tienen un significado simple. Afirmamos que

    \[\begin{array}{c} {a_{1} = a \cos (\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\beta))}\\ {a_{2} = a \sin (\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\beta))} \end{array} \label{EQ4.3.10}\]

    donde\(a_{1}, a_{2}\) están los ejes medio mayor y menor de la elipse trazados por el\(\vec{E}\) vector; asociamos un positivo y un negativo\(a_{2}\) con una elipse en círculo en el sentido positivo y negativo respectivamente. Además, el ángulo\(\alpha\) es el doble del ángulo de inclinación del eje mayor contra el eje x (Figura 5.4-d). El ángulo\(\gamma\) se refiere a la fase general en completa analogía a\(\psi\).

    La prueba de estas afirmaciones se encuentra en Born y Wolf (ver pp. 24-32 de [BW64], las ediciones posteriores casi no han cambiado). Sigue una derivación algo simplificada.

    Primero probamos que las ecuaciones\ ref {EQ4.3.1} y\ ref {EQ4.3.2} proporcionan efectivamente una representación paramétrica de una elipse. La eliminación de\(\tau\) de las dos ecuaciones\ ref {EQ4.3.1} rendimientos

    \[\begin{array}{c} {(\frac{E_{1}}{p_{1} \sin \phi})^{2}- \frac{2E_{1}E_{2} \cos \phi}{p_{1}p_{2} \sin^{2} \phi}+(\frac{E_{1}}{p_{1} \sin \phi})^{2}} \end{array} \label{EQ4.3.11}\]

    Esta es una ecuación de la forma

    \[\begin{array}{c} {\sum_{1}^{2} a_{ik}x_{i}x_{k} = 1} \end{array}\]

    con el\(a_{ik}\), real, simétrico, y\(a_{11} > 0\),

    \[\begin{array}{c} {a_{11}a_{22}-a_{12}^2 > 0} \end{array}\]

    Los ejes de la elipse se derivan del problema del valor propio:

    \[\begin{array}{c} {(a_{11}-\lambda) x_{1}+a_{12}x_{2} = 0}\\ {a_{21}x_{1}+(a_{22}-\lambda) x_{2} = 0} \end{array} \label{EQ4.3.14}\]

    De ahí

    \[\begin{array}{c} {\lambda^{2}-(a_{11}+a_{22}) \lambda+a_{11}a_{22}-a_{12} = 0} \end{array}\]

    con

    \[\begin{array}{cc} {\lambda_{1} = \frac{1}{a_{1}^{2}}}\\ {\lambda_{2} = \frac{1}{a_{2}^{2}}} \end{array}\]

    donde\(a_{1}, a_{2}\) están los ejes medio mayor y medio menor respectivamente.

    Tenemos, insertando para el\(a_{ik}\), de Ecuación\ ref {EQ4.3.11}

    \[\begin{array}{c} {\lambda_{1}+\lambda_{1} = a_{11}+a_{22} = (\frac{1}{p_{1}^{2}}+\frac{1}{p_{2}^{2}}) \frac{1}{\sin^{2} \phi}} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {\lambda_{1}+\lambda_{1} = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} = \frac{1}{p_{1}^{2}p_{2}^{2} \sin^{2} \phi}} \end{array}\]

    A partir de estas ecuaciones tenemos

    \[\begin{array}{c} {\lambda_{1}+\lambda_{1} = a_{1}^{2} a_{2}^{2} = p_{1}^{2}p_{2}^{2} \sin^{2} \phi} \end{array} \label{EQ4.3.19}\]

    \[\begin{array}{c} {\lambda_{1}+\lambda_{1} = a_{1}^{2}+a_{2}^{2} = p_{1}^{2}+p_{2}^{2}} \end{array}\]

    De la Ecuación\ ref {EQ4.3.19} tenemos\(a_{1} a_{2} = \pm p_{1}p_{2} \sin \phi\). Requerimos

    \[\begin{array}{c} {a_{1} a_{2} = p_{1}p_{2} \sin \phi} \end{array}\]

    y dejar que\(a_{2} < 0\) para\(\sin \phi < 0\).
    Introducimos ahora el ángulo auxiliar 3 como se define en la Ecuación\ ref {EQ4.3.10}. Con tal asignación\(\beta = 0\),\(\pi\) corresponden efectivamente a la luz polarizada circularmente derecha e izquierda\(| R \rangle, | \bar{R} \rangle\) respectivamente. Por otra parte\(a_{1} \ge |a_{2}|\). De ahí\(a_{1}\) está el medio eje mayor. De Ecuaciones\ ref {EQ4.3.3},\ ref {EQ4.3.19} y\ ref {EQ4.3.10} obtenemos

    \[\begin{array}{c} {\cos \beta = \sin \theta \sin \phi} \end{array} \label{EQ4.3.22}\]

    Completamos la parametrización de la elipticidad introduciendo\(\alpha/2\) para el ángulo entre el eje mayor y la\(\hat{x}\) dirección (Figura 5.4-c).

    De la Ecuación\ ref {EQ4.3.14} tenemos

    \[\begin{array}{c} {\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{\lambda-a_{11}}{a_{12}} = \frac{a_{12}}{\lambda-a_{22}}} \end{array}\]

    y

    \[\begin{array}{c} {\tan \alpha = \frac{\tan \frac{\alpha}{2}+\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan^{2} \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\lambda-a_{11}}{a_{12}}+\frac{a_{12}}{\lambda-a_{22}}}{\frac{\lambda-a_{11}}{\lambda-a_{22}}}}\\ {= \frac{(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22}) \frac{1}{a_{12}}+a_{12}}{a_{11}-a_{22}} = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}}\\ {= \frac{2p_{1}p_{2} \cos \phi}{p_{1}^{2}-p_{2}^{2}} = \frac{\sin \theta \cos \phi}{\cos \theta} = \tan \theta \cos \phi} \end{array} \label{EQ4.3.24}\]

    Es evidente a partir de la Ecuación\ ref {EQ4.3.22} que el eje\(s_{3}\) puede identificarse efectivamente con\(k_{2}\). Además Ecuación\ ref {EQ4.3.24} rendimientos

    \[\begin{array}{c} {\frac{s_{2}}{s_{1}} = \frac{k_{1}}{k_{3}}} \end{array}\]

    Ya que\(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2} = 1 = s_{1}^{2} = s_{2}^{2} = s_{2}^{3}\), llegamos al resto de la identificación sugerida en la Ecuación\ ref {EQ4.3.7}.

    Nos referiremos al formalismo basado en las parametrizaciones\(\hat{k}(\phi, \theta, \psi)\) y\(\hat{s}(\alpha, \beta, \gamma)\) como el\(\hat{k}\) -esquema y el\(\hat{s}\) -esquema respectivamente. Dado que cualquiera de los dos pares de ángulos\(\phi, \theta\) y\(\alpha, \beta\) proporcionan una descripción satisfactoria del estado de polarización, vale la pena tratar con ambos esquemas.

    El papel del “tercer ángulo”\(\phi\) o\(\gamma\), respectivamente, es más sutil. Es bien sabido que una espinora se puede visualizar como un vector y un ángulo, un “asta de bandera” y una “bandera” en la terminología de Penrose Sin embargo, el ángulo representa una fase, y como tal tiene propiedades notoriamente ambivalentes. Si bien una sola fase suele ser poco importante, las relaciones de fase suelen ser más significativas. Si bien se pueden resolver problemas particulares en la óptica de polarización en términos de la esfera de Poincaré sin un uso explícito del tercer ángulo, para nosotros estos problemas son meramente peldaños para problemas más profundos y preferimos presentarlos como instancias del formalismo general. No importa si esto parece ser un arma algo pesada para ese propósito.

    Al proceder de esta manera tenemos que ignorar algunas finas distinciones; así asignamos\(| \xi \rangle\) y\(- | \xi \rangle\) al mismo estado de polarización. Consideramos una ventaja que el formalismo tenga la capacidad de reserva para ser utilizado posteriormente a problemas como el espín electrónico.

    Demostramos la utilidad del formalismo espinor traduciendo una de sus simples proposiciones en, lo que podría llamarse el teorema fundamental de la óptica de polarización.

    Considera dos pares de espinoras conjugadas\(| \xi \rangle, | \bar{\xi} \rangle\) y\(| \xi' \rangle, | \bar{\xi'} \rangle\).

    Teorema 3

    Hay una matriz unitaria unimodular U determinada de manera única tal que

    \[\begin{array}{c} {| \xi' \rangle = U | \xi \rangle}\\ {| \bar{\xi'} \rangle = U | \bar{\xi} \rangle} \end{array}\]

    Prueba

    Al usar la Ecuación 5.1.27 de la Sección 5.1 consideramos las matrices unitarias asociadas a los pares de espinas:

    \[\begin{array}{c} {V = (| \xi \rangle, | \bar{\xi} \rangle)} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {V' = (| \xi' \rangle, | \bar{\xi'} \rangle)} \end{array}\]

    La matriz\(U = V'V^{-1}\) tiene las propiedades deseadas, ya que\(UV = V'\).

    Que la parametrización monoaxial de U sea\(U (\hat{u}, \chi /2)\). Al usar las Ecuaciones 4.1.58 y 4.1.59 de la Sección45.1 vemos que U tiene dos autohiladores:

    \[\begin{array}{c} {U | \hat{u} \rangle = \exp (-i \chi/2) | \hat{u} \rangle} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {U | \bar{\hat{u}} \rangle = \exp (i \chi/2) | \hat{u} \rangle} \end{array}\]

    Por lo tanto, U produce un desplazamiento de fase entre los estados conjugados\(| \hat{u} \rangle\) y\(| \hat{u} \rangle\); además, gira sus combinaciones lineales:

    \[\begin{array}{c} {| \xi \rangle = a_{0} | \hat{u} \rangle + a_{1} | \hat{u} \rangle} \end{array}\]

    donde

    \[\begin{array}{c} {|a_{0}|^2+|a_{1}|^2 = 1} \end{array}\]

    Estos resultados se traducen en óptica de polarización de la siguiente manera. Un haz arbitrario y totalmente polarizado puede ser transformado en otro haz del mismo tipo mediante un desfasador, cuyo eje se determina\(\hat{u}\) de manera única en términos de la representación de espinas de los haces dados. Dado que el resultado es una rotación de la esfera de Poincaré, el eje del desfasador se puede determinar también geométricamente.

    Para contrarrestar la generalidad completa de la construcción de Poincaré, consideremos los casos especiales

    \[\begin{array}{c} {U = U(\hat{k}_{3}, \frac{\Delta \phi}{2})} \end{array} \label{EQ4.3.33}\]

    \[\begin{array}{c} {U = U(\hat{s}_{3}, \frac{\Delta \alpha}{2})} \end{array} \label{EQ4.3.34}\]

    El desfasador, Ecuación\ ref {EQ4.3.33}, se denomina retardador lineal, establece un desfase entre un estado de polarización lineal y su estado antípodal. Porque\(\Delta \phi = \pi/2\) tenemos un cuarto de placa de onda que transforma elíptica en polarización lineal o viceversa.

    El desfasador, Ecuación\ ref {EQ4.3.34}, produce un desfase entre haces polarizados circularmente derecho e izquierdo. (Un cristal circularmente biregringente, digamos cuarzo, se corta perpendicularmente al eje óptico: efecto escalera de caracol.)

    Dado que un haz linealmente polarizado es la composición lineal\(| R \rangle\) y\(| L \rangle\) el retardo de fase se manifiesta en una rotación del plano de polarización, de ahí una rotación alrededor\(\hat{s}_{3}\). El dispositivo se llama rotador.

    Así, las rotaciones de la esfera de Poincaré pueden producir un cambio de forma o un cambio de orientación en el espacio ordinario.

    Podemos agregar que al combinar placas de onda de dos cuartos con un rotador general podemos realizar un desfasador arbitrario\(U(\hat{u}, \chi/2)\).

    Nuestro teorema principal sobre la representación de la transformación de haces totalmente polarizados es evidentemente la contraparte del teorema de Euler sobre los desplazamientos del giroscopio mencionado en la página 56.

    Si bien tenemos una identidad formal, en el sentido de que tenemos en ambos casos la rotación de una tríada, hay mucha diferencia en la interpretación física. La rotación tiene lugar ahora en un espacio abstracto, podemos llamarlo el espacio Poincaré ́. También hace una gran diferencia que las velocidades angulares del objeto giratorio ahora son reemplazadas por las tasas de tiempo de cambio de la diferencia de fase entre pares de polarizaciones conjugadas. Al pasar de cuerpos rígidos a ondas polarizadas (vibraciones degeneradas) no tenemos que modificar el formalismo, pero la nueva interpretación abre nuevas oportunidades. El concepto de diferencia de fase evoca la idea de superposición coherente en contraste con la composición incoherente. Estos asuntos no tienen análogos en el caso de la rotación rígida, y ahora pasamos al examen de las nuevas características.

    Consideremos un haz polarizado representado en el\(\hat{s}(\alpha, \beta)\) esquema por el spinor\(| \hat{s} \rangle\) donde

    \[\begin{array}{c} {S = | \hat{s} \rangle \langle \hat{s} | = \frac{1}{2} (1+\hat{s} \cdot \vec{\sigma})} \end{array}\]

    o alternativamente,

    \[\begin{array}{c} {S = \begin{pmatrix} {s_{0}s_{0}^{*}}&{s_{0}s_{1}^{*}}\\ {s_{1}s_{0}^{*}}&{s_{0}s_{1}^{*}} \end{pmatrix}} \end{array}\]

    S se denomina matriz de densidad o matriz de coherencia asociada a un haz polarizado (un estado puro en mecánica cuántica). Como ya hemos visto, es idempotente y el determinante\(|S| = 0\).

    Analizamos este haz con un instrumento\(U(u, \Delta \psi/2)\) donde\(\hat{u} \ne \hat{s}\), y obtenemos

    \[\begin{array}{c} {| \hat{s} \rangle = a_{0} | \hat{u} \rangle+a_{1} | \bar{\hat{u}} \rangle} \end{array}\]

    con

    \[\begin{array}{cc} {a_{0} = \langle \hat{u} | \hat{s} \rangle}&{a_{1} = \langle \bar{\hat{u}} | \hat{s} \rangle} \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} {|a_{0}|^2+|a_{1}|^2 = 1} \end{array} \label{EQ4.3.39}\]

    De Ecuaciones 4.1.58 tenemos

    \[\begin{array}{c} {| \xi' \rangle =U(\hat{u}, \frac{\Delta \psi}{2}) | \hat{s} \rangle}\\ {= a_{0} \exp(-i \frac{\Delta \psi}{2}) | \hat{u} \rangle a_{1} \exp(i \frac{\Delta \psi}{2}) | \bar{\hat{u}} \rangle}\\ {= a_{0} | \hat{u}, \frac{\psi + \Delta \psi}{2} \rangle a_{1} | \overline{\hat{u}, \frac{\psi + \Delta \psi}{2}} \rangle} \end{array} \label{EQ4.3.40}\]

    Supongamos ahora que el instrumento U se dobla con un instrumento inverso que reúne los dos haces que se han separado en el primer paso. Esta reunificación puede ocurrir después de que se hayan realizado ciertas manipulaciones en los haces separados. Tal dispositivo, el llamado bucle de análisis se ha utilizado más para el análisis conceptual del formalismo mecánico cuántico que para los fines prácticos de la óptica de polarización.

    Dependiendo de la naturaleza de las manipulaciones tenemos una serie de situaciones distintas que procedemos a desenredar de la mano de las siguientes fórmulas.

    Obtenemos de la Ecuación\ ref {EQ4.3.40}

    \[\begin{array}{c} {\frac{1}{2}S' =| \hat{s'} \rangle \langle \hat{s'} | = |a_{0}|^{2} | \hat{u} \rangle \langle \hat{u} |+|a_{1}|^{2} | \bar{\hat{u}} \rangle \langle \bar{\hat{u}} |+a_{0}a_{1}^{*} \exp (-i \Delta \psi) | \hat{u} \rangle \langle \bar{\hat{u}} |} \end{array} \label{EQ4.3.41}\]

    Aquí\(S'\) es idempotente y de determinante cero tal como lo es S, ya que\(| \hat{s'} \rangle\) surge de\(| \hat{s} \rangle\) por medio de una operación unitaria.

    Consideremos ahora un caso diferente en el que la diferencia de fase entre los dos haces parciales ha sido aleatorizada. De hecho, tomemos primero el caso extremo en el que desaparecen los términos de interferencia:

    \[\begin{array}{c} {\langle a_{0}a_{1}^{*} \exp (-i \Delta \psi) \rangle_{av} = \langle a_{1}a_{0}^{*} \exp (i \Delta \psi) \rangle_{av} = 0} \end{array} \label{EQ4.3.42}\]

    Obtenemos de Ecuaciones\ ref {EQ4.3.41},\ ref {EQ4.3.42} y\ ref {EQ4.3.39}

    \[\begin{array}{c} {S' = 1+(|a_{0}|^{2}-|a_{1}|^{2}) \hat{u} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

    Escribimos S' como

    \[\begin{array}{c} {S' = 1 +s' \hat{u} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

    dónde\(0 \le s' < 1\) y

    \[\begin{array}{c} {0 < |S| = 1+s'^{2} \le 1} \end{array}\]

    Ahora tenemos una forma generazizada de la matriz de densidad asociada a una luz parcialmente polarizada o incluso natural (if\(s' = 0\)). En la mecánica cuántica hablamos de una mezcla de estados.

    Es habitual en óptica cambiar la normalización y establecer para un haz parcialmente polarizado

    \[\begin{array}{c} {S = s_{0}+s \hat{s} \cdot \vec{\sigma}} \end{array}\]

    donde\(s_{0}\) es la intensidad total y s la intensidad del componente polarizado. Tenemos para el determinante

    \[\begin{array}{c} {0 \le |S| = s_{0}^{2}-s^{2} \le s^{2}} \end{array}\]

    que es cero para la luz polarizada y positiva de otra manera.

    Además de conservar o destruir las relaciones de fase, también se puede operar directamente sobre la intensidad. Si uno de los componentes del analizador, digamos\(| \hat{u} \rangle\) o\(| \bar{\hat{u}} \rangle\) está bloqueado, el instrumento actúa como un polarizador perfecto.

    Formalmente, podemos dejar que el operador de proyección

    \[\frac{1}{2} (1 \pm \hat{u} \cdot \vec{\sigma})\]

    actuar sobre la matriz de densidad del haz, que puede estar polarizada total, parcialmente o no en absoluto. La luz no polarizada o natural puede considerarse como un conjunto estadístico de haces de luz polarizados distribuidos uniformemente sobre la esfera de Poincaré. (Ver problema #15.)

    Un polarizador imperfecto (como una lámina de polaroide) exhibe una absorción desigual de dos polarizaciones lineales conjugadas. Se puede representar como un operador hermitiano que actúa sobre S.

    Hemos visto anteriormente que se contabiliza la composición incoherente de los dos haces de un analizador, por la adición de la matriz de densidad.

    Por el contrario, cada haz parcialmente polarizado se puede construir de tal manera. (Ver problema #13.)

    Sin embargo, es posible que deseemos agregar incoherentemente un conjunto arbitrario de haces parcialmente polarizados, y esto siempre se logra agregando sus matrices de densidad.

    Entonces surge la pregunta: ¿No podríamos operar fenomenológicamente solo en términos de la densidad matri ces?

    El asunto ya fue considerado por Stokes (1852) quien introdujo un vector de columna con los cuatro componentes I, M, C, S correspondientes a nuestro\(s_{0}, \vec{s}\). Un instrumento general está representado por una\(4 \times 4\) matriz real. Tenga en cuenta que el “instrumento” podría ser también una molécula que produce un cambio de polarización en la dispersión.

    Las\(4 \times 4\) matrices se denominan comúnmente matrices Mueller. Este formulismo suele mencionarse junto con el cálculo Jones de matrices\(2 \times 2\) complejas. Esto fue desarrollado por R. Clark Jones de Polaroid Co. y sus colaboradores en una larga serie de artículos en Journal of the American Optical Society en la década de 1940 (citado por ejemplo, por Shurcliff, y C. Whitney). Se trata básicamente de una teoría de la espinora de dos componentes para tratar instrumentos que modifican la polarización sin polarización ni pérdida de intensidad. Se desarrolló en estrecho contacto con el experimento sin depender de un formalismo matemático existente.

    A Mueller le gustaba enfatizar el carácter puramente fenomenológico de su formalismo. Los cuatro parámetros de tokes de un haz se pueden determinar a partir de mediciones por cuatro filtros. Sin embargo, una dificultad de este enfoque fenomenológico es que no todas las\(4 \times 4\) matrices corresponden a un instrumento físicamente realizable u objeto de dispersión. Esto significa que un llamado instrumento pasivo no debe aumentar la intensidad total ni crear correlaciones de fase. La situación es más sencilla en la formulación\(2 \times 2\) matricial en la que se han eliminado los parámetros redundantes.

    Sin embargo, no entramos en tales detalles, ya que la óptica de polarización no es nuestra principal preocupación. De hecho, la doble valorización del formalismo espinor completo trae consigo una cierta complicación que se justifica por el hecho de que nuestro principal interés está en las aplicaciones a la mecánica cuántica. Compararemos los diferentes tipos de aplicaciones que están disponibles en esta coyuntura en la Sección 4.5.

    En tanto, en la siguiente sección mostramos que el concepto de espinor unitario puede generalizarse a situaciones relativistas. Esto es indispensable si el formalismo se va a aplicar también a la propagación y no sólo a la polarización de la luz.


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