8.3: Ideales y anillos de cociente
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Recordemos que en el caso de un homomorfismo\(\phi\) de grupos, los coconjuntos de\(\ker(\phi)\) tienen la estructura de un grupo (que pasa a ser isomórfico a la imagen de\(\phi\) por el Teorema del Primer Isomorfismo). En este caso,\(\ker(\phi)\) es la identidad del grupo cociente asociado. Además, recordemos que cada kernel es un subgrupo normal del dominio y cada subgrupo normal puede realizarse como el núcleo de algún homomorfismo grupal. ¿Podemos hacer lo mismo con los anillos?
Dejar\(\phi:R\to S\) ser un anillo homomorfismo con\(\ker(\phi)=I\). Nótese que también\(\phi\) es un grupo homomorfismo de grupos abelianos y los coconjuntos de\(\ker(\phi)\) son de la forma\(r+I\). Más específicamente, si\(\phi(r)=a\), entonces\(\phi^{-1}(a)=r+I\).
Estos coconjuntos naturalmente tienen la estructura de un anillo isomórfico a la imagen de\(\phi\):\[\begin{aligned} (r+I)+(s+I) & = (r+s)+I\\ (r+I)(s+I) & = (rs)+I\end{aligned}\] La razón de esto es que si\(\phi^{-1}(a)=X\) y\(\phi^{-1}(b)=Y\), entonces la imagen inversa de\(a+b\) y\(ab\) son\(X+Y\) y \(XY\), respectivamente.
El anillo correspondiente de coconjuntos se llama el anillo cociente de\(R\) by\(I=\ker(\phi)\) y se denota por\(R/I\). La estructura aditiva del anillo de cociente\(R/I\) es exactamente el grupo cociente aditivo del grupo aditivo abeliano\(R\) por el subgrupo normal\(I\) (todos los subgrupos son normales en grupos abelianos). Cuando\(I\) es el núcleo de algún homomorfismo de anillo\(\phi\), el grupo de cociente abeliano aditivo\(R/I\) también tiene una estructura multiplicativa definida en (2) anterior,\(R/I\) convirtiéndose en un anillo.
¿Podemos\(R/I\) convertirnos en un anillo por algún subring\(I\)?
La respuesta es “no” en general, igual que en la situación con los grupos. Pero tal vez esto no sea obvio porque si\(I\) es un subring arbitrario de\(R\), entonces\(I\) es necesariamente un subgrupo aditivo del grupo abeliano\(R\), lo que implica que\(I\) es un subgrupo normal aditivo del grupo\(R\). Resulta que la estructura multiplicativa de\(R/I\) puede no estar bien definida si\(I\) es un subring arbitrario.
Dejar\(I\) ser un subgrupo arbitrario del grupo aditivo\(R\). Dejar\(r+I\) y\(s+I\) ser dos cosets arbitrarios. Para que la multiplicación de los coconjuntos esté bien definida, el producto de los dos cosets debe ser independiente de la elección de los representantes. Dejar\(r+\alpha\) y\(s+\beta\) ser arbitrarios representantes de\(r+I\) y\(s+I\), respectivamente (\(\alpha,\beta\in I\)), para que\(r+I=(r+\alpha)+I\) y\(s+I=(s+\beta)+I\). Debemos tener\[\begin{aligned} (r+\alpha)(s+\beta)+I & =rs+I.\end{aligned}\] Esto tiene que ser cierto para todas las opciones posibles de\(r,s\in R\) y\(\alpha, \beta\in I\). En particular, debe ser cierto cuándo\(r=s=0\). En este caso, debemos tener\[\begin{aligned} \alpha\beta+I & =I.\end{aligned}\] Pero esto sólo sucede cuando\(\alpha\beta\in I\). Es decir, un requisito para que la multiplicación de cosets esté bien definida es que se\(I\) debe cerrar bajo multiplicación, haciendo\(I\) un subring.
A continuación, si dejamos\(s=0\) y dejamos\(r\) ser arbitrarios, vemos que debemos tener\(r\beta\in I\) para todos\(r\in R\) y cada uno\(\beta\in I\). Es decir, debe darse el caso que\(I\) se cierre bajo multiplicación a la izquierda por elementos de\(R\). De igual manera\(r=0\), dejando, podemos concluir que debemos haber\(I\) cerrado bajo multiplicación a la derecha por elementos de\(R\).
Por otro lado, si\(I\) se cierra bajo multiplicación a la izquierda y a la derecha por elementos de\(R\), entonces es claro que se satisface la relación (4) anterior.
Es fácil verificar que si la multiplicación de los coconjuntos definidos en (2) anterior está bien definida, entonces esta multiplicación convierte al grupo de cocientes aditivos\(R/I\) en un anillo (solo verifica que los axiomas sean un anillo).
Hemos demostrado que el cociente\(R/I\) del anillo\(R\) por un subgrupo\(I\) tiene una estructura anular natural si y solo si\(I\) se cierra bajo multiplicación a la izquierda y a la derecha por elementos de\(R\) (que también obliga \(I\)ser un subring). Tales subring se llaman ideales.
Dejar\(R\) ser un anillo y dejar\(I\) ser un subconjunto de\(R\).
- \(I\)es un ideal izquierdo (respectivamente, ideal derecho) de\(R\) si\(I\) es un subring y\(rI\subseteq I\) (respectivamente,\(Ir\subseteq I\)) para todos\(r\in R\).
- \(I\)es un ideal (o ideal de dos lados) si\(I\) es tanto un ideal izquierdo como un ideal derecho.
Aquí tienes un resumen de todo lo que acaba de pasar.
Deja\(R\) ser un anillo y deja\(I\) ser un ideal de\(R\). Entonces el grupo cociente aditivo\(R/I\) es un anillo bajo las operaciones binarias:\[\begin{aligned} (r+I)+(s+I) & = (r+s)+I\\ (r+I)(s+I) & = (rs)+I\end{aligned}\] para todos\(r,s\in R\). Por el contrario, si\(I\) hay algún subgrupo tal que las operaciones anteriores estén bien definidas, entonces\(I\) es un ideal de\(R\).
Si es\(R\) un anillo conmutativo y\(I\) es un ideal de\(R\), entonces\(R/I\) es un anillo conmutativo.
Supongamos\(I\) y\(J\) son ideales del anillo\(R\). Entonces\(I\cap J\) es un ideal de\(R\).
Como cabría esperar, tenemos algunos teoremas de isomorfismo.
Si\(\phi:R\to S\) es un homomorfismo de anillo, entonces\(\ker(\phi)\) es un ideal de\(R\) y\(R/\ker(\phi)\cong \phi(R)\).
También tenemos los esperados Teoremas de Isomorfismo Segundo, Tercero y Cuarto para anillos. El siguiente teorema nos dice que un subring es un ideal si y sólo si es un núcleo de un homomorfismo de anillo.
Si\(I\) hay algún ideal de\(R\), entonces la proyección natural\(\pi:R\to R/I\) definida vía\(\pi(r)=r+I\) es un anillo suryectiva homomorfismo con\(\ker(\pi)=I\).
Para lo que resta de esta sección, supongamos que\(R\) es un anillo con identidad\(1\neq 0\).
Dejar\(A\) ser cualquier subconjunto de\(R\). Dejar\((A)\) denotar el ideal más pequeño de\(R\) contener\(A\), llamado el ideal generado por \(A\). Si\(A\) consiste en un solo elemento, digamos\(A=\{a\}\), entonces\((a):=(\{a\})\) se llama ideal principal.
Los siguientes hechos son fácilmente verificados.
- \((A)\)es la intersección de todos los ideales que contienen\(A\).
- Si\(R\) es conmutativo, entonces\((a)=aR:=\{ar\mid r\in R\}\).
En\(\mathbb{Z}\),\(n\mathbb{Z}=(n)=(-n)\). De hecho, estos son los únicos ideales en\(\mathbb{Z}\) (ya que estos son los únicos subgrupos). Entonces, todos los ideales en\(\mathbb{Z}\) son principales. Si\(m\) y\(n\) son enteros positivos, entonces\(n\mathbb{Z}\subseteq m\mathbb{Z}\) si y solo si\(m\) divide\(n\). Además, tenemos\((m,n)=(d)\), donde\(d\) está el mayor divisor común de\(m\) y\(n\).
Considera el ideal\((2,x)\) en\(\mathbb{Z}[x]\). Tenga en cuenta que\((2,x)=\{2p(x)+xq(x)\mid p(x),q(x)\in\mathbb{Z}[x]\}\). Argumentan que no\((2,x)\) es un ideal principal, es decir, no hay un solo polinomio en el\(\mathbb{Z}[x]\) que podamos usar para generar\((2,x)\).
Supongamos que\(R\) es un anillo conmutativo con\(1\neq 0\). Deja\(I\) ser un ideal de\(R\). Entonces\(I=R\) si y sólo si\(I\) contiene una unidad.
Supongamos que\(R\) es un anillo conmutativo con\(1\neq 0\). Entonces\(R\) es un campo si y sólo si sus únicos ideales son\((0)\) y\(R\).
Hablando vagamente, los resultados anteriores dicen que los campos son “como grupos simples” (es decir, grupos sin subgrupos normales no triviales).
Si\(R\) es un campo, entonces cada homomorfismo de anillo distinto de cero desde\(R\) dentro de otro anillo es una inyección.