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# 5.4: Notación Matricial

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Revisar las Secciones 6.1 - 6.3 del libro de álgebra lineal aplicada Stephen Boyd y Lieven Vandenberghe que introduce el concepto de Matrices. Algunas cosas para llevar incluyen:

• Composición de Matriz Básica
• Adición de transponer y normas
• Matriz cero e identy
from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("uC46qAjdE9w",height=360,width=640, cc_load_policy=True)

Una matriz es una matriz rectangular de números típicamente escritos entre corchetes rectangulares como:

$\begin{split} A = \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 3 & 4 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right]^{ 3\times 2} \end{split} \nonumber$

El subíndice 3×2 no siempre está incluido pero es una notación útil para recordar el tamaño de una matriz. El tamaño de una matriz siempre se escribe$$m \times n$$ donde$$m$$ está el número de filas y$$n$$ es el número de columnas. Entonces en el caso anterior Matrix$$A$$ es una matriz 3×2 (léase “tres por dos”).

##### Pregunta

¿Cuál es el tamaño de la siguiente matriz?

$\begin{split} B = \left[ \begin{matrix} 0 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 2 \\ \end{matrix} \right] \end{split} \nonumber$

Cada elemento de una matriz puede ser referenciado por su ubicación de índice. Similar al tamaño de una matriz la ubicación de un elemento se describe con dos números, es fila seguida de su columna. El conteo para las filas comienza en la parte superior y las columnas comienzan por la izquierda. Por ejemplo, en$$B$$ Elemento Matriz$$b_{1,2}$$ es el número en la fila 1 columna 2 que es -1.

##### Pregunta

¿Cuál es el valor del elemento (2,1) en la matriz$$B$$?

Un sistema lineal de ecuaciones se puede escribir en formato de matriz. Por ejemplo, las ecuaciones del ejemplo original se pueden escribir como la siguiente “Matriz aumentada”

\ [\ start {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 1\\
20 & 25
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matrix}
30\\
690
\ end {matrix}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]

Y el ejemplo que incluyó platería se puede escribir de la siguiente manera:

\ [\ left [
\ begin {matrix}
1 & 1 & 1\\
50 & 20 & 25\\
110 & 0 & 20
\ end {matrix}
\,\ middle\ vert\,
\ begin {matrix}
30\\
690\\
300
\ end {matriz}
\ derecha]\ nonumber\]

Las ecuaciones anteriores se representan como “matrices aumentadas” con el lado igual representado como una línea vertical.

El formato de matriz general para un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir de la siguiente manera:

\ [\ begin {split}
X =
\ left [
\ begin {matrix}
x_ {11} & x_ {12} & x_ {13} &\ puntos\\
x_ {21} & x_ {22} & x_ {23} &\ puntos\\ ldots &\ ldots &
\ ldots &\ ldots &\ ddots\\ ddots\\
x_ {m1} & x_ {m2} & x_ {m3} &\ puntos
\ final {matriz}
\,\ media\ vert\,
\ comenzar {matriz}
x_ {1n}\\ x_ {2n}\\\ ldots\\ x_ {mn}
\ end {matriz}
\ derecha] ^ {mxn}
\ end {split}\ nonumber\]

donde$$x_{ij}$$ es un elemento escalar en la matrx.

Consideremos ahora el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$x_1 = 2.14159 \nonumber$

$x_2 = 4 \nonumber$

$x_3 = -7.2 \nonumber$

$x_4 = 69 \nonumber$

$x_5 = 84 \nonumber$

$x_6 = 240 \nonumber$

Vamos a reescribir esta ecuación como una matriz aumentada:

\ [\ begin {split}
X =
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &
0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\ end {matriz}
\,\ media\ vert
\,\ begin {matriz}
2.14159\\ 4\ -7.2\\ 69\ 84 \\ 240
\ final {matriz}
\ derecha] ^ {6x7}
\ end {split}\ nonumber\]

Observe que la submatriz en el lado izquierdo es solo la matriz de$$I_{6}$$ identidad y el lado derecho son las soluciones.

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