37.4: Inverso de una matriz

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Recordemos los cuatro subespacios fundamentales de una\(m \times n\) matriz\(A\)
- El espacio de filas y el espacio nullspace de\(A\) in\(R^n\)
- El espacio de columnas y el espacio nulo de\(A^{\top}\) in\(R^m\)

El inverso de dos lados nos da lo siguiente\( {A}{A}^{-1}=I={A}^{-1}{A} \)
- Para ello necesitamos\(r = m = n\), aquí\(r\) está el rango de la matriz.

Para un inverso a la izquierda, tenemos lo siguiente
- Rango de columna completo, con\(r = n \leq m\) (pero posiblemente más filas)
- El espacio nulo contiene solo el vector cero (las columnas son independientes)
- Las filas podrían no ser todas independientes
- Por lo tanto, no tenemos o sólo una única solución para\(Ax=b\).
- \(A^{\top}\)ahora también tendrá rango de fila completa
- De\((A^\top A)^{-1}A^\top A = I\) ello se desprende el hecho de que\((A^\top A)^{-1}A^\top\) es un inverso del lado izquierdo
- Tenga en cuenta que\((A^\top A)^{-1}A^\top\) es una\(n \times m\) matriz y\(A\) es de tamaño\(m \times n\), su mulitiplicación\((A^\top A)^{-1}A^\top A\) da como resultado una matriz de\(n \times n\) identidad
- El\(A(A^\top A)^{-1}A^\top\) es una\(m \times m\) matriz. \(A(A^\top A)^{-1}A^\top\neq I\)PERO si\(m\neq n\). La matriz\(A(A^\top A)^{-1}A^\top\) es la matriz de proyección sobre el espacio de columna de\(A\).

Pregunta 5

Cuál es la matriz de proyección que proyecta cualquier vector sobre el subespacio abarcado por\([1,2]^{\top}\). (Qué matriz dará el mismo resultado que proyectar cualquier punto sobre el vector)\([1,2]^{\top}\).

Pregunta 6

Si\(m=n\), ¿el inverso izquierdo es lo mismo que el inverso?

Teorema

Para una matriz\(A\) con\(r=n<m\), el columnespacio de\(A\) tiene dimensión\(r(=n)\). El transfrom lineal\(A: R^n\mapsto R^m\) es uno a uno. Además, la transformación lineal\(A\) de\(R^n\) al columnespacio de\(A\) es uno a uno y hacia (significa que para cualquier elemento en el columnespacio de\(A\), podemos encontrar\(x\) en\(R^n\) tal que sea igual\(Ax\).) Entonces el inverso izquierdo de\(A\) es un mapeo uno a uno desde el espacio de columnas de\(A\) a\(R^n\), y puede considerarse como una transformada inversa de\(A\).