9.1: A.1- Elementos de Estilo para Pruebas

Años de matemáticas en la escuela primaria nos enseñaron incorrectamente que la respuesta a un problema matemático es solo un número, “la respuesta correcta”. Es tiempo de desaprender esas lecciones; esos días se acabaron. De aquí en adelante, la matemática consiste en descubrir pruebas y escribirlas de manera clara y convincente.

Las siguientes reglas se aplican siempre que escribas un comprobante. Ten estas reglas a mano para que puedas referirlas a medida que escribes tus pruebas.

1. La carga de la comunicación recae en ti, no en tu lector. Es tu trabajo explicar tus pensamientos; no es trabajo de tu lector adivinarlos a partir de algunas pistas. Estás tratando de convencer a un lector escéptico que no te cree, así que hay que discutir con lógica hermética en un lenguaje claro como el cristal; de lo contrario el lector seguirá dudando. Si no escribiste algo en el papel, entonces (a) no lo comunicaste, (b) el lector no lo aprendió, y (c) el graduador tiene que asumir que no lo sabías en primer lugar.
2. Dile al lector lo que estás demostrando. El lector no necesariamente sabe o recuerda qué es “Teorema 2.13”. Incluso un profesor que califica una pila de trabajos podría perder la pista de vez en cuando. Por lo tanto, la declaración que esté demostrando debe estar en la misma página que el inicio de su prueba. Para un examen esto no va a ser un problema, claro, pero en tu tarea, recopia el reclamo que estás probando. Esto tiene la ventaja adicional de que cuando estudias para exámenes revisando tu tarea, no tendrás que voltear en las notas/libro de texto para saber lo que estabas probando.
3. Usa palabras en inglés. Aunque generalmente habrá ecuaciones o declaraciones matemáticas en tus pruebas, usa oraciones en inglés para conectarlas y mostrar sus relaciones lógicas. Si miras en tus notas/libro de texto, verás que cada prueba consiste principalmente en palabras en inglés.
4. Usa oraciones completas. Si escribiste un ensayo de historia en fragmentos de oraciones, el lector no entendería a qué te referías; así mismo en matemáticas debes usar oraciones completas, con verbos, para transmitir tu tren lógico de pensamiento.

   Algunas oraciones completas pueden escribirse puramente en símbolos matemáticos, como ecuaciones (por ejemplo,\(a^3=b^{-1}\)), desigualdades (por ejemplo,\(x<5\)) y otras relaciones (como\(5\big|10\) o\(7\in\mathbb{Z}\)). Estas declaraciones suelen expresar una relación entre dos objetos matemáticos, como números o conjuntos. No obstante, se considera mal estilo comenzar una oración con símbolos. Una frase común a usar para evitar comenzar una oración con símbolos matemáticos es “Vemos que...”

5. Muestra las conexiones lógicas entre tus oraciones. Usa frases como “Por lo tanto” o “porque” o “si..., entonces...” o “si y solo si” para conectar tus oraciones.
6. Conocer la diferencia entre enunciados y objetos. Un objeto matemático es una cosa, un sustantivo, como un grupo, un elemento, un espacio vectorial, un número, un par ordenado, etc. Los objetos existen o no existen. Las declaraciones, en cambio, son oraciones matemáticas: pueden ser verdaderas o falsas.

   Cuando vea o escriba un grupo de símbolos matemáticos, asegúrese de saber si se trata de un objeto (por ejemplo, “\(x^2+3\)”) o una declaración (por ejemplo, “\(x^2+3<7\)”). Una manera de decir es que cada enunciado matemático incluye un verbo\(=\), como\(\leq\),, “divide”, etc.

7. El símbolo “\(=\)” significa “igual”. No escribas\(A=B\) a menos que quieras decir que\(A\) en realidad es igual\(B\). Esta regla parece obvia, pero hay una gran tentación de ser descuidado. En el cálculo, por ejemplo, algunas personas podrían escribir\(f(x)=x^{2}=2x\) (lo cual es falso), cuando realmente quieren decir que “si\(f(x)=x^{2}\), entonces”\(f'(x)=2x\).
8. No intercambiar\({=}\) y\({\implies}\). El signo igual conecta dos objetos, como en “\(x^2=b\)”; el símbolo “\(\implies\)” es una abreviatura de “implica” y conecta dos sentencias, como en “”\(a+b=a \implies b=0\). Debes evitar usar\(\implies\) en tus escritos formales.
9. Evita los símbolos lógicos en tus pruebas. Similar a\(\implies\), debes evitar usar los símbolos lógicos\(\forall, \exists, \vee, \wedge\), y\(\iff\) en tus escritos formales. Estos símbolos son útiles para abreviar en tu trabajo de scratch.
10. Di exactamente a lo que te refieres. Así como a veces\(=\) se abusa, también la gente a veces escribe\(A\in B\) cuando quiere decir\(A\subseteq B\), o escribe\(a_{ij}\in A\) cuando quiere decir que\(a_{ij}\) es una entrada en matriz\(A\). Las matemáticas son un lenguaje muy preciso, y hay una manera de decir exactamente a lo que te refieres; encuéntralo y úsalo.
11. No escribas nada no probado. Cada declaración en su papel debe ser algo que sepa que es cierto. El lector espera que su prueba sea una serie de declaraciones, cada una probada por las declaraciones que le precedieron. Si alguna vez necesitas escribir algo que aún no sabes que es cierto, debes prefaciarlo con palabras como “asumir”, “supón” o “si” (si lo estás asumiendo temporalmente), o con palabras como “tenemos que demostrar eso” o “afirmamos que” (si es tu objetivo). De lo contrario el lector pensará que se ha perdido parte de su prueba.
12. Escribir cadenas de igualdades (o desigualdades) en el orden adecuado. Cuando tu lector ve algo como\[A=B\leq C=D,\] espera entender fácilmente por qué\(A=B\), por qué\(B\leq C\), y por qué\(C=D\), y espera que el punto de toda la línea sea el hecho más complicado que\(A\leq D\). Por ejemplo, si estuvieras computando la distancia\(d\) del punto\((12,5)\) desde el origen, podrías escribir\[d = \sqrt{12^2+5^2} = 13.\] En esta cadena de igualdades, el primer signo igual es verdadero por el teorema de Pitágoras, el segundo es simplemente aritmético, y el punto es que el primer ítem es igual al último ítem:\(d=13\).

    Un error común es escribir cadenas de ecuaciones en el orden equivocado. Por ejemplo, si escribieras “\(\sqrt{12^2+5^2}=13=d\)”, tu lector entendería el primer signo igual, estaría desconcertado en cuanto a cómo sabemos\(d=13\), y estaría totalmente perplejo en cuanto a por qué querías o necesitabas pasar\(13\) para demostrarlo\(\sqrt{12^2+5^2}=d\).

13. Evite la circularidad. ¡Asegúrate de que ningún paso en tu prueba haga uso de la conclusión!
14. No escribas la prueba al revés. Los estudiantes principiantes a menudo intentan escribir “pruebas” como las siguientes, lo que intenta probar que\(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\):\[\begin{aligned} \tan^2(x) & = \sec^2(x) - 1 \\ \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 & = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \\ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} & = \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\ \sin^2(x) & = 1-\cos^2(x) \\ \sin^2(x) + \cos^2(x) & = 1 \\ 1 & = 1\end{aligned}\] Observe lo que ha sucedido aquí: el estudiante comenzó con la conclusión, y dedujo la verdadera afirmación “”\(1=1\). En otras palabras, ha demostrado “Si\(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\), entonces”\(1=1\), lo cual es cierto pero muy poco interesante.

    Ahora bien, esta no es una mala manera de encontrar una prueba. Trabajar al revés desde tu objetivo a menudo es una buena estrategia en tu papel rascar, pero cuando llega el momento de escribir tu prueba, tienes que comenzar con las hipótesis y trabajar hasta la conclusión.

    He aquí un ejemplo de una prueba adecuada para el resultado deseado, donde cada expresión se desprende de la que lo procede inmediatamente:\[\begin{aligned} \sec^2(x) - 1 & = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1\\ & = \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\ & = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\ & = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 \\ & = \left(\tan(x)\right)^2 \\ & = \tan^2(x).\end{aligned}\]

15. Sea conciso. La mayoría de los estudiantes se equivocan al escribir sus pruebas demasiado cortas, de manera que el lector no puede entender su lógica. Sin embargo, es muy posible ser demasiado prolijo, y si te encuentras escribiendo un ensayo de página completa, probablemente sea porque realmente no tienes una prueba, sino solo una intuición. Cuando encuentres la manera de convertir esa intuición en una prueba formal, será mucho más corta.
16. Introduce cada símbolo que uses. Si usa la letra “\(k\),” el lector debe saber exactamente qué\(k\) es. Las buenas frases para introducir símbolos incluyen “Let”\(n\in \mathbb{N}\), “Let\(k\) be the least integer such that...”, “For every real number\(a\)...”, and “Supongamos que eso\(X\) es un contraejemplo”.
17. Use cuantificadores apropiados (una vez). Cuando introduce una variable\(x\in S\), debe quedar claro para tu lector si te refieres a “para todos\(x\in S\)” o simplemente “para algunos”\(x\in S\). Si solo dices algo como “\(y=x^2\)dónde”\(x\in S\), la palabra “dónde” no indica si quieres decir “para todos” o “algunos”.

    Las frases que indican el cuantificador “para todos” incluyen “Dejar\(x\in S\)”; “para todos\(x\in S\)”; “para cada\(x\in S\)”; “para cada\(x\in S\)”; etc. Las frases que indican el cuantificador “algunos” (o “existe”) incluyen “para algunos\(x\in S\)”; “ahí existe un\(x\in S\)”; “para una elección adecuada de\(x\in S\)”; etc.

    Por otro lado, ¡no introduzcas una variable más de una vez! Una vez que has dicho “Vamos”\(x\in S\), la letra\(x\) tiene su significado definido. No hace falta que vuelvas a decir “para todos\(x\in S\)”, y definitivamente no deberías volver a decir “dejar\(x\in S\)”.

18. Usa un símbolo para significar solo una cosa. Una vez que use la letra\(x\) una vez, su significado se fija durante la duración de su prueba. No se puede usar\(x\) para significar otra cosa.
19. No “pruebes con el ejemplo”. [pfbyexample] La mayoría de los problemas te piden demostrar que algo es cierto “para todos” — No puedes probar esto dando un solo ejemplo, o incluso cien. Tu respuesta tendrá que ser un argumento lógico que sostenga para cada ejemplo que pueda haber.

    Por otra parte, si la afirmación que estás tratando de probar implica la existencia de un objeto matemático con una propiedad particular, entonces es suficiente proporcionar un ejemplo específico.

20. Escribe “Vamos”\(x=\dots\), no “Vamos”\(\dots=x\). Cuando tienes una expresión existente, digamos\(a^{2}\), y quieres darle un nombre nuevo y más simple como\(b\), deberías escribir “Let”\(b=a^{2}\), que significa, “Deja que\(b\) signifique el nuevo símbolo”\(a^{2}\). Esta convención deja claro al lector que\(b\) es el símbolo flamante y\(a^{2}\) es la vieja expresión que ya entiende.

    Si lo escribieras al revés, diciendo “Vamos”\(a^{2}=b\), entonces tu lector sobresaltado preguntaría: “¿Y si\(a^{2}\neq b\)?”

21. Haz que tus contraejemplos sean concretos y específicos. Las pruebas deben ser completamente generales, pero los contraejemplos deben ser absolutamente concretos. Cuando proporciones un ejemplo o contraejemplo, hazlo lo más específico posible. Para un conjunto, por ejemplo, debes nombrar sus elementos, y para una función debes dar su regla. No digas cosas como “\(\theta\)podría ser uno a uno pero no sobre”; en cambio, proporcionar una función real\(\theta\) que sea uno a uno pero no sobre.
22. No incluya ejemplos en las pruebas. Incluyendo un ejemplo muy raramente agrega algo a su prueba. Si tu lógica es sólida, entonces no necesita un ejemplo para respaldarla. Si tu lógica es mala, una docena de ejemplos no la ayudarán (ver regla 19). Solo hay dos razones válidas para incluir un ejemplo en una prueba: si es un contraejemplo que desmiente algo, o si estás realizando manipulaciones complicadas en un entorno general y el ejemplo es solo para ayudar al lector a entender lo que estás diciendo.
23. Usa papel rascar. Encontrar tu prueba será un proceso largo, potencialmente desordenado, lleno de falsos comienzos y callejones sin salida. Haz todo eso en papel rascar hasta que encuentres una prueba real, y solo entonces rompe tu papel limpio para escribir tu prueba final cuidadosamente.

    Sólo las oraciones que realmente contribuyan a su prueba deben ser parte de la prueba. No se limite a realizar un “volcado de cerebros”, arrojando todo lo que sabe al papel antes de mostrar los pasos lógicos que prueban la conclusión. Para eso está el papel rascar.