Visión general
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El tema de este libro de texto
Antes de comenzar con el contenido del texto, primero hacemos la pregunta básica: ¿qué es el álgebra lineal?
- Lineal: tiene que ver con líneas, planos, etc.
- Álgebra: resolver ecuaciones que involucran incógnitas.
El nombre del libro de texto resalta un tema importante: la síntesis entre álgebra y geometría. Será muy importante para nosotros entender los sistemas de ecuaciones lineales tanto algebraicamente (escribir ecuaciones para sus soluciones) como geométricamente (dibujar imágenes y visualizar).
El término “álgebra” fue acuñado por el matemático del\(9\) siglo XX Abu Ya'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Proviene de la palabra árabe al-jebr, que significa reencuentro de partes rotas.
En el nivel más simple, resolver un sistema de ecuaciones lineales no es muy difícil. Probablemente aprendiste en la secundaria a resolver un sistema como
\[\left\{\begin{array}{rrrrrrr}{x}&{+}&{3y}&{-}&{z}&{=}&{4} \\ 2x&-&y&+&3z&=&17 \\ {}&{}&{y}&{-}&{4z}&{=}&{-3.}\end{array}\right. \nonumber\]
Sin embargo, en la vida real uno suele tener que ser más inteligente.
- Los ingenieros necesitan resolver muchas, muchas ecuaciones en muchas, muchas variables. Aquí hay un pequeño ejemplo:
\[\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrr}3x_1 & +&4x_2 &+&10x_3&+&19x_4&-&2x_5&-&3x_6&=&141 \\ 7x_1 &+&2x_2&-&13x_3&-&7x_4&+&21x_5&+&8x_6&=& 2567 \\ -x_1 &+& 9x_2 &+& \frac 32x_3 &+& x_4 &+& 14x_5& + &27x_6 &=& 26 \\ \frac 12x_1 &+& 4x_2 &+& 10x_3 &+& 11x_4 &+& 2x_5 &+& x_6 &=& -15 \end{array}\right. \nonumber\] - Muchas veces basta con conocer alguna información sobre el conjunto de soluciones, sin tener que resolver las ecuaciones en primer lugar. Por ejemplo, ¿existe una solución? ¿Cómo se ve geométricamente el conjunto de soluciones? ¿Todavía hay una solución si cambiamos el\(26\) a\(27\text{?}\)
- A veces los coeficientes también contienen parámetros, como la ecuación de valor propio
\[\left\{\begin{array}{rrrrrrr} (7-\lambda)x &+& y &+& 3z &=& 0 \\ -3x& +& (2-\lambda)y &-& 3z &=& 0 \\ -3x &-& 2y& +& (-1-\lambda)z &=& 0\end{array}\right. \nonumber\] - En el modelado de datos, un sistema de ecuaciones generalmente no tiene realmente una solución. En ese caso, ¿cuál es la mejor solución aproximada?
En consecuencia, este texto se organiza en tres secciones principales.
-
Resolver la ecuación matricial\(Ax=b\) (capítulos 2 — 4).
- Resuelve sistemas de ecuaciones lineales usando matrices, reducción de filas e inversas.
- Analizar sistemas de ecuaciones lineales geométricamente utilizando la geometría de conjuntos de soluciones y transformaciones lineales.
-
Resolver la ecuación matricial\(Ax=\lambda x\) (capítulos 5 — 6).
- Resolver problemas de valores propios utilizando el polinomio característico.
- Comprender la geometría de las matrices usando similitud, valores propios, diagonalización y números complejos.
-
Resolver aproximadamente la ecuación matricial\(Ax=b\) (capítulo 7).
- Encuentre las soluciones que mejor se ajusten a sistemas de ecuaciones lineales que no tengan una solución real utilizando aproximaciones de mínimos cuadrados.
- Estudiar la geometría de vectores más cercanos y proyecciones ortogonales.
Este texto es aproximadamente mitad computacional y mitad conceptual por naturaleza. El objetivo principal es presentar una biblioteca de herramientas de álgebra lineal y, lo que es más importante, enseñar un marco conceptual para comprender qué herramientas deben aplicarse en un contexto dado.
Si Matlab puede encontrar la respuesta más rápido de lo que puedes, entonces tu pregunta es solo un algoritmo: esto no es una solución real de problemas.
La parte sutil del tema radica en entender qué cómputos pedirle a la computadora que haga por ti —es mucho menos importante saber cómo realizar cálculos que una computadora puede hacer mejor que tú de todos modos.
Usos del Álgebra Lineal en Ingeniería
La gran mayoría de los estudiantes universitarios de Georgia Tech tienen que tomar un curso de álgebra lineal. Hay una razón para esto:
La mayoría de los problemas de ingeniería, no importa cuán complicados sean, se pueden reducir al álgebra lineal:
\[ Ax=b \quad\text{or}\quad Ax=\lambda x \quad\text{or}\quad Ax\approx b. \nonumber \]
Aquí presentamos algunos problemas de muestra en ciencia e ingeniería que requieren álgebra lineal para resolver.
El siguiente diagrama representa el flujo de tráfico alrededor de la plaza del pueblo. Las calles son todas de una dirección, y los números y flechas indican el número de autos por hora que fluyen a lo largo de cada calle, medido por sensores debajo de las carreteras.
Figura\(\PageIndex{1}\)
No hay sensores debajo de algunas de las calles, por lo que no sabemos cuánto tráfico fluye alrededor de la propia plaza. Cuáles son los valores de\(x,y,z,w\text{?}\) Dado que el número de autos que ingresan a cada intersección tiene que igualar el número de autos que salen de esa intersección, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:
\[\left\{\begin{array}{rrrrrrr} w &+& 120 &=& x &+& 250\\ x &+& 120 &=& y &+& 70\\ y &+& 530 &=& z &+& 390\\ z &+& 115 &=& w &+& 175 \end{array}\right.\nonumber\]
Una cierta reacción química (quema) toma etano y oxígeno, y produce dióxido de carbono y agua:
\[\underline{x}\:\text{C}_{2}\text{H}_{6}\:+\:\underline{y}\:\text{O}_{2}\:\to\:\underline{z}\:\text{CO}_{2}\:+\:\underline{w}\:\text{H}_{2}\text{O}\nonumber\]
¿Qué proporción de moléculas se necesita para sostener la reacción? Las siguientes tres ecuaciones provienen del hecho de que el número de átomos de carbono, hidrógeno y oxígeno en el lado izquierdo tiene que ser igual al número de átomos a la derecha, respectivamente:
\[ \begin{split} 2x \amp= z \\ 6x \amp= 2w \\ 2y \amp= 2z + w\rlap. \end{split} \nonumber \]
En una población de conejos,
- la mitad de los conejos recién nacidos sobreviven a su primer año;
- de ellos, la mitad sobrevive a su segundo año;
- la vida útil máxima es de tres años;
- los conejos producen 0, 6, 8 conejos bebés en su primer, segundo y tercer año, respectivamente.
Si conoces la población de conejos en 2016 (en términos del número de conejos de primer, segundo y tercer año), entonces ¿cuál es la población en 2017? Las reglas de reproducción conducen al siguiente sistema de ecuaciones, donde\(x,y,z\) representan el número de conejos recién nacidos, de primer y segundo año, respectivamente:
\[\left\{\begin{array}{rrrrrrr} {}&{}&6y_{2016} &+& 8z_{2016} &=& x_{2017}\\ \frac 12x_{2016} &{}&{}&{}&{}&=& y_{2017}\\ {}&{}& \frac 12y_{2016}&{}&{}& =& z_{2017}\end{array}\right. \nonumber\]
Una pregunta común es: ¿cuál es el comportamiento asintótico de este sistema? ¿Cómo será la población de conejos en 100 años? Esto resulta ser un problema de valor propio.
Se ha observado un asteroide en los siguientes lugares:
\[ (0,2),\, (2,1),\, (1,-1),\, (-1,-2),\, (-3,1),\, (-1,-1). \nonumber \]
Su órbita alrededor del sol es elíptica; se describe mediante una ecuación de la forma
\[ x^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. \nonumber \]
¿Cuál es la órbita más probable del asteroide, dado que hubo algún error significativo en la medición de su posición? Sustituir los puntos de datos en la ecuación anterior produce el sistema
\[\begin{array}{rrrrrrrrrrrrl} (0)^2 &+& B(2)^2 &+& C(0)(2) &+& D(0) &+& E(2)&+& F&=&0 \\ (2)^2 &+& B(1)^2 &+& C(2)(1) &+& D(2) &+& E(1) &+& F&=& 0 \\ (1)^2 &+& B(-1)^2 &+& C(1)(-1) &+& D(1) &+& E(-1) &+& F&=& 0 \\ (-1)^2 &+& B(-2)^2 &+& C(-1)(-2) &+& D(-1)&+& E(-2)&+&F&=& 0 \\ (-3)^2 &+& B(1)^2 &+& C(-3)(1) &+& D(-3)&+& E(1)&+& F&=& 0 \\ (-1)^2 &+& B(-1)^2 &+& C(-1)(-1)&+& D(-1)&+& E(-1)&+&F&=&0. \end{array}\nonumber\]
No hay una solución real para este sistema debido a un error de medición, pero aquí está la elipse que mejor se ajusta:
Figura\(\PageIndex{3}\)
Cada página web tiene alguna medida de importancia, que comparte a través de enlaces salientes a otras páginas. Esto lleva a trillones de ecuaciones en trillones de variables. Larry Page y Sergei Brin se dieron cuenta de que este es un problema de álgebra lineal en su núcleo, y utilizaron la perspicacia para fundar Google. Discutiremos este ejemplo en detalle en la Sección 5.5. El resultado es el llamado “vector propio de 25 mil millones de dólares”. Consulte la Sección 6.6 en la versión completa del libro para una discusión detallada de este ejemplo.
Cómo usar este libro de texto
Hay una serie de diferentes categorías de ideas que están contenidas en la mayoría de las secciones. Se listan en la parte superior de la sección, bajo Objetivos, para facilitar su revisión. Los clasificamos de la siguiente manera.
- Recetas: se trata de algoritmos que generalmente son sencillos (aunque a veces tediosos), y generalmente se hacen por computadora en la vida real. No obstante, son importantes para aprender y practicar.
- Palabras de vocabulario: formar una comprensión conceptual del tema del álgebra lineal significa poder comunicarse con mucha más precisión que en el habla ordinaria. Las palabras del vocabulario tienen definiciones precisas, las cuales deben aprenderse y usarse correctamente.
- Palabras esenciales de vocabulario: estas palabras de vocabulario son esenciales ya que forman la esencia del tema del álgebra lineal. Por ejemplo, si no conoces la definición de un vector propio, entonces por definición no puedes pretender entender el álgebra lineal.
- Teoremas: estos describen de manera precisa cómo los objetos de interés se relacionan entre sí. Saber qué receta usar en una situación dada generalmente significa reconocer qué palabras de vocabulario usar para describir la situación, y comprender qué teoremas se aplican a ese problema.
- Imágenes: visualizar la geometría subyacente al álgebra significa interpretar y dibujar imágenes de los objetos involucrados. Las imágenes están pensadas para ser una parte central del material en el texto: no son solo un bonito complemento.
Este libro de texto está dirigido exclusivamente a Math 1553 en Georgia Tech. Como tal, contiene exactamente el material que se imparte en esa clase; ni más ni menos: los estudiantes de Matemáticas 1553 son los encargados de entender todo el contenido visible. En la versión en línea se oculta algún material extra (la mayoría de ejemplos y pruebas, por ejemplo), en que se necesita hacer clic en un enlace para revelarlo, así:
Por último, remarcamos que hay más de 140 demos interactivas contenidas en el texto, las cuales fueron creadas para ilustrar la geometría del tema. Haz clic en el enlace “ver en una nueva ventana”, ¡y juega con ellos! Necesitarás un navegador moderno. Internet Explorer no es un navegador moderno; prueba Safari, Chrome o Firefox. Aquí hay una demostración de la Sección 6.4:
Feedback
Cada página de la versión en línea tiene un enlace en la parte inferior para proporcionar comentarios. Esto te llevará a la página GitHub Issues para este libro. Se requiere un inicio de sesión de Georgia Tech para acceder.
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