24.2: Representación Matriz de Espacios Vectoriales

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve
sym.init_printing(use_unicode=True)
urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

Considera la siguiente matriz\(A\).

\ [\ begin {split}
\ left [
\ begin {matrix}
1 & 0 & 3\\
0 & 1 & 5\\
1 & 1 & 8
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

Pregunta

¿Cuál es la forma de escalón de fila reducida\(A\)?

# Put your answer to the above question here.

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(rref,'1731818a1555cc33a778a4eb76af945c');

ESPACIO DE FILAS La primera y segunda filas (distintas de cero) de la matriz anterior “abarca” el mismo espacio que los vectores originales de tres filas en\(A\). A menudo llamamos a esto el “espacio de filas” y se puede escribir como una combinación lineal de las filas distintas de cero de la forma de escalón de fila reducida:

\[row(A) = r(1,0,3)^\top+s(0,1,5)^\top \nonumber \]

Hacer esto

Calcular las soluciones al sistema de ecuaciones homogéneas\(Ax=0\). Esto suele llamarse ESPACIO NULL o a veces KERNEL\(A\) de

#Put your answer here

Hacer esto

Se introdujeron dos subespacios. Elija un vector del espacio de filas de\(A\) y otro vector del espacio nulo de\(A\). Encuentra el producto de punto de estos dos vectores.

#Put your answer here

Pregunta

¿Obtuviste el mismo valor para el producto dot? Explica tu respuesta.

Hacer esto

¿Cuál es la forma de escalón de fila reducida\(A^T\)?

#Put your answer here

ESPACIO DE COLUMNA: La primera y segunda (distinta de cero) filas de la matriz anterior “abarca” el mismo espacio que los vectores originales de tres columnas en\(A\). A menudo llamamos a esto el “espacio de columna” (o “espacio de imagen”) de\(A\) y se puede escribir como una combinación lineal de las filas distintas de cero de la forma escalón de fila reducida de\(A^T\):

\[col(A) = a(1,0,1)^\top+b(0,1,1)^\top \nonumber \]

Hacer esto

Calcular las soluciones al sistema de ecuaciones homogéneas\(A^T x=0\). Esto a menudo se llama el ESPACIO NULL de\(A^T\).

#Put your answer here

Ejemplo #1

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

\[ x_1 - x_2 + x_3 = 3 \nonumber \]

\[ -2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -6 \nonumber \]

Hacer esto

¿Cuáles son las soluciones al anterior sistema de ecuaciones?

# Put your code here

Hacer esto

Lleve con una solución arbitraria específica (cualquier solución servirá) al conjunto de ecuaciones anterior.

Hacer esto

Ahora considere solo el lado izquierdo de la matriz anterior y resuelva para el kernel (espacio nulo) de A:

\ [\ begin {split} A =
\ left [
\ begin {matrix}
1 & -1 & 1\\
-2 & 2 & -2
\ end {matrix}
\ right]
\ end {split}\ nonumber\]

#Put your answer here

Hacer esto

Expresar una solución arbitraria como la suma de un elemento del núcleo de la transformación definida por la matriz de coeficientes y una solución particular.

Hacer esto

Discuta en su grupo y en la clase su solución desde arriba. ¿Cómo se\(Ax=b\) relaciona la solución con la solución a\(Ax=0\). Si tuvieras que trazar todas las soluciones, ¿qué forma toma? ¿Cómo se relaciona esta forma con el kernel?