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# 4.1: Homomorfismos

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Cuando pensamos en los enteros, es útil no sólo pensar en números individuales, sino en las relaciones entre números; la gente hace esto automáticamente, comparando dos números para ver cuál es más grande. Y si ninguno de los dos números es mayor, vemos que los dos números son iguales. De hecho, esta es una forma muy importante de abordar las matemáticas: Consideramos no sólo los objetos sino también cómo los objetos se relacionan entre sí. Hasta el momento, hemos pensado extensamente sobre el grupo como objetos. Pero, ¿existen relaciones interesantes entre grupos? Si es así, ¿podemos llegar a una noción de cuándo dos grupos son iguales?

Podemos relacionar grupos usando funciones especiales entre diferentes grupos llamados homomorfismos. También hay una manera de pensar en las relaciones entre los números como funciones: si tienes$$k$$ vacas y$$p$$ pollos, podemos intentar hacer una función uno a uno de vacas a pollos. Si es imposible, sabemos que el número de vacas es mayor. Si sobran pollos (es decir, la función no es on) entonces el número de pollos es mayor. Pero si la función es uno a uno y on, entonces los dos números$$p$$ y$$k$$ son iguales.

## Funciones de simetría y preservación de longitud

Piensa por un momento en las simetrías del triángulo equilátero. Estos fueron dados por funciones desde el triángulo de vuelta a sí mismo. Pero no cualquier función: las simetrías no distorsionan el triángulo de ninguna manera: Por ejemplo, El centro del triángulo nunca se mueve más cerca de uno de los vértices. En particular, las simetrías son funciones conservadoras de longitud, se conocen como isometrías. Podemos ser bastante precisos acerca de lo que es una función conservadora de longitud.

Definición 4.0.0: Funciones de preservación de longitud

Dejar$$d(x,y)$$ denotar la distancia entre dos puntos$$x$$ y$$y$$. Entonces una función$$f$$ es conservadora de longitud si$$d(x,y)=d(f(x),f(y))$$ por cada par de puntos$$x, y$$. Es decir, las distancias antes de aplicar la función son las mismas que las distancias después de aplicar la operación.

¡Deberíamos mirar muchos ejemplos para construir algo de intuición! Toma los enteros con la operación de suma. Definir$$phi$$:

##### Encuentra una función en el intervalo$$[0,1]$$ that changes the endpoints but is not a symmetry. In other words, find some $$f: [0,1]\rightarrow [0,1]$$ such that $$f(0)=1$$, $$f(1)=0$$, but $$f$$ is not length-preserving.

Entonces las simetrías son un tipo especial de función que preserva las distancias. Cuando tratamos de relacionar grupos entre sí, utilizamos tipos especiales de funciones entre los grupos.

## Homomorfismos

Un grupo es un conjunto con una operación que obedece ciertas reglas. Entonces consideraremos funciones que preserven la operación. Es decir, funciones para las que no importa si realizamos nuestra operación grupal antes o después de aplicar la función. Más precisamente:

Definición 4.0.2: Homomorfismo

Dejar$$G$$ y$$H$$ ser grupos, y$$\phi:G \rightarrow H$$. Entonces$$\phi$$ es un homomorfismo si$$\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)$$. Si un homomorfismo también es una biyección, entonces se le llama isomorfismo.

¡Deberíamos mirar muchos ejemplos para construir algo de intuición! Toma los enteros con la operación de suma. Definir$$\phi:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$$ por$$\phi(n)=2n$$. Tenga en cuenta que la definición de homomorfismo funciona independientemente del símbolo que estemos usando para la operación de grupo, y para$$\mathbb{Z}$$ nosotros usamos suma. Entonces para demostrar que$$\phi$$ es un homomorfismo, necesitamos verificarlo$$\phi(n+m)=\phi(n)+\phi(m)$$; la operación antes de aplicar$$\phi$$ es la misma que la operación después de aplicar$$\phi$$. ¡Así que comprobamos! $$\phi(n+m)=2(n+m)$$, mientras$$\phi(n)+\phi(m)=2m+2n$$. Ya que$$2(n+m)=2n+2m$$, vemos que$$\phi$$ es un homomorfismo.

¡También podemos tener homomorfismos entre grupos donde las operaciones se escriben de manera diferente! Por ejemplo, existe un homomorfismo entre los enteros módulo$$n$$ ($$mathbb{Z}_n$$) y las raíces$$n$$ th de la unidad. Recuerda que$$mathbb{Z}_n$$ se escribe con una operación de adición, mientras que las raíces$$n$$ th de la unidad se escriben con multiplicación. Definimos$$\rho$$ por$$\rho(k)=e^{\frac{ik}{2\pi}}$$. ¡Entonces comprobamos que$$\rho$$ es un homomorfismo! Dado que las operaciones están escritas de manera diferente (suma y multiplicación), necesitamos verificar si$$\rho(k+j)=\rho(k)\rho(j)$$. Esto no es tan malo:$$\rho(k+j)=e^{\frac{i(k+j)}{2\pi}}$$. Por otro lado,$$\rho(k)\rho(j)=e^{\frac{i(k)}{2\pi}}e^{\frac{i(j)}{2\pi}}=e^{\frac{i(k+j)}{2\pi}}$$. Entonces esto es un homomorfismo; de hecho, es un isomorfismo, ya que las$$n$$ -ésimas raíces de la unidad y$$\mathbb{Z}_n$$ tienen el mismo número de elementos.

Los isomorfismos son homomorfismos muy especiales. Si dos grupos son isomórficos, es imposible diferenciarlos usando solo las herramientas de la teoría de grupos. Es cierto que los dos grupos pueden verse muy diferentes, pero son estructuralmente idénticos. Cuando vimos el módulo de enteros$$n$$, vimos cuatro realizaciones diferentes del grupo 'el mismo'; todas eran isomórficas.

##### Let$$H$$ be a subgroup of $$G$$. Define the inclusion $$\iota: H\rightarrow G$$ by $$\iota(x)=x$$ for each $$x\in H$$. Show that $$\iota$$ is a homomorphism.

Hay muchas cosas que podemos decir de los homomorfismos con solo un poco de trabajo. Vamos a probar dos declaraciones básicas de inmediato.

Proposición 4.0.5

Que$$\phi: G\rightarrow H$$ sea un homomorfismo. Entonces:

1. $$\phi(1)=1$$.
2. Para cualquier$$x\in G$$,$$\phi(x^{-1})=\phi(x)^{-1}$$.

Prueba 4.0.6
1. Elige cualquier elemento$$x\in G$$. Entonces$$rho(x)=\rho(1x)=\rho(1)\rho(x)$$. Entonces$$rho(x)=\rho(1)\rho(x)$$. Cancelando el$$rho(x)$$ en ambos lados nos deja con$$1=\rho(1)$$.
2. Tenemos$$\phi(1)=1$$, entonces$$1=\phi(xx^{-1})=\phi(x)\phi(x^{-1})$$, dándonos$$1=\phi(x)\phi(x^{-1})$$. Entonces podemos multiplicar ambos lados de la izquierda por$$\phi(x)^{-1}$$ para obtener el resultado.

##### Ejercicio 4.0.7
1. Demostrar que para cualquier homomorfismo$$\phi$$, tenemos$$\phi(x^n)=\phi(x)^n$$.
2. Mostrar que si dos grupos cíclicos finitos tienen el mismo orden, entonces son isomórficos.

Esto nos dice que los homomorfismos grupales, además de preservar la operación grupal, también preservan inversos y exponentes. ¡Así, los homorfismos grupales también preservan inversos y exponentes!