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LibreTexts Español

37.4: Inverso de una matriz

  • Page ID
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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

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    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    • Recordemos los cuatro subespacios fundamentales de una\(m \times n\) matriz\(A\)
      • El espacio de filas y el espacio nullspace de\(A\) in\(R^n\)
      • El espacio de columnas y el espacio nulo de\(A^{\top}\) in\(R^m\)
    • El inverso de dos lados nos da lo siguiente\( {A}{A}^{-1}=I={A}^{-1}{A} \)
      • Para ello necesitamos\(r = m = n\), aquí\(r\) está el rango de la matriz.
    • Para un inverso a la izquierda, tenemos lo siguiente
      • Rango de columna completo, con\(r = n \leq m\) (pero posiblemente más filas)
      • El espacio nulo contiene solo el vector cero (las columnas son independientes)
      • Las filas podrían no ser todas independientes
      • Por lo tanto, no tenemos o sólo una única solución para\(Ax=b\).
      • \(A^{\top}\)ahora también tendrá rango de fila completa
      • De\((A^\top A)^{-1}A^\top A = I\) ello se desprende el hecho de que\((A^\top A)^{-1}A^\top\) es un inverso del lado izquierdo
      • Tenga en cuenta que\((A^\top A)^{-1}A^\top\) es una\(n \times m\) matriz y\(A\) es de tamaño\(m \times n\), su mulitiplicación\((A^\top A)^{-1}A^\top A\) da como resultado una matriz de\(n \times n\) identidad
      • El\(A(A^\top A)^{-1}A^\top\) es una\(m \times m\) matriz. \(A(A^\top A)^{-1}A^\top\neq I\)PERO si\(m\neq n\). La matriz\(A(A^\top A)^{-1}A^\top\) es la matriz de proyección sobre el espacio de columna de\(A\).
    Pregunta 5

    Cuál es la matriz de proyección que proyecta cualquier vector sobre el subespacio abarcado por\([1,2]^{\top}\). (Qué matriz dará el mismo resultado que proyectar cualquier punto sobre el vector)\([1,2]^{\top}\).

    Pregunta 6

    Si\(m=n\), ¿el inverso izquierdo es lo mismo que el inverso?

    Teorema

    Para una matriz\(A\) con\(r=n<m\), el columnespacio de\(A\) tiene dimensión\(r(=n)\). El transfrom lineal\(A: R^n\mapsto R^m\) es uno a uno. Además, la transformación lineal\(A\) de\(R^n\) al columnespacio de\(A\) es uno a uno y hacia (significa que para cualquier elemento en el columnespacio de\(A\), podemos encontrar\(x\) en\(R^n\) tal que sea igual\(Ax\).) Entonces el inverso izquierdo de\(A\) es un mapeo uno a uno desde el espacio de columnas de\(A\) a\(R^n\), y puede considerarse como una transformada inversa de\(A\).


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