5.1: Introducción a los Grupos Cíclicos

Ciertos grupos y subgrupos de grupos tienen estructuras particularmente agradables.

Definición: Cíclica

Un grupo es cíclico si es isomórfico\(\mathbb{Z}_n\) para algunos\(n\geq 1\text{,}\) o si es isomórfico a\(\mathbb{Z}\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplos/No ejemplos de grupos cíclicos.

1. \(n\mathbb{Z}\)y\(\mathbb{Z}_n\) son cíclicos para cada\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\)
2. \(\mathbb{R}\text{,}\)\(\mathbb{R}^*\text{,}\)\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{,}\)y\(GL(2,\mathbb{R})\) son incontables y por lo tanto no pueden ser cíclicos.
3. \(\mathbb{Z}_2^2\)no es cíclico ya que tendría que ser isomórfico para\(\mathbb{Z}_4\) si lo fuera (ya que tiene orden\(4\)).
4. \(\mathbb{Q}\)no es cíclico. Si fuera cíclico tendría que ser isomórfico\(\mathbb{Z}\text{,}\) ya que\(\mathbb{Q}\) es un grupo infinito (así que no puede ser isomórfico\(\mathbb{Z}_n\) para ninguno\(n\)). Pero demostramos en Ejemplo\(3.3.5\) que\(\mathbb{Q} \not\simeq \mathbb{Z}\text{.}\)

Observación

Claramente, la ciclicidad es un grupo invariante.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(G\) es cíclico, entonces\(G\) es abeliano; sin embargo,\(G\) puede ser abeliano pero no cíclico.

Prueba

Dado que\(\mathbb{Z}\) y cada uno\(\mathbb{Z}_n\) es abeliano, cada grupo cíclico es abeliano. Pero, por ejemplo,\(\mathbb{R}\) es un grupo abeliano no cíclico (no puede ser cíclico porque es incontable).

Definición: Subgrupo cíclico de G Generado por un

Dejar\(a\) ser un elemento de un grupo\(G\text{.}\) Entonces

\ begin {ecuación*}\ langle a\ rangle =\ {a^n:n\ in\ mathbb {Z}\}\ end {ecuación*}

se llama el subgrupo (cíclico) de\(G\) generado por\(a\). (Más adelante veremos por qué aquí se usan las palabras “cíclico” y “generado”).

Observación

Tenga en cuenta que en la definición anterior, estábamos usando notación multiplicativa. Usando notación aditiva, tenemos

\(\langle a \rangle =\{na:n\in \mathbb{Z}\}=\{\ldots, -2a, -a, 0a, 1a, 2a, \ldots\}.\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(a\) ser un elemento de un grupo\(G\text{.}\) Entonces\(\langle a\rangle \leq G\text{.}\)

Prueba

Vamos\(x,y∈ \langle a \rangle\). Entonces\(x=a^i\),\(y=a^j\) para algunos\(i,j∈\mathbb{Z}\). Entonces\(xy=a^ia^j=a^{i+j}∈\langle a \rangle\). A continuación,\(e_G=a^0∈ \langle a \rangle\). Por último,\((a^i)^{−1}=a^{−i}∈ \langle a \rangle\). Así\(\langle a \rangle\) es un subgrupo de\(G\).

Let\(x,y\in \langle a\rangle\text{.}\) Then \(x=a^i\text{,}\) \(y=a^j\) for some \(i,j\in \Z\text{.}\) So \(xy=a^ia^j=a^{i+j}\in \langle a\rangle\text{.}\) Next, \(e_G=a^0\in \langle a \rangle\text{.}\) Finally, \((a^i)^{-1}=a^{-i}\in \langle a \rangle\text{.}\) So \(\langle a\rangle\) is a subgroup of \(G\text{.}\)

A continuación probamos un lema al que nos referiremos a la hora de probar el teorema que le sucede.

Lema\(\PageIndex{1}\): Clock Lemma

Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(a \in G\text{.}\) Supongamos que hay una potencia positiva de la\(a\) cual es igual al elemento\(e\) de identidad de\(G\text{.}\) Let\(n\) be the least such positive integer. Entonces para todos\(s,t\in \mathbb{Z}\text{,}\)\(a^s=a^t\) si y solo si\(s\) es congruente al\(t\) modulo\(n\text{.}\) En particular, si\(s\in \mathbb{Z}^+\) con\(a^s=e,\) entonces\(n\) divide\(s\text{.}\)

Prueba

Vamos\(s,t∈\mathbb{Z}\). Por el Algoritmo de División, existen\(q∈\mathbb{Z}\) y\(r∈\mathbb{Z}_n\) con\(s−t=qn+r\). Entonces\(a^{s−t}=a^{qn+r}=(a^n)^qa^r=e^qa^r=a^r\). Ya que\(0≤r<n\), ser definición de nn tenemos eso\(a^{s−t}=e\) si y solo si\(r=0\); es decir,\(a^s=a^t\) si y solo si\(s\) y\(t\) son congruentes modulo\(n\).

La última afirmación se desprende del hecho de que\(n\) divide cualquier entero positivo al que sea congruente módulo en sí mismo.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(G\) ser un grupo con elemento de identidad\(e\text{,}\) y dejar\(a\in G\text{.}\) Entonces el grupo\(\langle a\rangle\) es cíclico.

Prueba

Caso 1. No hay un entero positivo\(k\) con\(a^k=e\). En este caso, reclamamos\(\langle a \rangle \simeq \mathbb{Z}\). Efectivamente:\(ϕ:\mathbb{Z}→ \langle a \rangle\) Déjese definir por\(ϕ(i)=a^i\). Claramente,\(ϕ\) es un homomorfismo que está sobre. Entonces para demostrar que\(ϕ\) es un isomorfismo, basta con mostrar que\(ϕ\) es uno a uno. Déjalo\(i,j∈\mathbb{Z}\) con\(ϕ(i)=ϕ(j)\). Entonces\(a^i=a^j\). Sin pérdida de generalidad, podemos asumir\(i≥j\). Entonces, multiplicando ambos lados de la ecuación por\(a^{−j}\) (a la derecha o a la izquierda) obtenemos\(a^{i−j}=e\). Ya que\(i−j∈ \mathbb{N}\) y no hay entero positivo\(k\) con\(a^k=e\), debemos tener\(i−j=0\), entonces\(i=j\). Así,\(ϕ\) es un isomorfismo de\(\mathbb{Z}\) a\(\langle a \rangle\).

Caso 2. Hay un entero positivo\(k\) tal que\(a^k=e\). En este caso, deja\(n\) ser el menor número entero positivo de este tipo. Definir\(ϕ:\mathbb{Z}_n→ \langle a \rangle\) ser definido por\(ϕ(i)=a^i\). Afirmamos que\(ϕ\) es un isomorfismo.

Primero, vamos\(i,j∈\mathbb{Z}\). Queremos demostrar eso\(ϕ(i+_nj)=ϕ(i)ϕ(j)\), es decir, eso\(a^{i+_nj}=a^ia^j\). Ya que\(i+j\) es congruente con\(i+_nj\) módulo\(n\),\(a^ia^j=a^{i+j}=a^{i+_nj}\), por el Lema del Reloj. Así\(ϕ\) es un homomorfismo. A continuación, mostramos que\(ϕ\) es uno a uno. Vamos\(i,j∈ \mathbb{Z}_n\) con\(ϕ(i)=ϕ(j)\), entonces\(a^i=a^j\). Entonces, por el Lema del Reloj,\(i\) y\(j\) son congruentes módulo\(n\). Como ambos están adentro\(\mathbb{Z}_n\), deben ser iguales, también lo\(ϕ\) es uno a uno. Por último, demostramos que\(ϕ\) es onto. vamos\(x∈ \langle a \rangle\). Entonces\(x=a^i\) para algunos\(i∈ \mathbb{Z}\). Dejando\(r\) ser el resto cuando dividimos\(i\) por\(n\), tenemos\(r∈\mathbb{Z}_n\) con\(i\) congruente al\(r\) módulo\(n\); así, nuevamente usando el Lema del Reloj,\(x=a^i=a^r\). Ya que\(r∈\mathbb{Z}_n, x=ϕ(r)\). Así\(ϕ\) es sobre.

Así,\(ϕ\) es un isomorfismo, y así en este caso tenemos\(\mathbb{Z}_n \simeq \langle a \rangle\).

Definición: Orden

Dejar\(G\) ser un grupo y dejar\(a\in G\text{.}\) Definimos el orden de\(a\text{,}\) denotado\(o(a)\text{,}\) para ser\(|\langle a\rangle |\text{.}\) (Nota: Si existe un entero positivo\(k\) tal que\(a^k=e\text{,}\) entonces el menor tal entero es el orden de\(a\text{;}\) lo contrario,\(o(a)=\infty\text{.}\))

Observación

No confundir el orden de un grupo con el orden de un elemento de un grupo. Estos son conceptos relacionados, pero son distintos, y tienen notaciones distintas: como hemos visto, el orden de un grupo,\(G\text{,}\) se denota por\(|G|\text{,}\) mientras que el orden de un elemento\(a\) de un grupo se denota por\(o(a)\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Deje que\(a\) el elemento en grupo\(G\) tenga\(o(a)=k \lt \infty\text{.}\) Entonces para\(m\in \mathbb{Z}^+\text{,}\)\(a^m=e\) si y solo si\(k\) divide\(m\text{.}\)

Prueba

Esto se desprende de la última declaración del Lema del Reloj.

Esto se desprende de la última declaración del Lema del Reloj.

Tenemos el siguiente teorema práctico.

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Vamos\(a\in G\text{.}\) Entonces\(o(a)=o(a^{-1})\text{.}\)

Prueba

Primero, asuma\(o(a)=n<∞\). Entonces

\((a^{−1})^n=(a^n)^{−1}=e^{−1}=e\),

por lo\(o(a^{−1})≤n=o(a)\). Using the same argument, we have \(n=o(a)≤o(a^{−1})\). Since \(o(a^{−1})≤n\) and \(n≤o(a^{−1})\), \(o(a^{−1})=n=o(a)\).

Por otro lado, supongamos\(o(a)=∞\). Entonces también\(a^{−1}\) debe tener orden infinito, ya que si tuviera orden finito\(m\),\(a\) tendría, por el argumento anterior, un orden menor o igual a\(m\).

Primero, asuma\(o(a)=n\lt \infty\text{.}\) Then

\ begin {ecuación*} (a^ {-1}) ^n =( a^n) ^ {-1} =e^ {-1} =e,\ end {ecuación*}

por lo\(o(a^{-1})\leq n=o(a)\text{.}\) Using the same argument, we have \(n=o(a)\leq o(a^{-1})\text{.}\) Since \(o(a^{-1})\leq n\) and \(n\leq o(a^{-1})\text{,}\) \(o(a^{-1})=n=o(a)\text{.}\)

Por otro lado, supongamos\(o(a)= \infty\text{.}\) Then \(a^{-1}\) must also have infinite order, since if it had finite order \(m\text{,}\) \(a\) would, by the above argument, have order less than or equal to \(m\text{.}\)

Desafortunadamente, no existe una fórmula que se pueda usar simplemente para calcular el orden de un elemento en un grupo arbitrario. Sin embargo, en el caso especial de que el grupo sea cíclico de orden sí\(n\text{,}\) tenemos tal fórmula. Presentamos el siguiente resultado sin pruebas.

Teorema\(\PageIndex{6}\)

Para cada\(a\in \mathbb{Z}_n\text{,}\)\(o(a)=n/\gcd(n,a)\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{7}\)

Dejemos\(m,n \in \mathbb{Z}^+\) y\((a,b)\in \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n\text{.}\) dejemos\(c, d\) que sean las respectivas órdenes de\(a\) dentro\(\mathbb{Z}_m\) y\(b\) en\(\mathbb{Z}_n\text{.}\) Entonces\(o((a,b))= \text{lcm}(c,d)\text{.}\)

Prueba

Vamos\(k∈\mathbb{Z}^+\). Por definición de\(c\) y\(d\) y por teorema\(5.1.4\), tenemos\(k(a,b)=(ka,kb)=(0,0)\) si y sólo si\(c\) y\(d\) dividir\(k\). Ya que\(\gcd(c,d)=1\), el número entero menos positivo se divide por ambos\(c\) y\(d\) es\(\text{lcm}(c,d)\). Así,\(o((a,b))=\text{lcm}(c,d)\), como se desee.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(m,n\in \mathbb{Z}^+\) con\(\gcd(m,n)=1\text{.}\) Entonces\(\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n\) es cíclico.

Prueba

Ya que\(\gcd(m,n)=1\),\(\text{lcm}(m,n)=mn\). Entonces

\(o((1,1))= \text{lcm}⁡(m,n)=mn=|\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n|\),

y vemos que\((1,1)\) genera\(\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n\).

Aquí hay algunos ejemplos de subgrupos cíclicos de grupos, y órdenes de elementos grupales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

1. En\(\mathbb{Z}\text{,}\)\(\langle 2\rangle =\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}=2\mathbb{Z}\text{.}\) Más general, dado alguno\(n\in \mathbb{Z}\text{,}\) en\(\mathbb{Z}\) tenemos\(\langle n\rangle =n\mathbb{Z}\text{.}\) Para\(a\in \mathbb{Z}\text{,}\)\(o(a)=\infty\) si\(a\neq 0\text{;}\)\(o(0)=1\text{.}\)
2. En\(\mathbb{Z}_8\text{,}\) tenemos\(\langle 0\rangle =\{0\}\text{,}\)\(\langle 1\rangle =\langle 3\rangle =\langle 5\rangle =\langle 7\rangle =\mathbb{Z}_8,\)\(\langle 2\rangle =\langle 6\rangle =\{0,2,4,6\},\) y\(\langle 4\rangle =\{0,4\}\text{.}\)
3. En\(\mathbb{R}\text{,}\)\(\langle \pi\rangle =\pi\mathbb{Z}\text{,}\) tan\(o(\pi)=\infty\text{.}\)
4. En\(\mathbb{R}^*\text{,}\)\(\langle \pi\rangle =\{\pi^n:n\in \mathbb{Z}\}\text{.}\) De nuevo,\(o(\pi)=\infty\text{.}\)
5. En\(\mathbb{M}_2(\mathbb{R})\text{,}\)

\ begin {ecuation*}\ left\ langle\ begin {bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\ end {bmatrix}\ right\ rangle =\ left\ {\ begin {bmatrix} c & c\ 0 & c\ end {bmatrix}: c\ in\ mathbb {Z}\ right\} =\ left\ {c\ begin {bmatrix} 1 & 1\ 0 & 1\ end {bmatrix}: c\ in\ mathbb {Z}\ right\}. \ end {ecuación*}

Por lo tanto, la matriz tiene orden infinito.

6. En\(\mathbb{M}_2(\mathbb{Z}_2)\text{,}\) si\(A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \text{,}\) entonces\(\langle A\rangle =\left\{A, \begin{bmatrix}0& 0 \\ 0& 0\end{bmatrix}\right\}\text{,}\) así\(A\) tiene orden\(2\).
7. En\(GL(2,\mathbb{Z}_2)\text{,}\)\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) tiene orden\(2\). (¿Por qué?)
8. En\(GL(2,\mathbb{R})\text{,}\)\(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \phantom{-}0 \end{bmatrix} \) tiene orden\(4\). (¿Por qué?)
9. En\(GL(2,\mathbb{R})\text{,}\)\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) tiene orden infinito. (¿Por qué?)
10. En\(GL(4,\mathbb{Z}_2)\text{,}\)\(A=\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 &1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \) tiene orden\(2\). (¿Por qué?)

Teorema\(\PageIndex{8}\)

Cada grupo cíclico\(G\) es de la forma\(\langle a\rangle\) para algunos\(a\in G\text{.}\)

Prueba

Dejar\(G\) ser cíclico. Supongamos\(|G|=∞\). Después hay un isomorfismo\(ϕ:\mathbb{Z}→G\). Tenga en cuenta que\(\mathbb{Z}= \langle 1 \rangle\). Entonces

\(\begin{array} &G &=ϕ(\mathbb{Z})\\ &={ϕ(a):a∈ \mathbb{Z}} \\&={ϕ(a(1)):a∈ \mathbb{Z}} \\&={aϕ(1):a∈ \mathbb{Z}} \\&= \langle ϕ(1) \rangle. \end{array}\)

Un argumento similar muestra que existe\(a∈G\) such that \(G=\langle a \rangle\)⟩ when \(|G|<∞\).

Definición: Generador de G

Seamos\(G\) un grupo. Un elemento\(a\in G\) es un generador de\(G\) (equivalentemente,\(a\) genera\(G\)) si\(\langle a\rangle =G\text{.}\)

Observación

1. Tenga en cuenta que si\(G\) tiene un generador, entonces es necesariamente un grupo cíclico.
2. Tenga en cuenta que un elemento\(a\) de un grupo\(G\) genera\(G\) si y solo si cada elemento de\(G\) es de la forma\(a^n\) para algunos\(n\in \mathbb{Z} \text{.}\)
3. Los generadores de grupos no necesitan ser únicos. Por ejemplo, vimos en Ejemplo\(5.1.2\) que cada uno de los elementos\(1,3,5\) y\(7\) de\(\mathbb{Z}_8\) es un generador para\(\mathbb{Z}_8\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

1. \(\mathbb{Z}\)cuenta con generador\(1\) y generador\(-1\text{.}\)
2. Given\(n\in \mathbb{Z}\text{,}\)\(nZ\) tiene generador\(n\) y generador\(-n\text{.}\)
3. Dados\(n\geq 2\) en\(\mathbb{Z}\text{,}\) los generadores de\(\mathbb{Z}_n\) son exactamente los elementos\(a\in \mathbb{Z}_n\) tales que\(\gcd(n,a)=1\text{.}\) (Esto se desprende del Teorema\(5.1.6\).)

Observación

Orden de elementos proporciona otro grupo invariante.

Teorema\(\PageIndex{9}\)

Dejemos\(\phi:G\to G'\) ser un grupo isomorfismo y dejar\(a\in G\text{.}\) Entonces\(o(\phi(a))=o(a)\text{.}\)

Prueba

Esto se desprende del hecho de que\(\phi(\langle a \rangle)= \langle \phi(a) \rangle\).

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Si los grupos\(G\) y\(G'\) son isomórficos entonces para cualquiera\(n\in \mathbb{Z}^+\text{,}\) el número de elementos\(G\) de orden\(n\) es el mismo que el número de elementos\(G'\) de orden\(n\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Ya que\(1\) en\(\mathbb{Z}_4\) tiene orden\(4\) pero cada elemento en\(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\) tiene orden menor o igual a\(2\), estos grupos no pueden ser isomórficos.

Nota

Tenga en cuenta, sin embargo, que solo porque los órdenes de elementos de dos grupos “coinciden” los grupos no necesitan ser isomórficos. Por ejemplo, cada elemento de\(\mathbb{Z}\) tiene orden infinito, a excepción de su elemento de identidad, que tiene orden\(1\); lo mismo es cierto para el grupo\(\mathbb{Q}\text{.}\) Sin embargo, previamente hemos demostrado que estos grupos no son isomórficos.