8.1: Definiciones y Ejemplos
- Page ID
- 117749
Recordemos que un grupo es un conjunto junto con una sola operación binaria, que en conjunto satisfacen algunas propiedades modestas. Hablando vagamente, un anillo es un conjunto junto con dos operaciones binarias (llamadas suma y multiplicación) que se relacionan a través de una propiedad distributiva.
Un anillo\(R\) es un conjunto junto con dos operaciones binarias\(+\) y\(\cdot\) (llamadas suma y multiplicación, respectivamente) que satisface lo siguiente:
- \((R,+)\)es un grupo abeliano.
- \(\cdot\)es asociativo:\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\) para todos\(a,b,c\in R\).
- La propiedad distributiva posee:\(a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\) y\((a+b)\cdot c = (a\cdot c)+(b\cdot c)\) para todos\(a,b,c\in R\).
Hacemos un par de comentarios sobre la notación.
- A menudo escribimos\(ab\) en lugar de\(a\cdot b\).
- Se denota la inversa\(a\in R\) aditiva del elemento anular\(-a\).
Si\(R\) es un anillo, entonces para todos\(a,b\in R\):
- \(0a=a0=0\)
- \((-a)b=a(-b)=-(ab)\)
- \((-a)(-b)=ab\)
Un anillo\(R\) se llama conmutativo si la multiplicación es conmutativa.
\(R\)Se dice que un anillo tiene una identidad (o se llama anillo con 1) si hay un elemento\(1\in R\) tal que\(1a=a 1=a\) para todos\(a\in R\).
Justificar que\(\mathbb{Z}\) es un anillo conmutativo con 1 bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación. ¿En qué elementos tienen inversas multiplicativas\(\mathbb{Z}\)?
Justifica que\(\mathbb{Z}_n\) es un anillo conmutativo con 1 bajo adición y multiplicación mod\(n\).
[Prob:Z10ring] Considera el conjunto\(\mathbb{Z}_{10}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). ¿En qué elementos tienen inversas multiplicativas\(\mathbb{Z}_{10}\)?
Para cada una de las siguientes, encuentra un entero positivo\(n\) tal que el anillo\(\mathbb{Z}_n\) no tenga la propiedad declarada.
- \(a^2=a\)implica\(a=0\) o\(a=1\).
- \(ab=0\)implica\(a=0\) o\(b=0\).
- \(ab=ac\)e\(a\neq 0\) implicar\(b=c\).
Si\(R\) es un anillo con 1, entonces la identidad multiplicativa es única y\(-a=(-1)a\).
\((R,+)\)Requerir ser un grupo es bastante natural, pero ¿por qué\((R,+)\) exigir ser abeliano? Supongamos que\(R\) tiene un 1. Compute\((1+1)(a+b)\) de dos maneras diferentes.
Un anillo\(R\) con 1 (con\(1\neq 0\)) se llama anillo de división si cada elemento distinto de cero en\(R\) tiene una inversa multiplicativa: si\(a\in R\setminus\{0\}\), entonces existe\(b\in R\) tal que\(ab=ba=1\).
Un anillo de división conmutativa se llama campo.
Un elemento distinto de cero\(a\) en un anillo\(R\) se llama divisor cero si hay un elemento distinto de cero\(b\in R\) tal que cualquiera\(ab=0\) o\(ba=0\).
¿Hay cero divisores adentro\(\mathbb{Z}_{10}\)? Si es así, encuéntralos a todos.
¿Hay cero divisores adentro\(\mathbb{Z}_5\)? Si es así, encuéntralos a todos.
Proporcionar un ejemplo de un anillo\(R\) y elementos\(a,b\in R\) tales que\(ax=b\) tenga más de una solución. ¿Cómo se compara esto con los grupos?
Supongamos\(a,b,c\in R\) tal que no\(a\) es un divisor de cero. Si\(ab=ac\), entonces cualquiera\(a=0\) o\(b=c\).
Supongamos que\(R\) es un anillo con\(1\) con\(1\neq 0\). Un elemento\(u\in R\) se llama unidad en\(R\) si\(u\) tiene una inversa multiplicativa (es decir, existe\(v\in R\) tal que\(uv=vu=1\)). Se denota el conjunto\(R\) de unidades en\(U(R)\).
Considera el anillo\(\mathbb{Z}_{20}\).
- Encuentra\(U(\mathbb{Z}_{20})\).
- Encuentra los divisores cero de\(\mathbb{Z}_{20}\).
- ¿Alguna observación?
Si\(U(R)\neq\emptyset\), entonces\(U(R)\) forma un grupo bajo multiplicación.
Hacemos algunas observaciones.
- Un campo es un anillo conmutativo\(F\) con identidad\(1\neq 0\) en el que cada elemento distinto de cero es una unidad, es decir,\(U(F)=F\setminus\{0\}\).
- Los divisores cero nunca pueden ser unidades.
- Los campos nunca tienen cero divisores.
Un anillo conmutativo con identidad\(1\neq 0\) se denomina dominio integral si no tiene divisores cero.
La Ley de Cancelación (Teorema\(\PageIndex{3}\)) mantiene en dominios integrales para tres elementos cualesquiera.
Cualquier dominio integral finito es un campo.
Aquí hay algunos ejemplos. Detalles dejados como ejercicio.
- Anillo Cero: Si\(R=\{0\}\), podemos\(R\) convertirnos en un anillo de la manera obvia. El anillo cero es un anillo conmutativo finito con 1. Es el único anillo donde las identidades aditiva y multiplicativa son iguales. El anillo cero no es un anillo de división, no un campo, y no un dominio integral.
- Anillo Trivial: Dado cualquier grupo abeliano\(R\), podemos\(R\) convertirnos en un anillo definiendo la multiplicación vía\(ab=0\) para todos\(a,b\in R\). Los anillos triviales son anillos conmutativos en los que cada elemento distinto de cero es un divisor de cero. De ahí que un anillo trivial no sea un anillo de división, no un campo, y no un dominio integral.
- Los enteros forman un dominio integral, pero no\(\mathbb{Z}\) es un anillo de división, y por lo tanto no un campo.
- Los números racionales\(\mathbb{Q}\), los números\(\mathbb{R}\) reales y los números complejos\(\mathbb{C}\) son campos bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación.
- El grupo de unidades\(U(\mathbb{Z}_n)\) es el conjunto de elementos en los\(\mathbb{Z}_n\) que son relativamente primos a\(n\). Es decir,\(U(\mathbb{Z}_n)=U_n\). Todos los demás elementos distintos de cero son divisores cero. Resulta que\(\mathbb{Z}_n\) forma un campo finito si y solo si\(n\) es primo.
- El conjunto de enteros pares\(2\mathbb{Z}\) forma un anillo conmutativo bajo las operaciones habituales de suma y multiplicación. Sin embargo,\(2\mathbb{Z}\) no tiene un 1, y por lo tanto no puede ser un anillo de división ni un campo. Además, si miras de cerca la definición de dominio integral, verás que tampoco\(2\mathbb{Z}\) es un dominio integral ya que\(2\mathbb{Z}\) no contiene una identidad multiplicativa.
- Anillo polinomial: Fijar un anillo conmutativo\(R\). Let\(R[x]\) denotar el conjunto de polinomios en la variable\(x\) con coeficientes en\(R\). Entonces\(R[x]\) es un anillo conmutativo. Además,\(R[x]\) es un anillo con 1 si y solo si\(R\) es un anillo con 1. Las unidades de\(R[x]\) son exactamente las unidades de\(R\) (si las hay). Entonces, nunca\(R[x]\) es un anillo de división ni un campo. Sin embargo, si\(R\) es un dominio integral, entonces también lo es\(R[x]\).
- Matrix Ring: Fijar un anillo\(R\) y dejar\(n\) ser un entero positivo. Dejar\(M_n(R)\) ser el conjunto de\(n\times n\) matrices con entradas de\(R\). Entonces\(M_n(R)\) forma un anillo bajo la adición y multiplicación de la matriz ordinaria. Si\(R\) es no trivial y\(n\geq 2\), entonces\(M_n(R)\) siempre tiene cero divisores y no\(M_n(R)\) es conmutativo aunque\(R\) sea. Si\(R\) tiene un 1, entonces la matriz con 1's abajo la diagonal y 0's en otra parte es la identidad multiplicativa en\(M_n(R)\). En este caso, el grupo de unidades es el conjunto de\(n\times n\) matrices invertibles, denotadas\(GL_n(R)\) y denominadas el grupo lineal general de grados\(n\) superiores\(R\).
- Campo Cuadrático: Definir\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}\). Resulta que\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) es un campo. De hecho, podemos reemplazar 2 con cualquier número racional que no sea un cuadrado perfecto en\(\mathbb{Q}\).
- Hamilton Cuaternions: Definir\(\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk\mid a,b,c,d\in\mathbb{R}, i,j,k\in Q_8\}\) Entonces\(\mathbb{H}\) forma un anillo, donde la adición es definida por componentes en\(i\)\(j\), y\(k\) y la multiplicación se define mediante la expansión de productos y la simplificación usando las relaciones de\(Q_8\). Resulta que\(\mathbb{H}\) es un anillo no conmutativo con 1.
Encuentra un ejemplo de un anillo\(R\) y un elemento\(a\in R\setminus\{0\}\) tal que no\(a\) sea ni un divisor cero ni una unidad.
Un subring de un anillo\(R\) es un subgrupo de\(R\) subadición que también se cierra bajo multiplicación.
El inmueble “es un subring” es claramente transitivo. Para mostrar que un subconjunto\(S\) de un anillo\(R\) es un subring, basta con mostrar que\(S\neq \emptyset\),\(S\) se cierra bajo resta, y\(S\) se cierra bajo multiplicación.
Aquí hay algunos ejemplos rápidos.
- \(\mathbb{Z}\)es un subring de\(\mathbb{Q}\), que es un subring de\(\mathbb{R}\), que a su vez es un subring de\(\mathbb{C}\).
- \(2\mathbb{Z}\)es un subring de\(\mathbb{Z}\).
- El conjunto\(\mathbb{Z}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\) es un subring de\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\).
- El anillo\(R\) es un subring de\(R[x]\) si nos identificamos\(R\) con conjunto de funciones constantes.
- El conjunto de polinomios con término constante cero en\(R[x]\) es un subring de\(R[x]\).
- \(\mathbb{Z}[x]\)es un subring de\(\mathbb{Q}[x]\).
- \(\mathbb{Z}_n\)no es un subring de\(\mathbb{Z}\) ya que las operaciones son diferentes.
Considera el anillo\(\mathbb{Z}_{10}\) de Problem\(\PageIndex{3}\). Vamos\(S=\{0,2,4,6,8\}\).
- Argumentan que\(S\) es un subring de\(\mathbb{Z}_{10}\).
- ¿Es\(S\) un anillo con 1? Si es así, encuentra la identidad multiplicativa. Si no, explica por qué.
- ¿Es\(S\) un campo? Justifica tu respuesta.
Supongamos que\(R\) es un anillo y vamos\(a\in R\). Definir\(S=\{x\in R\mid ax=0\}\). Demostrar que\(S\) es un subring de\(R\).
Considera el anillo\(\mathbb{Z}\). Resulta que\(2\mathbb{Z}\) y\(3\mathbb{Z}\) son subring (pero no necesitas probarlo). Determinar si\(2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}\) es un subring de\(\mathbb{Z}\). Justifica tu respuesta.