31.3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs) son otra más para los sistemas dinámicos lineales y son un modelo científico utilizado en una amplia gama de problemas de la forma básica:

\[\dot{x} = Ax \nonumber \]

Estas son ecuaciones tales que el es la tasa instantánea de cambio en\(x\) (es decir,\(\dot{x}\) es la derivada de\(x\)) depende de\(x\). Muchos sistemas se pueden modelar con este tipo de ecuaciones.

Aquí hay un video rápido que introduce los conceptos de Ecuaciones Diferenciales. A continuación se presenta una buena revisión de las ODE generales.

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("8QeCQn7uxnE",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

Ahora considere una ODE como un sistema de ecuaciones lineales:

\[\dot{x_t} = A x_t \nonumber \]

Con base en el\(x\) vector actual en el tiempo\(t\) y la matriz\(A\), podemos calcular la derivada\(\dot{x}\) a la vez\(t\). Una vez que conocemos la derivada, podemos incrementar el tiempo a por alguna pequeña cantidad\(dt\) y calcular un nuevo valor de la\(x\) siguiente manera:

\[x_{t+1} = x_t + \dot{x_t}dt \nonumber \]

Entonces podremos volver a hacer la secuencia exacta de cálculos para\(t+2\). La siguiente función tiene la matriz de transición (\(A\)), el vector de estado inicial (\(x_0\)) y un número de pasos de tiempo (\(N\)) y utiliza las ecuaciones anteriores para calcular cada estado y devolver todas las\(x\) estatuas:

El siguiente código genera una trayectoria de puntos a partir de x_0, aplicando la matriz\(A\) para obtener\(x_1\) y luego aplicando\(A\) nuevamente para ver cómo progresa el sistema desde el estado de inicio.

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
sym.init_printing()

def traj(A, x, n):
    dt = 0.01
    x_all = np.matrix(np.zeros((len(x),n)))   # Store all points on the trajectory
    for i in range(n):  
        x_dot = A*x         # First we transform x into the derrivative
        x = x + x_dot*dt    # Then we estimate x based on the previous value and a small increment of time.
        x_all[:,i] = x[:,0] 
    return x_all

Por ejemplo, el siguiente código utiliza la matriz\(A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{bmatrix}\) y el punto de partida (0,0) a lo largo de 50 tiempos para obtener una gráfica:

A = np.matrix([[1,1],[1,-2]])
x0 = np.matrix([[1],[1]])

x_all = traj(A, x0, 50)
plt.scatter(np.asarray(x_all[0,:]),np.asarray(x_all[1,:]))

plt.scatter(list(x0[0,:]),list(x0[1,:])) #Plot the start point as a refernce

Hacer esto

Let\(A= \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 4 & -2\end{bmatrix}\)

Escribe un bucle sobre los puntos\((−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)\) y traza los resultados de la función traj:

A = np.matrix([[2,3],[4,-2]])
x0 = np.matrix([[1.5, -1.5, -1, 1, 2],[1, -1, 2, -2, -2]])

# Put your code here

Hacer esto

Let\(A= \begin{bmatrix}6 & -1 \\ 1 & 4\end{bmatrix}\)

Escribe un bucle sobre los puntos\((−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)\) y traza los resultados de la función traj:

# Put your code here

Hacer esto

Let\(A= \begin{bmatrix}5 & 2 \\ -4 & 1\end{bmatrix}\)

Escribe un bucle sobre los puntos\((−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)\) y traza los resultados de la función traj:

# Put your code here