5.2: Las redes de subgrupos de grupos cíclicos

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Ahora exploramos los subgrupos de grupos cíclicos. Una prueba completa del siguiente teorema se proporciona en la p. 61 de [1].

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Croquis de prueba: Dejar\(G=\langle a\rangle\) y\(H\leq G\text{.}\) Si\(H=\{e\}\text{,}\) entonces claramente\(H\) es cíclico. De lo contrario, existe un elemento\(a^i\) en\(H\) con\(i>0\text{;}\) let\(d\) ser el entero menos positivo tal que\(a^d\in H\text{.}\) resulta que\(H=\langle a^d\rangle\text{.}\)

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Cada subgrupo de\(\mathbb{Z}\) es de la forma\(n\mathbb{Z}\) para\(n\in \mathbb{Z}\text{.}\) (Tenga en cuenta que\(n\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}\) a menos que\(n=0\text{.}\))

En realidad, basta con estudiar los subgrupos de\(\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Z}_n\) entender la red de subgrupos de cada grupo cíclico.

Proporcionamos los siguientes teoremas sin pruebas.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Los subgrupos no triviales de\(\mathbb{Z}_n\) son exactamente los de la forma\(\langle d\rangle\text{,}\) donde\(d\) es un divisor positivo de\(n\text{.}\) Tenga en cuenta que

\ begin {ecuación*} |\ langle d\ rangle |=n/d\ end {ecuación*}

para cada uno de tales\(d\text{.}\)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Para cada\(0\neq a\in \mathbb{Z}_n\text{,}\)

\ begin {ecuación*}\ langle a\ rangle =\ izquierda\ langle\ dfrac {n} {\ gcd (n, a)}\ derecha\ rangle. \ end {ecuación*}

De ello se deduce que para cada\(0\neq a \in \mathbb{Z}_n,\)

\ begin {ecuación*} |\ langle a\ rangle |=\ dfrac {n} {\ gcd (n, a)}. \ end {ecuación*}

De hecho:

Teorema\(\PageIndex{4}\)

\(\mathbb{Z}_n\)tiene un subgrupo único de orden\(k\text{,}\) para cada divisor positivo\(k\) de\(n\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Cuántos subgrupos\(\mathbb{Z}_{18}\) tiene? ¿Cuáles son los generadores de\(\mathbb{Z}_{15}\text{?}\)

Bueno, los divisores positivos de\(18\) son\(1,2,3,6,9,\) y\(18\text{,}\) así\(\mathbb{Z}_{18}\) tiene exactamente seis subgrupos (es decir,\(\langle 1\rangle\text{,}\)\(\langle 2\rangle\text{,}\) etc.). Los generadores de\(\mathbb{Z}_{15}\) son los elementos de\(\mathbb{Z}_{15}\) que son relativamente primos a\(15\text{,}\) saber\(1,2,4,7,8,11,13,\) y\(14\text{.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dibujar una celosía de subgrupo para\(\mathbb{Z}_{12}\text{.}\)

Los divisores positivos de\(12\) son\(1,2,3,4,6,\) y\(12\text{;}\) así\(\mathbb{Z}_{12}\)'s subgrupos son de la forma\(\langle 1\rangle\text{,}\)\(\langle 2\rangle\text{,}\) etc Así\(\mathbb{Z}_{12}\) tiene la siguiente retícula de subgrupos.