31.3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs) son otra más para los sistemas dinámicos lineales y son un modelo científico utilizado en una amplia gama de problemas de la forma básica:
\[\dot{x} = Ax \nonumber \]
Estas son ecuaciones tales que el es la tasa instantánea de cambio en\(x\) (es decir,\(\dot{x}\) es la derivada de\(x\)) depende de\(x\). Muchos sistemas se pueden modelar con este tipo de ecuaciones.
Aquí hay un video rápido que introduce los conceptos de Ecuaciones Diferenciales. A continuación se presenta una buena revisión de las ODE generales.
Ahora considere una ODE como un sistema de ecuaciones lineales:
\[\dot{x_t} = A x_t \nonumber \]
Con base en el\(x\) vector actual en el tiempo\(t\) y la matriz\(A\), podemos calcular la derivada\(\dot{x}\) a la vez\(t\). Una vez que conocemos la derivada, podemos incrementar el tiempo a por alguna pequeña cantidad\(dt\) y calcular un nuevo valor de la\(x\) siguiente manera:
\[x_{t+1} = x_t + \dot{x_t}dt \nonumber \]
Entonces podremos volver a hacer la secuencia exacta de cálculos para\(t+2\). La siguiente función tiene la matriz de transición (\(A\)), el vector de estado inicial (\(x_0\)) y un número de pasos de tiempo (\(N\)) y utiliza las ecuaciones anteriores para calcular cada estado y devolver todas las\(x\) estatuas:
El siguiente código genera una trayectoria de puntos a partir de x_0
, aplicando la matriz\(A\) para obtener\(x_1\) y luego aplicando\(A\) nuevamente para ver cómo progresa el sistema desde el estado de inicio.
Por ejemplo, el siguiente código utiliza la matriz\(A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{bmatrix}\) y el punto de partida (0,0) a lo largo de 50 tiempos para obtener una gráfica:
Let\(A= \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 4 & -2\end{bmatrix}\)
Escribe un bucle sobre los puntos\((−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)\) y traza los resultados de la función traj
:
Let\(A= \begin{bmatrix}6 & -1 \\ 1 & 4\end{bmatrix}\)
Escribe un bucle sobre los puntos\((−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)\) y traza los resultados de la función traj
:
Let\(A= \begin{bmatrix}5 & 2 \\ -4 & 1\end{bmatrix}\)
Escribe un bucle sobre los puntos\((−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)\) y traza los resultados de la función traj
: