7.2: Los teoremas del isomorfismo
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Dejar\(G_1\) y\(G_2\) ser grupos y supongamos que\(\phi:G_1\to G_2\) es un homomorfismo. Entonces\[G_1/\ker(\phi)\cong \phi(G_1).\] Si\(\phi\) está en, entonces\[G_1/\ker(\phi)\cong G_2.\]
\(\phi:Q_8\to V_4\)Sea el homomorfismo descrito en Problema 7.1.6. Utilizar el Teorema del Primer Isomorfismo para demostrarlo\(Q_8/\langle-1\rangle\cong V_4\).
Para\(n\geq 2\), definir\(\phi:S_n\to \mathbb{Z}_2\) vía\[\phi(\sigma)=\begin{cases} 0, & \sigma \text{ even}\\ 1, & \sigma \text{ odd}. \end{cases}\] Utilizar el Teorema del Primer Isomorfismo para demostrarlo\(S_n/A_n\cong \mathbb{Z}_2\).
Utilizar el Teorema del Primer Isomorfismo para demostrarlo\(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_6\). Intente dibujar una imagen de esto usando diagramas de Cayley.
Utilizar el Teorema del Primer Isomorfismo para demostrarlo\((\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2)/(\{0\}\times \mathbb{Z}_2)\cong \mathbb{Z}_4\).
El siguiente teorema es una generalización del Teorema [THM:OrderImage] y se desprende del Teorema del Primer Isomorfismo junto con el Teorema de Lagrange.
Dejar\(G_1\) y\(G_2\) ser grupos y supongamos que\(\phi:G_1\to G_2\) es un homomorfismo. Si\(G_1\) es finito, entonces\(|\phi(G_1)|\) divide\(|G_1|\).
Terminamos el capítulo enumerando algunos de los teoremas de isomorfismo restantes.
Seamos\(G\) un grupo con\(H\leq G\) y\(N\trianglelefteq G\). Entonces
- \(HN:=\{hn\mid h\in H, n\in N\}\leq G\);
- \(N\trianglelefteq HN\);
- \(H\cap N\trianglelefteq H\);
- \(\displaystyle H/(H\cap N)\cong HN/N\).
Seamos\(G\) un grupo con\(H,K\trianglelefteq G\) y\(K\leq H\). Entonces\(H/K\trianglelefteq G/K\) y\[G/H\cong (G/K)/(H/K).\]
El último teorema del isomorfismo a veces se llama Teorema de isomorfismo de celosía.
Seamos\(G\) un grupo con\(N\trianglelefteq G\). Luego hay una biyección del conjunto de subgrupos de\(G\) que contienen\(N\) sobre el conjunto de subgrupos de\(G/N\). En particular, cada subgrupo\(G\) es de la forma\(H/N\) para algún subgrupo\(H\) de\(G\) contener\(N\) (es decir, su preimagen en\(G\) debajo de la proyección canónica homomorfismo de \(G\)a\(G/N\).) Esta bijección tiene las siguientes propiedades: para todos\(H,K \leq G\) con\(N\leq H\) y\(N\subseteq K\), tenemos
- \(H\leq K\)si y solo si\(H/N \leq K/N\)
- Si\(H\leq K\), entonces\([K:H]=[K/N:H/N]\)
- \(\langle H,K\rangle/N=\langle H/N,K/N\rangle\)
- \((H\cap K)/N=H/N \cap K/N\)
- \(H\trianglelefteq G\)si y sólo si\(H/N\trianglelefteq G/N\).