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# 31.3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODEs) son otra más para los sistemas dinámicos lineales y son un modelo científico utilizado en una amplia gama de problemas de la forma básica:

$\dot{x} = Ax \nonumber$

Estas son ecuaciones tales que el es la tasa instantánea de cambio en$$x$$ (es decir,$$\dot{x}$$ es la derivada de$$x$$) depende de$$x$$. Muchos sistemas se pueden modelar con este tipo de ecuaciones.

Aquí hay un video rápido que introduce los conceptos de Ecuaciones Diferenciales. A continuación se presenta una buena revisión de las ODE generales.

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("8QeCQn7uxnE",width=640,height=360, cc_load_policy=True)

Ahora considere una ODE como un sistema de ecuaciones lineales:

$\dot{x_t} = A x_t \nonumber$

Con base en el$$x$$ vector actual en el tiempo$$t$$ y la matriz$$A$$, podemos calcular la derivada$$\dot{x}$$ a la vez$$t$$. Una vez que conocemos la derivada, podemos incrementar el tiempo a por alguna pequeña cantidad$$dt$$ y calcular un nuevo valor de la$$x$$ siguiente manera:

$x_{t+1} = x_t + \dot{x_t}dt \nonumber$

Entonces podremos volver a hacer la secuencia exacta de cálculos para$$t+2$$. La siguiente función tiene la matriz de transición ($$A$$), el vector de estado inicial ($$x_0$$) y un número de pasos de tiempo ($$N$$) y utiliza las ecuaciones anteriores para calcular cada estado y devolver todas las$$x$$ estatuas:

El siguiente código genera una trayectoria de puntos a partir de x_0, aplicando la matriz$$A$$ para obtener$$x_1$$ y luego aplicando$$A$$ nuevamente para ver cómo progresa el sistema desde el estado de inicio.

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
sym.init_printing()
def traj(A, x, n):
dt = 0.01
x_all = np.matrix(np.zeros((len(x),n)))   # Store all points on the trajectory
for i in range(n):
x_dot = A*x         # First we transform x into the derrivative
x = x + x_dot*dt    # Then we estimate x based on the previous value and a small increment of time.
x_all[:,i] = x[:,0]
return x_all

Por ejemplo, el siguiente código utiliza la matriz$$A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{bmatrix}$$ y el punto de partida (0,0) a lo largo de 50 tiempos para obtener una gráfica:

A = np.matrix([[1,1],[1,-2]])
x0 = np.matrix([[1],[1]])

x_all = traj(A, x0, 50)
plt.scatter(np.asarray(x_all[0,:]),np.asarray(x_all[1,:]))

plt.scatter(list(x0[0,:]),list(x0[1,:])) #Plot the start point as a refernce
##### Hacer esto

Let$$A= \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 4 & -2\end{bmatrix}$$

Escribe un bucle sobre los puntos$$(−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)$$ y traza los resultados de la función traj:

A = np.matrix([[2,3],[4,-2]])
x0 = np.matrix([[1.5, -1.5, -1, 1, 2],[1, -1, 2, -2, -2]])
# Put your code here
##### Hacer esto

Let$$A= \begin{bmatrix}6 & -1 \\ 1 & 4\end{bmatrix}$$

Escribe un bucle sobre los puntos$$(−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)$$ y traza los resultados de la función traj:

# Put your code here
##### Hacer esto

Let$$A= \begin{bmatrix}5 & 2 \\ -4 & 1\end{bmatrix}$$

Escribe un bucle sobre los puntos$$(−1.5,−1), (−1,2)(−1,2)$$ y traza los resultados de la función traj:

# Put your code here

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