7.2: Los teoremas del isomorfismo

El siguiente teorema es posiblemente el logro coronador del curso.

Teorema\(\PageIndex{1}\): The First Isomorphism Theorem

Dejar\(G_1\) y\(G_2\) ser grupos y supongamos que\(\phi:G_1\to G_2\) es un homomorfismo. Entonces\[G_1/\ker(\phi)\cong \phi(G_1).\] Si\(\phi\) está en, entonces\[G_1/\ker(\phi)\cong G_2.\]

Problema\(\PageIndex{1}\)

\(\phi:Q_8\to V_4\)Sea el homomorfismo descrito en Problema 7.1.6. Utilizar el Teorema del Primer Isomorfismo para demostrarlo\(Q_8/\langle-1\rangle\cong V_4\).

Problema\(\PageIndex{2}\)

Para\(n\geq 2\), definir\(\phi:S_n\to \mathbb{Z}_2\) vía\[\phi(\sigma)=\begin{cases} 0, & \sigma \text{ even}\\ 1, & \sigma \text{ odd}. \end{cases}\] Utilizar el Teorema del Primer Isomorfismo para demostrarlo\(S_n/A_n\cong \mathbb{Z}_2\).

Problema\(\PageIndex{3}\)

Utilizar el Teorema del Primer Isomorfismo para demostrarlo\(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_6\). Intente dibujar una imagen de esto usando diagramas de Cayley.

Problema\(\PageIndex{4}\)

Utilizar el Teorema del Primer Isomorfismo para demostrarlo\((\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2)/(\{0\}\times \mathbb{Z}_2)\cong \mathbb{Z}_4\).

El siguiente teorema es una generalización del Teorema [THM:OrderImage] y se desprende del Teorema del Primer Isomorfismo junto con el Teorema de Lagrange.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(G_1\) y\(G_2\) ser grupos y supongamos que\(\phi:G_1\to G_2\) es un homomorfismo. Si\(G_1\) es finito, entonces\(|\phi(G_1)|\) divide\(|G_1|\).

Terminamos el capítulo enumerando algunos de los teoremas de isomorfismo restantes.

Teorema\(\PageIndex{3}\): The Second Isomorphism Theorem

Seamos\(G\) un grupo con\(H\leq G\) y\(N\trianglelefteq G\). Entonces

1. \(HN:=\{hn\mid h\in H, n\in N\}\leq G\);
2. \(N\trianglelefteq HN\);
3. \(H\cap N\trianglelefteq H\);
4. \(\displaystyle H/(H\cap N)\cong HN/N\).

Teorema\(\PageIndex{4}\): The Third Isomorphism Theorem

Seamos\(G\) un grupo con\(H,K\trianglelefteq G\) y\(K\leq H\). Entonces\(H/K\trianglelefteq G/K\) y\[G/H\cong (G/K)/(H/K).\]

El último teorema del isomorfismo a veces se llama Teorema de isomorfismo de celosía.

Teorema\(\PageIndex{5}\): The Fourth Isomorphism Theorem

Seamos\(G\) un grupo con\(N\trianglelefteq G\). Luego hay una biyección del conjunto de subgrupos de\(G\) que contienen\(N\) sobre el conjunto de subgrupos de\(G/N\). En particular, cada subgrupo\(G\) es de la forma\(H/N\) para algún subgrupo\(H\) de\(G\) contener\(N\) (es decir, su preimagen en\(G\) debajo de la proyección canónica homomorfismo de \(G\)a\(G/N\).) Esta bijección tiene las siguientes propiedades: para todos\(H,K \leq G\) con\(N\leq H\) y\(N\subseteq K\), tenemos

1. \(H\leq K\)si y solo si\(H/N \leq K/N\)
2. Si\(H\leq K\), entonces\([K:H]=[K/N:H/N]\)
3. \(\langle H,K\rangle/N=\langle H/N,K/N\rangle\)
4. \((H\cap K)/N=H/N \cap K/N\)
5. \(H\trianglelefteq G\)si y sólo si\(H/N\trianglelefteq G/N\).