4.3: Imagen y Kernel

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Definición 4.2.0

La imagen de un homomorfismo\(\rho:G\rightarrow H\) es el conjunto\(\{\rho(g) \mid g\in G\}\subset H\), escrito\(\rho(G)\). El núcleo de\(\rho\) es el conjunto\(\{g \mid g\in G, \rho(g)=1 \}\), escrito\(\rho^{-1}(1)\), donde\(1\) está la identidad de\(H\).

Vamos a probar un ejemplo. Recordemos el homomorfismo\(\phi:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\), definido por\(\phi(n)=2n\) para cualquiera\(n\in \mathbb{Z}\). La imagen de\(\phi\) es el conjunto de todos los enteros pares. Observe que el conjunto de todos los enteros pares es un subgrupo de\(\mathbb{Z}\). El núcleo de\(\phi\) es justo\(0\).

Aquí hay otro ejemplo. Considera el mapa\(\phi: \mathbb{Z}_3\rightarrow \mathbb{Z}_6\) dado por\(\phi(n)=2n\). Entonces\(\phi(0)=0\),\(\phi(1)=2\), y\(\phi(2)=4\). Esto es en realidad un homomorfismo (de grupos aditivos):\(\phi(a+b) = 2(a+b) = 2a+2b =\phi(a)+\phi(b)\). La imagen es el conjunto\(\{0, 2, 4\}\), y, nuevamente, el kernel es justo\(0\).

Y otro ejemplo. Hay un homomorfismo\(\rho: \mathbb{Z}_6\rightarrow \mathbb{Z}_3\) dado por\(\rho(a)=a%3\) (dividir por 3 y conservar el resto). Entonces\(\rho(0)=0\),\(\rho(1)=1\),\(\rho(2)=2\),\(\rho(3)=0\),\(\rho(4)=1\) y finalmente\(\rho(5)=2\). Se puede comprobar que esto es en realidad un homomorfismo, cuya imagen es toda\(\mathbb{Z}_3\) y cuyo núcleo es\(\{0, 3\}\).

Entonces la imagen es el conjunto de todo en el\(H\) que tiene algo en el\(G\) que se le asigna. El kernel es el conjunto de elementos de los\(G\) cuales se mapean a la identidad de\(H\). El kernel es un subconjunto de\(G\), mientras que el kernel es un subconjunto de\(H\). De hecho, ¡ambos son subgrupos!

Proposición 4.2.1
La imagen\(\rho(G)\) es un subgrupo de\(H\). El kernel\(\rho^{-1}(1)\) es un subgrupo de\(G\).

Para ver que el kernel es un subgrupo, necesitamos mostrar que para cualquiera\(g\) y\(h\) en el kernel, también\(gh\) está en el kernel; en otras palabras, necesitamos mostrar eso\(\rho(gh)=1\). Pero eso se desprende de la definición de un homomorfismo:\(\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)=1\cdot 1=1\). Dejamos al lector encontrar la prueba de que la imagen es un subgrupo de\(H\).

Demostrar que para cualquier homomorfismo\(\rho: G\rightarrow H\), \(\rho(G)\) is a subgroup of \(H\).

Podemos usar el kernel y la imagen para discernir propiedades importantes de\(\rho\) como una función.

Proposición 4.2.3
Que\(\rho:G\rightarrow H\) sea un homomorfismo. Entonces\(\rho\) es inyectivo (uno-a-uno) si y solo si el kernel\(\rho^{-1}(1)=\{1\}\).

Prueba 4.2.4
Si asumimos que\(\rho\) es inyectivo, entonces sabemos (por el ejercicio en el último apartado) que\(\rho^{-1}(1)=\{1\}\). Para la dirección inversa, supongamos\(\rho^{-1}(1)=\{1\}\), y asumamos (por contradicción) que no\(\rho\) es inyectivo. Entonces existen\(x\neq y\) con\(\rho(x)=\rho(y)\). Pero entonces\(\rho(x)\rho(y)^{-1}=\rho(xy^{-1})=1\). Ya que\(x\neq y\)\(xy^{-1}\neq 1\),, dando una contradicción.

Prueba 4.2.4

Si asumimos que\(\rho\) es inyectivo, entonces sabemos (por el ejercicio en el último apartado) que\(\rho^{-1}(1)=\{1\}\). Para la dirección inversa, supongamos\(\rho^{-1}(1)=\{1\}\), y asumamos (por contradicción) que no\(\rho\) es inyectivo. Entonces existen\(x\neq y\) con\(\rho(x)=\rho(y)\). Pero entonces\(\rho(x)\rho(y)^{-1}=\rho(xy^{-1})=1\). Ya que\(x\neq y\)\(xy^{-1}\neq 1\),, dando una contradicción.

El kernel es en realidad un tipo de subgrupo muy especial.

Proposición 4.2.5
Que\(\rho: G\rightarrow H\) sea un homomorfismo, y que\(K\) sea el núcleo de\(\rho\). Entonces para cualquier\(k\in K\) y\(x\in G\), tenemos\(xkx^{-1}\in K\).

Prueba 4.2.6
La prueba es un simple cómputo:\(\rho(xkx^{-1}) = \rho(x)\rho(k)\rho(x^{-1}) = \rho(x)1\rho(x^{-1}) = 1\). Por lo tanto,\(xkx^{-1}\) está en el núcleo de\(\rho\).

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