8.3: Sistemas indeterminados

A veces tenemos sistemas de ecuaciones lineales donde tenemos más incógnitas que ecuaciones, en este caso llamamos al sistema “indeterminado”. Este tipo de sistemas pueden tener infinitas soluciones. es decir, no podemos encontrar una única\(x\) tal que\(Ax = b\). En este caso, podemos encontrar un conjunto de ecuaciones que representan todas las soluciones que resuelven el problema mediante el uso de Gauss Jordan y la forma de Escalón de Fila Reducida. Consideremos el siguiente ejemplo:

\[ \begin{split}\begin{bmatrix}5 & -2 & 2 & 1 \\ 4 & -3 & 4 & 2 \\ 4 & -6 & 7 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\end{split} \nonumber \]

Pregunta

Defina una matriz aumentada\(M\) que represente el sistema de ecuaciones anterior:

#Put your code here

Pregunta

¿Cuál es la forma de escalón de fila reducida para A?

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(M,'efb9b2da0e44984a18f595d7892980e2');

# Put your answer to the above question here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(RREF,'f1fa8baac1df4c378db20cff9e91ca5b');

Observe cómo la anterior forma RREF de matriz A es diferente de lo que hemos visto en el pasado. En este caso no todos nuestros valores para\(x\) son únicos. Cuando escribimos una solución a este problema definiendo las variables por una o más de las variables indefinidas. por ejemplo, aquí podemos ver que\(x_4\) es indefinido. Entonces decimos\(x_4=x_4\), es decir,\(x_4\) puede ser cualquier número que queramos. Entonces podemos definir\(x_3\) en términos de\(x_4\). En este caso\(x_3 = \frac{11}{15} - \frac{4}{15}x_4\). Toda la solución se puede escribir de la siguiente manera:

\ [\ begin {split}
\ begin {align*}
x_1 &=\ frac {1} {15} +\ frac {1} {15} x_4\\
x_2 &=\ frac {2} {5} +\ frac {2} {5} x_4\
x_3 &=\ frac {11} {15} -\ frac {4} {15} x_4\\
x_4 &= x_4
\ end {align*}
\ end {split}\ nonumber\]

Hacer esto

Revisa la respuesta anterior y asegúrate de entender cómo obtenemos esta respuesta desde el formulario Escalón de fila reducida desde arriba.

A veces, en un esfuerzo por aclarar la solución, introducimos nuevas variables (típicamente,\(r\),\(s\),\(t\)) y las sustituimos por nuestras variables indefinidas para que la solución se vea así:

\ [\ begin {split}
\ begin {align*}
x_1 &=\ frac {1} {15} +\ frac {1} {15} r\\
x_2 &=\ frac {2} {5} +\ frac {2} {5} r\
x_3 &=\ frac {11} {15} -\ frac {4} {15} r\\
x_4 &= r
\ end {align*}
\ end {split}\ nonumber \]

Podemos encontrar una solución particular al problema anterior ingresando cualquier número para\(r\). Por ejemplo, establezca\(r\) igual a cero y cree un vector para todos los\(x\) valores.

\ [\ begin {split}
\ begin {align*}
x_1 &=\ frac {1} {15}\\
x_2 &=\ frac {2} {5}\\
x_3 &=\ frac {11} {15}\\
x_4 &= 0
\ end {align*}
\ end {split}\ nonumber\]

##here is the same basic math in python
import numpy as np
r = 0
x = np.matrix([1/15+1/15*r, 2/5+2/5*r, 11/15-4/15*r, r]).T
x

Hacer esto

Define dos matrices más\(A\),\(b\) representando el sistema de ecuaciones anterior\(Ax=b\):

# put your answer to the above question here.

from urllib.request import urlretrieve

urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A,'a600d0416a3fb9b4bde87b08caf068f1');

from answercheck import checkanswer

checkanswer.vector(b,'4cfaa788e4dd6de04fdf6aea4a0e0e71');

Ahora verifiquemos nuestra respuesta multiplicando la matriz\(A\) por nuestra solución\(x\) y veamos si obtenemos\(b\)

np.allclose(A*x,b)

Hacer esto

Ahora regrese y elija un valor diferente para\(r\) y vea que también produce una solución válida para\(Ax=b\).