8.3: Sistemas indeterminados
- Page ID
- 115117
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)A veces tenemos sistemas de ecuaciones lineales donde tenemos más incógnitas que ecuaciones, en este caso llamamos al sistema “indeterminado”. Este tipo de sistemas pueden tener infinitas soluciones. es decir, no podemos encontrar una única\(x\) tal que\(Ax = b\). En este caso, podemos encontrar un conjunto de ecuaciones que representan todas las soluciones que resuelven el problema mediante el uso de Gauss Jordan y la forma de Escalón de Fila Reducida. Consideremos el siguiente ejemplo:
\[ \begin{split}\begin{bmatrix}5 & -2 & 2 & 1 \\ 4 & -3 & 4 & 2 \\ 4 & -6 & 7 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\end{split} \nonumber \]
Defina una matriz aumentada\(M\) que represente el sistema de ecuaciones anterior:
¿Cuál es la forma de escalón de fila reducida para A?
Observe cómo la anterior forma RREF de matriz A es diferente de lo que hemos visto en el pasado. En este caso no todos nuestros valores para\(x\) son únicos. Cuando escribimos una solución a este problema definiendo las variables por una o más de las variables indefinidas. por ejemplo, aquí podemos ver que\(x_4\) es indefinido. Entonces decimos\(x_4=x_4\), es decir,\(x_4\) puede ser cualquier número que queramos. Entonces podemos definir\(x_3\) en términos de\(x_4\). En este caso\(x_3 = \frac{11}{15} - \frac{4}{15}x_4\). Toda la solución se puede escribir de la siguiente manera:
\ [\ begin {split}
\ begin {align*}
x_1 &=\ frac {1} {15} +\ frac {1} {15} x_4\\
x_2 &=\ frac {2} {5} +\ frac {2} {5} x_4\
x_3 &=\ frac {11} {15} -\ frac {4} {15} x_4\\
x_4 &= x_4
\ end {align*}
\ end {split}\ nonumber\]
Revisa la respuesta anterior y asegúrate de entender cómo obtenemos esta respuesta desde el formulario Escalón de fila reducida desde arriba.
A veces, en un esfuerzo por aclarar la solución, introducimos nuevas variables (típicamente,\(r\),\(s\),\(t\)) y las sustituimos por nuestras variables indefinidas para que la solución se vea así:
\ [\ begin {split}
\ begin {align*}
x_1 &=\ frac {1} {15} +\ frac {1} {15} r\\
x_2 &=\ frac {2} {5} +\ frac {2} {5} r\
x_3 &=\ frac {11} {15} -\ frac {4} {15} r\\
x_4 &= r
\ end {align*}
\ end {split}\ nonumber \]
Podemos encontrar una solución particular al problema anterior ingresando cualquier número para\(r\). Por ejemplo, establezca\(r\) igual a cero y cree un vector para todos los\(x\) valores.
\ [\ begin {split}
\ begin {align*}
x_1 &=\ frac {1} {15}\\
x_2 &=\ frac {2} {5}\\
x_3 &=\ frac {11} {15}\\
x_4 &= 0
\ end {align*}
\ end {split}\ nonumber\]
Define dos matrices más\(A\),\(b\) representando el sistema de ecuaciones anterior\(Ax=b\):
Ahora verifiquemos nuestra respuesta multiplicando la matriz\(A\) por nuestra solución\(x\) y veamos si obtenemos\(b\)
Ahora regrese y elija un valor diferente para\(r\) y vea que también produce una solución válida para\(Ax=b\).