8.4: Ideales máximos y primos

En esta sección de notas, estudiaremos dos clases importantes de ideales, a saber, ideales máximos y primos, y estudiaremos la relación entre ellos. A lo largo de toda esta sección, asumimos que todos los anillos tienen una identidad multiplicativa\(1\neq 0\).

Definición: Maximal Ideal

Supongamos que\(R\) es un anillo conmutativo con 1. Un ideal\(M\) en un anillo\(R\) se llama ideal máximo si\(M\neq R\) y los únicos ideales que contienen\(M\) son\(M\) y\(R\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Aquí hay algunos ejemplos. La comprobación de los detalles se deja como ejercicio.

1. En\(\mathbb{Z}\), todos los ideales son de la forma\(n\mathbb{Z}\) para\(n\in\mathbb{Z}^+\). Los ideales máximos corresponden a los ideales\(p\mathbb{Z}\), donde\(p\) es primo.
2. Considerar el dominio integral\(\mathbb{Z}[x]\). Los ideales\((x)\) (es decir, el subring que contiene polinomios con término constante 0) y\((2)\) (es decir, el conjunto de polinomios con coeficientes pares) no son máximos ya que ambos están contenidos en el ideal propio\((2,x)\). No obstante, como veremos pronto,\((2,x)\) es máximo en\(\mathbb{Z}[x]\).
3. El anillo cero no tiene ideales máximos.
4. Considerar el grupo abeliano\(\mathbb{Q}\) en adición. Podemos\(\mathbb{Q}\) convertirnos en un anillo trivial definiendo\(ab=0\) para todos\(a,b\in\mathbb{Q}\). En este caso, los ideales son exactamente los subgrupos aditivos de\(\mathbb{Q}\). Sin embargo, no\(\mathbb{Q}\) tiene subgrupos máximos, y por lo tanto no\(\mathbb{Q}\) tiene ideales máximos.

El siguiente resultado afirma que los anillos con una identidad\(1\neq 0\) siempre tienen ideales máximos. Resulta que no vamos a necesitar este resultado en el futuro, así que nos saltaremos su prueba. No obstante, vale la pena señalar que todas las pruebas conocidas hacen uso del Lema de Zorn (equivalente al Axioma de Elección), lo que también es cierto para las pruebas de que un grupo finitamente generado tiene subgrupos máximos o que cada espacio vectorial tiene una base.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

En un anillo con\(1\), cada ideal adecuado está contenido en un ideal máximo.

Para los anillos conmutativos, hay una caracterización muy agradable sobre los ideales máximos en términos de la estructura de sus anillos de cociente.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(R\) es un anillo conmutativo con 1. Entonces\(M\) es un ideal máximo si y sólo si el anillo de cociente\(R/M\) es un campo.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Podemos utilizar el teorema anterior para verificar si un ideal es máximo.

1. Recordemos eso\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_n\) y ese\(\mathbb{Z}_n\) es un campo si y solo si\(n\) es primo. Podemos concluir que\(n\mathbb{Z}\) es un ideal máximo precisamente cuando\(n\) es primo.
2. Definir\(\phi:\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}\) vía\(\phi(p(x))=p(0)\). Entonces\(\phi\) es suryectiva y\(\ker(\phi)=(x)\). Por el Primer Teorema del Isomorfismo para Anillos, eso lo vemos\(\mathbb{Z}[x]/(x)\cong \mathbb{Z}\). Sin embargo, no\(\mathbb{Z}\) es un campo. De ahí\((x)\) que no sea máximo en\(\mathbb{Z}[x]\). Ahora, definir\(\psi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_2\) vía\(\psi(x)=x\mod 2\) y considerar el homomorfismo compuesto\(\psi\circ\phi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_2\). Está claro que\(\psi\circ\phi\) está en y el núcleo de\(\psi\circ\phi\) está dado por\(\{p(x)\in\mathbb{Z}[x]\mid p(0)\in 2\mathbb{Z}\}=(2,x)\). Nuevamente por el Primer Teorema del Isomorfismo para Anillos,\(\mathbb{Z}[x]/(2,x)\cong \mathbb{Z}_2\). Ya que\(\mathbb{Z}_2\) es un campo,\((2,x)\) es un ideal máximo.

Definición: Prime Ideal

Supongamos que\(R\) es un anillo conmutativo con 1. Un ideal\(P\) se llama ideal primo si\(P\neq R\) y siempre que el producto\(ab\in P\) para\(a,b\in R\), entonces al menos uno de\(a\) o\(b\) está en\(P\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

En cualquier dominio integral, el ideal 0\((0)\) es un ideal primo. ¿Y si el anillo no es un dominio integral?

Observación\(\PageIndex{1}\)

La noción de ideal primo es una generalización de “prime” in\(\mathbb{Z}\). Supongamos\(n\in\mathbb{Z}^+\setminus\{1\}\) tal que\(n\) divide\(ab\). En este caso,\(n\) se garantiza dividir cualquiera\(a\) o\(b\) exactamente cuando\(n\) es prime. Ahora, dejemos\(n\mathbb{Z}\) ser un ideal adecuado en\(\mathbb{Z}\) con\(n>1\) y supongamos\(ab\in \mathbb{Z}\) para\(a,b\in\mathbb{Z}\). \(n\mathbb{Z}\)Para que sea un ideal primordial, debe ser cierto que\(n\) divide\(a\) o bien\(b\). Sin embargo, esto sólo se garantiza que sea cierto para todos\(a,b\in\mathbb{Z}\) cuando\(p\) es prime. Es decir, los ideales primos distintos de cero de\(\mathbb{Z}\) son de la forma\(p\mathbb{Z}\), donde\(p\) es primo. Tenga en cuenta que en el caso de los enteros, los ideales primos máximos y distintos de cero son los mismos.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(R\) es un anillo conmutativo con 1. Entonces\(P\) es un ideal primo en\(R\) si y solo si el anillo de cociente\(R/P\) es un dominio integral.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(R\) es un anillo conmutativo con 1. Cada ideal máximo de\(R\) es un ideal principal.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Recordemos eso\(\mathbb{Z}[x]/(x)\cong\mathbb{Z}\). Dado que\(\mathbb{Z}\) es un dominio integral, debe darse el caso que\((x)\) sea un ideal primordial en\(\mathbb{Z}[x]\). Sin embargo, como vimos en un ejemplo anterior, no\((x)\) es máximo en\(\mathbb{Z}[x]\) puesto que no\(\mathbb{Z}\) es un campo. Esto demuestra que no es cierto lo contrario del corolario anterior.