8.2: Homomorfismos de Anillo

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 117748

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Definición: Homomorfismo de Anillo

Dejar\(R\) y\(S\) ser anillos. Un homomorfismo en anillo es un mapa\(\phi:R\to S\) satisfactorio

\(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\)
\(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\)

para todos\(a,b\in R\). El kernel de\(\phi\) se define vía\(\ker(\phi)=\{a\in R\mid \phi(a)=0\}\). Si\(\phi\) es una bijección, entonces\(\phi\) se llama isomorfismo, en cuyo caso, decimos eso\(R\) y\(S\) son anillos isomórficos y escribimos\(R\cong S\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Para\(n\in \mathbb{Z}\), definir\(\phi_n:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\) vía\(\phi_n(x)=nx\). Eso lo vemos\(\phi_n(x+y)=n(x+y)=nx+ny=\phi_n(x)+\phi_n(y)\). Sin embargo,\(\phi_n(xy)=n(xy)\) mientras\(\phi_n(x)\phi_n(y)=(nx)(ny)=n^2xy\). De ello se deduce que\(\phi_n\) es un homomorfismo de anillo exactamente cuando\(n\in\{0,1\}\).
Definir\(\phi:\mathbb{Q}[x]\to \mathbb{Q}\) vía\(\phi(p(x))=p(0)\) (llamada evaluación a 0). Resulta que\(\phi\) es un homomorfismo de anillo, donde\(\ker(\phi)\) está el conjunto de polinomios con 0 término constante.

Problema\(\PageIndex{1}\)

Para cada una de las siguientes, determine si la función dada es un homomorfismo de anillo. Justifica tus respuestas.

Definir\(\phi:\mathbb{Z}_4\to \mathbb{Z}_{12}\) vía\(\phi(x)=3x\).
Definir\(\phi:\mathbb{Z}_{10}\to \mathbb{Z}_{10}\) vía\(\phi(x)=5x\).
Vamos\(\displaystyle S=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\ -b & a\end{pmatrix}\mid a, b\in \mathbb{R}\right\}\). Definir\(\phi:\mathbb{C}\to S\) vía\(\displaystyle \phi(a+ib)=\begin{pmatrix}a & b\\ -b & a\end{pmatrix}\).
Vamos\(\displaystyle T=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\ 0 & c\end{pmatrix}\mid a, b\in \mathbb{Z}\right\}\). Definir\(\phi:T\to \mathbb{Z}\) vía\(\displaystyle \phi\left(\begin{pmatrix}a & b\\ 0 & c\end{pmatrix}\right)=a\).

Teorema\(\PageIndex{1}\): Kernel Subring

[thm:kernelsubring] Let\(\phi:R\to S\) be a ring homomorfism.

\(\phi(R)\)es un subring de\(S\).
\(\ker(\phi)\)es un subring de\(R\).

Problema\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(\phi:R\to S\) es un homomorfismo de anillo tal que\(R\) es un anillo con 1, llámela\(1_R\). Demostrar que\(\phi(1_R)\) es la identidad multiplicativa en\(\phi(R)\) (que es un subring de\(S\)). ¿Se te ocurre un ejemplo de un homomorfismo de anillo donde\(S\) tiene una identidad multiplicativa que no es igual a\(\phi(1_R)\)?

El teorema\(\PageIndex{1}\) (b) establece que el núcleo de un homomorfismo anular es un subring. Esto es análogo al núcleo de un grupo homomorfismo siendo un subgrupo. Sin embargo, recordemos que el núcleo de un homomorfismo grupal también es un subgrupo normal. Al igual que la situación con los grupos, podemos decir algo aún más fuerte sobre el núcleo de un homomorfismo de anillo. Esto nos llevará a la noción de ideal.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

\(\phi:R\to S\)Déjese ser un homomorfismo de anillo. Si\(\alpha\in\ker(\phi)\) y\(r\in R\), entonces\(\alpha r, r\alpha\in \ker(\phi)\). Es decir,\(\ker(\phi)\) se cierra bajo multiplicación por elementos de\(R\).