2.3: El lapso de un conjunto de vectores

Nuestro trabajo en este capítulo nos permite reescribir un sistema lineal en la forma\(A\mathbf x = \mathbf b\text{.}\) Además de ser una forma más compacta de expresar un sistema lineal, esta forma nos permite pensar geométricamente en sistemas lineales ya que la multiplicación matricial se define en términos de combinaciones lineales de vectores.

Volvemos ahora, en esta y en la siguiente sección, a las dos preguntas fundamentales formuladas en la Pregunta 1.4.2.

• Existencia: ¿Hay solución a la ecuación?\(A\mathbf x=\mathbf b\text{?}\)
• Singularidad: Si hay una solución a la ecuación\(A\mathbf x=\mathbf b\text{,}\) ¿es única?

En esta sección, nos enfocamos en la cuestión de existencia e introducimos el concepto de span para proporcionar un marco para pensarlo geométricamente.

Vista previa Actividad 2.3.1. La existencia de soluciones.

1. Si la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es inconsistente, ¿qué podemos decir sobre los pivotes de la matriz aumentada?\(\left[\begin{array}{r|r} A & \mathbf b \end{array}\right]\text{?}\)
2. Considerar la matriz\(A\)
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & -2\\ -2 & 2 & 2\\ 1 & 1 & -3\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   \(\mathbf b=\threevec{2}{2}{5}\text{,}\)¿Si la ecuación es\(A\mathbf x = \mathbf b\) consistente? Si es así, encuentra una solución.
3. \(\mathbf b=\threevec{2}{2}{6}\text{,}\)¿Si la ecuación es\(A\mathbf x = \mathbf b\) consistente? Si es así, encuentra una solución.
4. Identificar las posiciones de pivote de\(A\text{.}\)
5. Para nuestras dos opciones del vector\(\mathbf b\text{,}\) una ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) tiene una solución y la otra no. ¿Qué característica de las posiciones de pivote de la matriz nos\(A\) dice que esperemos esto?

El lapso de un conjunto de vectores

En la actividad de vista previa, consideramos una\(3\times3\) matriz\(A\) y encontramos que la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) tiene una solución para algunos vectores\(\mathbf b\) en\(\mathbb R^3\) y no tiene solución para otros. Introduciremos un concepto llamado span que describe los vectores\(\mathbf b\) para los que hay una solución.

Ya que quisiéramos pensar en este concepto geométricamente, consideraremos una\(m\times n\) matriz\(A\) como compuesta por\(n\) vectores en es\(\mathbb R^m\text{;}\) decir,

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1&\ mathbf v_2&\ ldots&\ mathbf v_n\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Recuerda que la Proposición 2.2.4 dice que la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es consistente si y solo si podemos expresar\(\mathbf b\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\text{.}\)

Definición 2.3.1

El lapso de un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores.

En otras palabras, el lapso de\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) consiste en todos los vectores\(\mathbf b\) para los que la ecuación

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1&\ mathbf v_2&\ ldots&\ mathbf v_n\ end {array}\ derecha]\ mathbf x =\ mathbf b\ end {ecuación*}

es consistente.

El lapso de un conjunto de vectores tiene una interpretación geométrica atractiva. Recuerda que podemos pensar en una combinación lineal como una receta para caminar en Primero\(\mathbb R^m\text{.}\) movemos una cantidad prescrita en la dirección de\(\mathbf v_1\text{,}\) luego una cantidad prescrita en la dirección de\(\mathbf v_2\text{,}\) y así sucesivamente. Como mostrará la siguiente actividad, el lapso consiste en todos los lugares a los que podemos caminar.

Actividad 2.3.2.

Veamos dos ejemplos para desarrollar alguna intuición para el concepto de span.

1. Primero, consideraremos el conjunto de vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v =\ twovec {1} {2},\ mathbf w =\ twovec {-2} {-4}\ text {.} \ end {ecuación*}
   El siguiente diagrama se puede utilizar para construir combinaciones lineales cuyos pesos\(a\) y\(b\) pueden variarse usando los deslizadores en la parte superior. Los vectores\({\mathbf v}\) y\({\mathbf w}\) se dibujan en gris mientras que la combinación lineal $$ a {\ mathbf v} + b {\ mathbf w} $$ está en rojo.
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   1. Qué vector es la combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) con pesos:
      • \(a = 2\)y\(b=0\text{?}\)
      • \(a = 1\)y\(b=1\text{?}\)
      • \(a = 0\)y\(b=-1\text{?}\)
   2. ¿Se\(\twovec{2}{4}\) puede expresar el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\) Es el vector\(\twovec{2}{4}\) en el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\)
   3. ¿Se\(\twovec{3}{0}\) puede expresar el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\) Es el vector\(\twovec{3}{0}\) en el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\)
   4. Describir el conjunto de vectores en el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\)
   5. Para qué vectores\(\mathbf b\) hace la ecuación
      \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 1 & -2\\ 2 & -4\ end {array}\ right]\ mathbf x =\ mathbf b\ end {ecuación*}

      ¿Tienes una solución?

2. Ahora veremos un ejemplo donde
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v =\ twovec {2} {1},\ mathbf w =\ twovec {1} {2}\ text {.} \ end {ecuación*}
   De manera similar, el siguiente diagrama se puede utilizar para construir combinaciones lineales $$ a {\ mathbf v} + b {\ mathbf w}\ text {.} $$
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   1. Qué vector es la combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) con pesos:
      • \(a = 2\)y\(b=0\text{?}\)
      • \(a = 1\)y\(b=1\text{?}\)
      • \(a = 0\)y\(b=-1\text{?}\)
   2. ¿Se\(\twovec{-2}{2}\) puede expresar el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\) Es el vector\(\twovec{-2}{2}\) en el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\)
   3. ¿Se\(\twovec{3}{0}\) puede expresar el vector como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\) Es el vector\(\twovec{3}{0}\) en el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{?}\)
   4. Describir el conjunto de vectores en el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\)
   5. Para qué vectores\(\mathbf b\) hace la ecuación
      \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 1\\ 1 & 2\ end {array}\ right]\ mathbf x =\ mathbf b\ end {ecuación*}

      ¿Tienes una solución?

Consideremos el primer ejemplo en la actividad anterior. Aquí, los vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) son múltiplos escalares entre sí, lo que significa que se encuentran en la misma línea. Cuando formamos combinaciones lineales, se nos permite caminar solo en la dirección de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{,}\) lo que significa que estamos limitados a permanecer en esta misma línea. Por lo tanto, el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) consiste únicamente en esta línea.

Figura 2.3.2.

Con esta elección de vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{,}\) todas las combinaciones lineales se encuentran en la línea mostrada. Esta línea, por lo tanto, es el lapso de los vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\)

Podemos ver esto algebraicamente ya que el vector\(\mathbf w = -2\mathbf v\text{.}\) Consecuentemente, cuando formamos una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{,}\) vemos que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} a\ mathbf v + b\ mathbf w & {} = {} a\ mathbf v + b (-2\ mathbf v)\\ & {} = {} (a-2b)\ mathbf v\\ end {alineado}\ text {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto, cualquier combinación lineal de\(\mathbf v\) y se\(\mathbf w\) reduce a un múltiplo escalar de\(\mathbf v\text{,}\) y hemos visto que los múltiplos escalares de un vector distinto de cero forman una línea.

En el segundo ejemplo, sin embargo, los vectores no son múltiplos escalares entre sí, y vemos que podemos construir cualquier vector\(\mathbb R^2\) como una combinación lineal de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\)

Figura 2.3.3.

Con esta elección de vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{,}\) somos capaces de formar cualquier vector en\(\mathbb R^2\) como una combinación lineal. Por lo tanto, el lapso de los vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) es todo el plano,\(\mathbb R^2\text{.}\)

Una vez más, podemos ver esto algebraicamente. Preguntar si el vector\(\mathbf b\) está en el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) es lo mismo que preguntar si el sistema lineal

\ begin {ecuation*}\ begin {aligned}\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf v &\ mathbf w\ end {array}\ right]\ mathbf x & {} = {}\ mathbf b\\\\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 1\\ 1 & 2\\ end {array}\ derecha]\ mathbf x & {} = {}\ mathbf b\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

es consistente.

La matriz aumentada para este sistema es

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r} 2 & 1 & *\\ 1 & 2 & *\\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr|r} 1 & 0 & *\\ 0 & *\\ 0 & *\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Dado que es imposible obtener un pivote en la columna más a la derecha, sabemos que este sistema es consistente sin importar cuál sea el vector\(\mathbf b\). Por lo tanto, cada vector\(\mathbf b\) en\(\mathbb R^2\) está en el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\text{.}\)

En este caso, observe que la forma escalón de fila reducida de la matriz

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf v &\ mathbf w\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 1\\ 1 & 2\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\\ 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

tiene un pivote en cada fila. Cuando esto sucede, no es posible que ninguna matriz aumentada tenga un pivote en la columna más a la derecha. Por lo tanto, el sistema lineal es consistente para cada vector\(\mathbf b\text{,}\), lo que implica que el lapso de\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) es\(\mathbb R^2\text{.}\)

Notación 2.3.4.

Denotaremos el lapso del conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) por\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n}\text{.}\)

Posiciones de pivote y palmo

En la actividad anterior, vimos dos ejemplos, ambos considerados dos vectores\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) en\(\mathbb R^2\text{.}\) En un ejemplo, el\(\laspan{\mathbf v,\mathbf w}\) consistió en una línea; en el otro, el\(\laspan{\mathbf v,\mathbf w}=\mathbb R^2\text{.}\) Nos gustaría poder distinguir estas dos situaciones de una manera más algebraica. Después de todo, tendremos que poder tratar con vectores en muchas más dimensiones donde no podremos dibujar cuadros.

La clave se encuentra observando las posiciones de pivote de la matriz\(\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \ldots\mathbf v_n \end{array}\right] \text{.}\) En el primer ejemplo, la matriz cuyas columnas son\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) es

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 1& -2\\ 2& -4\\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr} 1& -2\\ 0& 0\\ end {array}\\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

que tiene exactamente una posición de pivote. Encontramos que\(\laspan{\mathbf v,\mathbf w}\) el era una línea, en este caso.

En el segundo ejemplo, esta matriz es

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 2& 1\\ 1& 2\\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr} 1& 0\\ 0& 1\\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

que tiene dos posiciones de pivote. Aquí, encontramos\(\laspan{\mathbf v,\mathbf w}=\mathbb R^2\text{.}\)

Estos ejemplos apuntan al hecho de que el tamaño del tramo está relacionado con el número de posiciones de pivote. Desarrollaremos esta idea de manera más completa en la Sección 2.4 y\ (\ mathbb R^p\)” href=” /sec-subspaces.html “>Sección 3.5. Por ahora, sin embargo, examinaremos las posibilidades en\(\mathbb R^3\text{.}\)

Actividad 2.3.3.

En esta actividad, veremos el lapso de conjuntos de vectores en\(\mathbb R^3\text{.}\)

1. Supongamos\(v=\threevec{1}{2}{1}\text{.}\) Dar una descripción escrita\(\laspan{v}\) y un bosquejo aproximado de ella a continuación.
   
2. Consideremos ahora los dos vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf e_1 =\ threevec {1} {0} {0},\ mathbf e_2 =\ threevec {0} {1} {0}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Esboza los vectores a continuación. Luego dé una descripción escrita de la misma\(\laspan{\mathbf e_1,\mathbf e_2}\) y un bosquejo aproximado de ella a continuación.

   

   Veamos ahora esto algebraicamente escribiendo escribir\(\mathbf b = \threevec{b_1}{b_2}{b_3}\text{.}\) Determinar las condiciones en\(b_1\text{,}\)\(b_2\text{,}\) y\(b_3\) así que\(\mathbf b\) está en\(\laspan{\mathbf e_1,\mathbf e_2}\) considerando el sistema lineal

   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf e_1 &\ mathbf e_2\\ end {array}\ right]\ mathbf x =\ mathbf b\ end {ecuación*}

   o

   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\\\ 0 & 1\\ 0 & 0\\\ end {array}\ right]\ mathbf x =\ threevec {b_1} {b_2} {b_3}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Explica cómo se relaciona esto con tu boceto de\(\laspan{\mathbf e_1,\mathbf e_2}\text{.}\)

3. Considerar los vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {1} {1} {-1},\ mathbf v_2 =\ threevec {0} {2} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}
   1. Es el vector\(\mathbf b=\threevec{1}{-2}{4}\) en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{?}\)
   2. Es el vector\(\mathbf b=\threevec{-2}{0}{3}\) en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{?}\)
   3. Dar una descripción escrita de\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{.}\)
4. Considerar los vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {1} {1} {-1},\ mathbf v_2 =\ threevec {0} {2} {1},\ mathbf v_3 =\ threevec {1} {-2} {4}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Forme la matriz\(\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \mathbf v_3 \end{array}\right]\) y encuentre su forma de escalón de fila reducida.

   ¿Qué te dice esto sobre\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{?}\)
5. Si un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) abarca\(\mathbb R^3\text{,}\) qué se puede decir sobre los pivotes de la matriz\(\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \ldots& \mathbf v_n \end{array}\right]\text{?}\)
6. ¿Cuál es el menor número de vectores de tal manera que\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n} = \mathbb R^3\text{?}\)

Esta actividad nos muestra los tipos de conjuntos que pueden aparecer como el lapso de un conjunto de vectores en\(\mathbb R^3\text{.}\)

• Primero, con un solo vector, todas las combinaciones lineales son simplemente múltiplos escalares de ese vector, lo que crea una línea.
  
  Observe que la matriz formada por este vector tiene un pivote, al igual que en nuestro ejemplo anterior en\(\mathbb R^2\text{.}\)
  \ begin {ecuación*}\ threevec {1} {2} {1}\ sim\ threevec {1} {0} {0}\ text {.} \ end {ecuación*}
• Cuando consideramos combinaciones lineales de los vectores
  \ begin {ecuación*}\ mathbf e_1 =\ threevec {1} {0} {0},\ mathbf e_2 =\ threevec {0} {1} {0}\ text {,}\ end {ecuación*}

  debemos obtener vectores de la forma

  \ begin {ecuación*} a\ mathbf e_1 + b\ mathbf e_2 = a\ threevec {1} {0} {0} +b\ threevec {0} {1} {0} =\ threevec {a} {b} {0}\ text {.} \ end {ecuación*}

  Dado que el tercer componente es cero, estos vectores forman el plano\(z=0\text{.}\)

  
  Observe aquí que la matriz compuesta por los vectores tiene dos posiciones de pivote.
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
• Del mismo modo, el lapso de los vectores
  \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {1} {1} {-1},\ mathbf v_2 =\ threevec {0} {2} {1}\ text {,}\ end {ecuación*}

  formará un avión.

  
  Vimos un vector\(\mathbf b\) que no estaba en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\) y otro que está.
  

  
  Una vez más, la matriz
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\\ 1 & 2\\ -1 & 1\\ end {array}\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\ 0 &\\ 0 & 0\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

  tiene dos posiciones de pivote.

• Finalmente, nos fijamos en un conjunto de vectores cuya matriz
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ mathbf v_3\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & -2\\ -1 & 1 & 4\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

  tiene tres posiciones de pivote, una en cada fila. Esto es significativo porque significa que si consideramos una matriz aumentada

  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 1 & *\\ 1 & 2 & -2 & *\\ -1 & 1 & 4 & *\\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 0 & *\\ 0 & *\ 0 & 0 & 1 & *\\\ end {array}\ derecha]\ text {,} \ end {ecuación*}

  no puede haber una posición de pivote en la columna más a la derecha. Este sistema lineal es consistente para cada vector\(\mathbf b\text{,}\) que nos dice que\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3} = \mathbb R^3\text{.}\)

Para resumir, observamos las posiciones de pivote en la matriz cuyas columnas fueron los vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\text{.}\) Encontramos que con

• una posición de pivote, el tramo era una línea.
• dos posiciones de pivote, el lapso fue un plano.
• tres posiciones de pivote, el lapso fue\(\mathbb R^3\text{.}\)

Una vez más, desarrollaremos estas ideas de manera más completa en las secciones siguientes y subsiguientes. Sin embargo, vimos que, al considerar vectores en\(\mathbb R^3\text{,}\) una posición de pivote en cada fila implicaba que el lapso de los vectores es\(\mathbb R^3\text{.}\) El mismo razonamiento se aplica de manera más general.

Proposición 2.3.5.

Supongamos que tenemos vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) en\(\mathbb R^m\text{.}\) Entonces\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n}=\mathbb R^m\) si y solo si la matriz\(\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \ldots& \mathbf v_n \end{array}\right]\) tiene una posición de pivote en cada fila.

Esto nos dice algo importante sobre el número de vectores necesarios para abarcar\(\mathbb R^m\text{.}\) Supongamos que tenemos\(n\) vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) que abarcan\(\mathbb R^m\text{.}\) La proposición nos dice que la matriz\(A = \left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2\ldots\mathbf v_n \end{array}\right]\) tiene una posición de pivote en cada fila, como en esta matriz de escalón de fila reducida.

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrrrr} 1 & 0 & * & 0 & * & 0\\ 0 & 1 & * & 0 & * & 0 & * & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ end {array}\ derecho]\ text {.} \ end {ecuación*}

Dado que una matriz puede tener como máximo una posición de pivote en una columna, debe haber al menos tantas columnas como filas, lo que implica que\(n\geq m\text{.}\)

Por ejemplo, si tenemos un conjunto de vectores que abarcan debe\(\mathbb R^{632}\text{,}\) haber al menos 632 vectores en el conjunto.

Proposición 2.3.6.

Si un conjunto de vectores abarcan debe\(\mathbb R^m\text{,}\) haber al menos\(m\) vectores en el conjunto.

Esto tiene sentido intuitivamente. Hemos pensado en una combinación lineal de un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) como resultado de caminar una cierta distancia en la dirección de\(\mathbf v_1\text{,}\) seguido de caminar una cierta distancia en la dirección de\(\mathbf v_2\text{,}\) y así sucesivamente. Si\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n} = \mathbb R^m\text{,}\) esto significa que podemos caminar a cualquier punto en el\(\mathbb R^m\) uso de las direcciones\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\text{.}\) Tiene sentido que necesitaríamos al menos\(m\) direcciones para darnos la flexibilidad necesaria para llegar a cualquier punto en\(\mathbb R^m\text{.}\)

Resumen

Definimos el lapso de un conjunto de vectores y desarrollamos cierta intuición para este concepto a través de una serie de ejemplos.

• El lapso de un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es el conjunto de combinaciones lineales de los vectores. Denotamos el lapso por\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n}\text{.}\)
• Un vector\(\mathbf b\) está en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n}\) si un solo si el sistema lineal
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1&\ mathbf v_2&\ ldots\ mathbf v_n\ end {array}\ derecha]\ mathbf x =\ mathbf b\ end {ecuación*}

  es consistente.

• Si la\(m\times n\) matriz
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1&\ mathbf v_2&\ ldots\ mathbf v_n\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

  tiene un pivote en cada fila, entonces el lapso de estos vectores es\(\mathbb R^m\text{;}\) decir,\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n} = \mathbb R^m\text{.}\)

• Cualquier conjunto de vectores que abarque\(\mathbb R^m\) debe tener al menos\(m\) vectores.

Ejercicios 2.3.4Ejercicios

1

En este ejercicio, consideraremos el lapso de algunos conjuntos de vectores bidimensionales y tridimensionales.

1. Considerar los vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ twovec {1} {-2},\ mathbf v_2 =\ twovec {4} {3}\ text {.} \ end {ecuación*}
   1. Está\(\mathbf b = \twovec{2}{1}\) en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{?}\)
   2. Dar una descripción escrita de\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{.}\)
2. Considerar los vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ threevec {2} {1} {3},\ mathbf v_2=\ threevec {-2} {0} {2},\ mathbf v_3=\ threevec {6} {1} {-1}\ text {.} \ end {ecuación*}
   1. Es el vector\(\mathbf b=\threevec{-10}{-1}{5}\) en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{?}\)
   2. Es el vector\(\mathbf v_3\) en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{?}\)
   3. Es el vector\(\mathbf b=\threevec{3}{3}{-1}\) en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{?}\)
   4. Dar una descripción escrita de\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{.}\)

2

Proporcione una justificación para su respuesta a las siguientes preguntas.

1. Supongamos que tienes un conjunto de vectores ¿\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\text{.}\)Puedes garantizar que\(\zerovec\) está en\(\laspan{\mathbf v_1\,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n}\text{?}\)
2. Supongamos que\(A\) es una\(m \times n\) matriz. ¿Se puede garantizar que la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\) es consistente?
3. Qué es\(\laspan{\zerovec,\zerovec,\ldots,\zerovec}\text{?}\)

3

Para ambas partes de esta exericse, dar una descripción escrita de conjuntos de los vectores\(\mathbf b\) e incluir un boceto.

1. Para qué vectores\(\mathbf b\) en\(\mathbb R^2\) es la ecuación
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 3 & -6\\ -2 & 4\\\ end {array}\ derecha]\ mathbf x =\ mathbf b\ end {ecuación*}

   ¿consistente?

2. Para qué vectores\(\mathbf b\) en\(\mathbb R^2\) es la ecuación
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 3 & -6\\ -2 & 2\\\ end {array}\ right]\ mathbf x =\ mathbf b\ end {ecuación*}

   ¿consistente?

4

Considere las siguientes matrices:

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} 3 & 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 3 & 7\\ 3 & -2 & 1 & 5\\ -1 & 2 & 2 & 3\\ end {array}\\ derecha], B =\ left [\ begin {array} {rrrr} 3 & 0 & -1 & 4\\ 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 3 & -1\\ 3 & -2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 2 & 1\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Hacer las columnas de\(A\) span\(\mathbb R^4\text{?}\) Hacer las columnas de\(B\) span\(\mathbb R^4\text{?}\)

5

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta. A lo largo de todo, asumiremos que la matriz\(A\) tiene columnas es\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\text{;}\) decir,

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1&\ mathbf v_2&\ ldots&\ mathbf v_n\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Si la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es consistente, entonces\(\mathbf b\) está en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n}\text{.}\)
2. La ecuación siempre\(A\mathbf x = \mathbf v_1\) es consistente.
3. Si\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\)\(\mathbf v_3\text{,}\) y\(\mathbf v_4\) son vectores en\(\mathbb R^3\text{,}\) entonces su lapso es\(\mathbb R^3\text{.}\)
4. Si se\(\mathbf b\) puede expresar como una combinación lineal de\(\mathbf v_1, \mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\text{,}\) entonces\(\mathbf b\) está en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n}\text{.}\)
5. Si\(A\) es una\(8032\times 427\) matriz, entonces el lapso de las columnas de\(A\) es un conjunto de vectores en\(\mathbb R^{427}\text{.}\)

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Este ejercicio le pide construir algunas matrices cuyas columnas abarcan un conjunto dado.

1. Construir una\(3\times3\) matriz cuyas columnas abarquen\(\mathbb R^3\text{.}\)
2. Construir una\(3\times3\) matriz cuyas columnas abarquen un plano en\(\mathbb R^3\text{.}\)
3. Construir una\(3\times3\) matriz cuyas columnas abarquen una línea en\(\mathbb R^3\text{.}\)

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Proporcione una justificación para su respuesta a las siguientes preguntas.

1. Supongamos que tenemos vectores en\(\mathbb R^8\text{,}\)\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_{10}\text{,}\) cuyo lapso es\(\mathbb R^8\text{.}\) Puede cada vector\(\mathbf b\) en\(\mathbb R^8\) ser escrito como una combinación lineal de\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_{10}\text{?}\)
2. Supongamos que tenemos vectores en\(\mathbb R^8\text{,}\)\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_{10}\text{,}\) cuyo lapso es\(\mathbb R^8\text{.}\) ¿Se\(\mathbb R^8\) puede escribir cada vector\(\mathbf b\) de manera única como una combinación lineal de\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_{10}\text{?}\)
3. Hacer los vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf e_1=\ threevec {1} {0} {0},\ mathbf e_2=\ threevec {0} {1} {0},\ mathbf e_3=\ threevec {0} {0} {0} {1}\ end {ecuación*}

   span\(\mathbb R^3\text{?}\)

4. Supongamos que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) lapso\(\mathbb R^{438}\text{.}\) ¿Qué puedes garantizar sobre el valor de\(n\text{?}\)
5. Puede 17 vectores en\(\mathbb R^{20}\) lapso\(\mathbb R^{20}\text{?}\)

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La siguiente observación será útil en esta exericse. Si queremos encontrar una solución a la ecuación, primero\(AB\mathbf x = \mathbf b\text{,}\) podríamos encontrar una solución a la ecuación\(A\yvec = \mathbf b\) y luego encontrar una solución a la ecuación\(B\mathbf x = \yvec\text{.}\)

Supongamos que\(A\) es una\(3\times 4\) matriz cuyas columnas abarcan\(\mathbb R^3\) y\(B\) es una\(4\times 5\) matriz. En este caso, podemos formar el producto\(AB\text{.}\)

1. Cuáles son las dimensiones del producto\(AB\text{?}\)
2. ¿Puedes garantizar que las columnas de\(AB\) span\(\mathbb R^3\text{?}\)
3. Si sabes adicionalmente que el lapso de las columnas de\(B\) es\(\mathbb R^4\text{,}\) puedes garantizar que las columnas de\(AB\) span\(\mathbb R^3\text{?}\)

9

Supongamos que\(A\) es una\(12\times12\) matriz y que, para algún vector\(\mathbf b\text{,}\) la ecuación\(A\mathbf x=\mathbf b\) tiene una solución única.

1. ¿Qué puedes decir sobre las posiciones de pivote de\(A\text{?}\)
2. ¿Qué se puede decir sobre el lapso de las columnas de\(A\text{?}\)
3. Si\(\mathbf c\) hay algún otro vector en\(\mathbb R^{12}\text{,}\) qué se puede concluir sobre la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf c\text{?}\)
4. ¿Qué puede usted sobre el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x =\zerovec\text{?}\)

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Supongamos que

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ fourvec {3} {1} {3} {-1},\ mathbf v_2 =\ fourvec {0} {-1} {-2} {2},\ mathbf v_3 =\ fourvec {-3} {-3} {-7} {5}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Es\(\mathbf v_3\) una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{?}\) Si es así, encontrar pesos tales que\(\mathbf v_3 = a\mathbf v_1+b\mathbf v_2\text{.}\)
2. Mostrar que una combinación lineal
   \ begin {ecuación*} a\ mathbf v_1 + b\ mathbf v_2 + c\ mathbf v_3\ end {ecuación*}

   se puede reescribir como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

3. Explicar por qué\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3} = \laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{.}\)

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Como se define en esta sección, el lapso de un conjunto de vectores se genera tomando todas las combinaciones lineales posibles de esos vectores. Esta exericse demostrará el hecho de que el span también se puede realizar como el espacio de solución a un sistema lineal.

Consideraremos los vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ threevec {1} {0} {-2},\ mathbf v_2=\ threevec {2} {1} {0},\ mathbf v_3=\ threevec {1} {1} {2}\ end {ecuación*}

1. Es cada vector en\(\mathbb R^3\) en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{?}\) Si no, describir el lapso.
2. Para describir\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\) como el espacio de solución de un sistema lineal, escribiremos
   \ begin {ecuación*}\ mathbf b=\ tresevec {a} {b} {c}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Si\(\mathbf b\) está en\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{,}\) entonces el sistema lineal correspondiente a la matriz aumentada

   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} 1 & 2 & 1 & a\\ 0 & 1 & 1 & b\\ -2& 0 & 2 & c\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   debe ser consistente. Esto significa que un pivote no puede ocurrir en la columna más a la derecha. Realice operaciones de fila para poner esta matriz aumentada en forma triangular. Ahora identifica una ecuación en\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) que nos dice cuándo no hay pivote en la columna más a la derecha. El espacio de solución a esta ecuación describe\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{.}\)

3. En este ejemplo, la matriz formada por los vectores\(\left[\begin{array}{rrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \mathbf v_2 \\ \end{array}\right]\) tiene dos posiciones de pivote. Supongamos que tuviéramos que considerar otro ejemplo en el que esta matriz solo había tenido una posición de pivote. ¿Cómo habría cambiado esto el sistema lineal que describe\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{?}\)