8.4: Ejemplo de Ajuste de Curva de Práctica

Considere el siguiente polinomio con escalares constantes\(a\),\(b\), y\(c\), que cae en el\(xy\) plano -:

\[f(x) = ax^2 + bx + c \nonumber \]

Pregunta

¿Esta función es lineal? ¿Por qué o por qué no?

Supongamos que no conocemos los valores de\(a\),\(b\) y\(c\), pero sí sabemos que los puntos (1,2), (-1,12) y (2,3) están en el polinomio. Podemos sustituir los puntos conocidos en la ecuación anterior. Por ejemplo, usando el punto (1,2) obtenemos la siguiente ecuación:

\[2 = a1^2 + b1 + c \nonumber \]

\[\text{or} \nonumber \]

\[2 = a + b + c \nonumber \]

Pregunta

Genere dos ecuaciones más sustituyendo los puntos (-1,12) y (2,3) en la ecuación anterior:

Pregunta

Si lo hicimos bien, deberíamos tener tres ecuaciones y tres incógnitas (\(a\),\(b\),\(c\)). Obsérvese también que estas ecuaciones son lineales (¿cómo sucedió eso?). Transformar este sistema de ecuaciones en dos matrices\(A\) y\(b\) como hicimos anteriormente.

#Put your answer to the above question here.

from urllib.request import urlretrieve

urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A,'1896041ded9eebf1cba7e04f32dd1069');

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(b,'01e594bb535b4e2f5a04758ff567f918');

Pregunta

Escribe el código a resolver para\(x\) (es decir, (\(a\),\(b\),\(c\))) usando numpy.

#Put your answer to the above question here.

from answercheck import checkanswer

checkanswer.vector(x,'1dab22f81c2c156e6adca8ea7ee35dd7');

Pregunta

Dado el valor de su matriz x derivado en la pregunta anterior, ¿para qué sirven los valores\(a\),\(b\), y\(c\)?

#Put your answer to the above question here.
a = 0
b = 0
c = 0

Suponiendo que lo anterior es correcto, el siguiente código imprimirá su polinomio de 2do orden y trazará los puntos originales:

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
x = np.linspace(-3,3)
y = a*x**2 + b*x + c

#plot the function. (Transpose is needed to make the data line up).
plt.plot(x,y.transpose())

#Plot the original points
plt.scatter(1, 2)
plt.scatter(-1, 12)
plt.scatter(2, 3)
plt.xlabel('x-axis')
plt.ylabel('y-axis')

Pregunta

El siguiente programa está destinado a tomar cuatro puntos como entradas (\(p1\),\(p2\),\(p3\),\(p4\)\( \in R^2 \)) y calcular los coeficientes\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\) para que la gráfica de\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) pase suavemente por los puntos. Pruebe la función con los siguientes puntos (1,2), (-1,6), (2,3), (3,2) como entradas e imprima los valores para\(a\)\(b\),\(c\), y\(d\).

def fitPoly3(p1,p2,p3,p4):
    A = np.matrix([[p1[0]**3, p1[0]**2, p1[0], 1],
                   [p2[0]**3, p2[0]**2, p2[0], 1],
                   [p3[0]**3, p3[0]**2, p3[0], 1],
                   [p4[0]**3, p4[0]**2, p4[0], 1]])
    
    b = np.matrix([p1[1],p2[1],p3[1],p4[1]]).T

    X = np.linalg.solve(A, b)
    a = X[0]
    b = X[1]
    c = X[2]
    d = X[3]
    #Try to put your figure generation code here for the next question 
    #####Start your code here #####
    
    
    #####End of your code here#####       
    return (a,b,c,d)

#put your answer to the above question here

Pregunta

Modificar la función fitpoly3 anterior para generar también una figura de los puntos de entrada y el polinomio resultante en rango x =( -3,3).

# Put the answer to the above question above or copy and paste the above function and modify it in this cell. 

Pregunta

Dale cuatro puntos\(R^2\) de entrada a FitPoly3, ¿siempre hay una solución única? Explica tu respuesta.