22.3: Vectores de base

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 115400

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)

\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)

\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

Considera el siguiente ejemplo. Afirmamos que el siguiente conjunto de vectores forman una base para\(R^3\):

\[B = \{(2,1, 3), (-1,6, 0), (3, 4, -10) \} \nonumber \]

Si estos vectores forman una base, deben ser linealmente independientes y abarcan todo el espacio de\(R^3\)

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve
sym.init_printing(use_unicode=True)
urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

Hacer esto

Crea una matriz\(3 \times 3\) numpy\(A\) donde las columnas de\(A\) form sean los vectores base.

#Put your answer to the above question here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(A,'68b81f1c1041158b519936cb1a2e4d6b');

Hacer esto

Usando python, calcula el determinante de la matriz\(A\).

# Put your answer to the above question here.

Hacer esto

Usando python, calcule la inversa de\(A\).

# Put your answer to the above question here.

Hacer esto

Usando python, calcule el rango de\(A\).

# Put your answer to the above question here.

Hacer esto

Usando python, calcule la forma de escalón de fila reducida de\(A\).

# Put your answer to the above question here.

Hacer esto

Usando lo anterior\(A\) y el vector\(b=(1,3,2)\). ¿Cuál es la solución\(Ax=b\)?

#Put your answer to the above question here.

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(x,'8b0938260dfeaafc9f8e9fec0bc72f17');

Resulta una matriz donde los vectores de columna se forman a partir de vectores base muchas propiedades interesantes y las siguientes declaraciones son equivalentes.

Los vectores de columna\(A\) forman una base para\(R^n\)
\(|A| \neq 0\)
\(A\)es invertible.
\(A\)es fila equivalente a\(I_n\) (es decir, su forma de escalón de fila reducida es\(I_n\))
El sistema de ecuaciones\(Ax=b\) tiene una solución única.
\(rank(A) = n\)

No todas las matrices siguen las declaraciones anteriores sino las que sí se utilizan a lo largo del álgebra lineal por lo que es importante que conozcamos estas propiedades.