Saltar al contenido principal

# 4.3: Imagen y Kernel

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

##### Definición 4.2.0

La imagen de un homomorfismo$$\rho:G\rightarrow H$$ es el conjunto$$\{\rho(g) \mid g\in G\}\subset H$$, escrito$$\rho(G)$$. El núcleo de$$\rho$$ es el conjunto$$\{g \mid g\in G, \rho(g)=1 \}$$, escrito$$\rho^{-1}(1)$$, donde$$1$$ está la identidad de$$H$$.

Vamos a probar un ejemplo. Recordemos el homomorfismo$$\phi:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$$, definido por$$\phi(n)=2n$$ para cualquiera$$n\in \mathbb{Z}$$. La imagen de$$\phi$$ es el conjunto de todos los enteros pares. Observe que el conjunto de todos los enteros pares es un subgrupo de$$\mathbb{Z}$$. El núcleo de$$\phi$$ es justo$$0$$.

Aquí hay otro ejemplo. Considera el mapa$$\phi: \mathbb{Z}_3\rightarrow \mathbb{Z}_6$$ dado por$$\phi(n)=2n$$. Entonces$$\phi(0)=0$$,$$\phi(1)=2$$, y$$\phi(2)=4$$. Esto es en realidad un homomorfismo (de grupos aditivos):$$\phi(a+b) = 2(a+b) = 2a+2b =\phi(a)+\phi(b)$$. La imagen es el conjunto$$\{0, 2, 4\}$$, y, nuevamente, el kernel es justo$$0$$.

Y otro ejemplo. Hay un homomorfismo$$\rho: \mathbb{Z}_6\rightarrow \mathbb{Z}_3$$ dado por$$\rho(a)=a%3$$ (dividir por 3 y conservar el resto). Entonces$$\rho(0)=0$$,$$\rho(1)=1$$,$$\rho(2)=2$$,$$\rho(3)=0$$,$$\rho(4)=1$$ y finalmente$$\rho(5)=2$$. Se puede comprobar que esto es en realidad un homomorfismo, cuya imagen es toda$$\mathbb{Z}_3$$ y cuyo núcleo es$$\{0, 3\}$$.

Entonces la imagen es el conjunto de todo en el$$H$$ que tiene algo en el$$G$$ que se le asigna. El kernel es el conjunto de elementos de los$$G$$ cuales se mapean a la identidad de$$H$$. El kernel es un subconjunto de$$G$$, mientras que el kernel es un subconjunto de$$H$$. De hecho, ¡ambos son subgrupos!

Proposición 4.2.1

La imagen$$\rho(G)$$ es un subgrupo de$$H$$. El kernel$$\rho^{-1}(1)$$ es un subgrupo de$$G$$.

Para ver que el kernel es un subgrupo, necesitamos mostrar que para cualquiera$$g$$ y$$h$$ en el kernel, también$$gh$$ está en el kernel; en otras palabras, necesitamos mostrar eso$$\rho(gh)=1$$. Pero eso se desprende de la definición de un homomorfismo:$$\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)=1\cdot 1=1$$. Dejamos al lector encontrar la prueba de que la imagen es un subgrupo de$$H$$.

##### Demostrar que para cualquier homomorfismo$$\rho: G\rightarrow H$$, $$\rho(G)$$ is a subgroup of $$H$$.

Podemos usar el kernel y la imagen para discernir propiedades importantes de$$\rho$$ como una función.

Proposición 4.2.3

Que$$\rho:G\rightarrow H$$ sea un homomorfismo. Entonces$$\rho$$ es inyectivo (uno-a-uno) si y solo si el kernel$$\rho^{-1}(1)=\{1\}$$.

Prueba 4.2.4

Si asumimos que$$\rho$$ es inyectivo, entonces sabemos (por el ejercicio en el último apartado) que$$\rho^{-1}(1)=\{1\}$$. Para la dirección inversa, supongamos$$\rho^{-1}(1)=\{1\}$$, y asumamos (por contradicción) que no$$\rho$$ es inyectivo. Entonces existen$$x\neq y$$ con$$\rho(x)=\rho(y)$$. Pero entonces$$\rho(x)\rho(y)^{-1}=\rho(xy^{-1})=1$$. Ya que$$x\neq y$$$$xy^{-1}\neq 1$$,, dando una contradicción.

El kernel es en realidad un tipo de subgrupo muy especial.

Proposición 4.2.5

Que$$\rho: G\rightarrow H$$ sea un homomorfismo, y que$$K$$ sea el núcleo de$$\rho$$. Entonces para cualquier$$k\in K$$ y$$x\in G$$, tenemos$$xkx^{-1}\in K$$.

Prueba 4.2.6

La prueba es un simple cómputo:$$\rho(xkx^{-1}) = \rho(x)\rho(k)\rho(x^{-1}) = \rho(x)1\rho(x^{-1}) = 1$$. Por lo tanto,$$xkx^{-1}$$ está en el núcleo de$$\rho$$.