2.4: Independencia lineal

En la sección anterior, estudiamos nuestra pregunta sobre la existencia de soluciones a un sistema lineal, indagando sobre el lapso de un conjunto de vectores. En particular, el lapso de un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es el conjunto de vectores\(\mathbf b\) para el cual\(\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \ldots& \mathbf v_n \end{array}\right] \mathbf x = \mathbf b\) existe una solución al sistema lineal.

En esta sección, nuestro enfoque se centra en la singularidad de las soluciones de un sistema lineal, la segunda de nuestras dos preguntas fundamentales formuladas en la Pregunta 1.4.2. Esto nos llevará al concepto de independencia lineal.

Dependencia lineal

En la sección anterior, vimos algunos ejemplos del lapso de conjuntos de vectores en\(\mathbb R^3\text{.}\) Vimos un ejemplo en el que el lapso de tres vectores formaba un plano. En otro, el lapso de tres vectores formados\(\mathbb R^3\text{.}\) Nos gustaría entender la diferencia en estos dos ejemplos.

Vista previa Actividad 2.4.1.

Comencemos esta actividad estudiando el lapso de dos conjuntos diferentes de vectores.

1. Considere los siguientes vectores en\(\mathbb R^3\text{:}\)
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ threevec {0} {-1} {2},\ mathbf v_2=\ threevec {3} {1} {-1},\ mathbf v_3=\ threevec {2} {0} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Describir el lapso de estos vectores,\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{.}\)
2. Ahora consideraremos un conjunto de vectores que se parece mucho al primer conjunto:
   \ begin {ecuación*}\ mathbf w_1=\ threevec {0} {-1} {2},\ mathbf w_2=\ threevec {3} {1} {-1},\ mathbf w_3=\ threevec {3} {0} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Describir el lapso de estos vectores,\(\laspan{\mathbf w_1,\mathbf w_2,\mathbf w_3}\text{.}\)
3. Mostrar que el vector\(\mathbf w_3\) es una combinación lineal de\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\) encontrando pesos tales que
   \ begin {ecuación*}\ mathbf w_3 = a\ mathbf w_1 + b\ mathbf w_2\ texto {.} \ end {ecuación*}
4. Explicar por qué cualquier combinación lineal de\(\mathbf w_1\text{,}\)\(\mathbf w_2\text{,}\) y\(\mathbf w_3\text{,}\)
   \ begin {ecuación*} c_1\ mathbf w_1 + c_2\ mathbf w_2 + c_3\ mathbf w_3\ end {ecuación*}

   se puede escribir como una combinación lineal de\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\text{.}\)

5. Explicar por qué
   \ begin {ecuación*}\ laspan {\ mathbf w_1,\ mathbf w_2,\ mathbf w_3} =\ laspan {\ mathbf w_1,\ mathbf w_2}\ texto {.} \ end {ecuación*}

La actividad de vista previa nos presenta dos ejemplos similares que demuestran comportamientos bastante diferentes. En el primer ejemplo, los vectores\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\) span\(\mathbb R^3\text{,}\) que reconocemos porque la matriz\(\left[\begin{array}{rrr}\mathbf v_1& \mathbf v_2& \mathbf v_3 \end{array}\right]\) tiene una posición de pivote en cada fila para que aplique la Proposición 2.3.5.

Sin embargo, el segundo ejemplo es muy diferente. En este caso, la matriz\(\left[\begin{array}{rrr} \mathbf w_1& \mathbf w_2& \mathbf w_3 \end{array}\right]\) tiene solo dos posiciones de pivote:

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr}\ mathbf w_1 &\ mathbf w_2 &\ mathbf w_3\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 3 & 3\ -1 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 1\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & amp; 0\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Veamos esta matriz y cambiemos ligeramente nuestra perspectiva considerándola como una matriz aumentada.

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r}\ mathbf w_1 &\ mathbf w_2 &\ mathbf w_3\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr|r} 0 & 3 & 3\ -1 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 1\ end {array}\ right]\ sim left\ [\ begin {array} {rr|r} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

Al hacerlo, buscamos expresarnos\(\mathbf w_3\) como una combinación lineal de\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\text{.}\) De hecho, la forma de escalón de fila reducida nos muestra que

\ begin {ecuación*}\ mathbf w_3 =\ mathbf w_1 +\ mathbf w_2\ texto {.} \ end {ecuación*}

En consecuencia, podemos reescribir cualquier combinación lineal de\(\mathbf w_1\text{,}\)\(\mathbf w_2\text{,}\) y\(\mathbf w_3\) para que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} c_1\ mathbf w_1 + c_2\ mathbf w_2 + c_3\ mathbf w_3 & {} = {} = {} c_1\ mathbf w_1 + c_2\ mathbf w_2 + c_3 (\ mathbf w_1+\ mathbf w_2)\\ & {} = {} (c_1+c_3)\ mathbf w_1 + (c_2+c_3)\ mathbf w_2\\\ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

En otras palabras, cualquier combinación lineal de\(\mathbf w_1\text{,}\)\(\mathbf w_2\text{,}\) y\(\mathbf w_3\) puede escribirse como una combinación lineal usando solo los vectores\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\text{.}\) Dado que el lapso de un conjunto de vectores es simplemente el conjunto de sus combinaciones lineales, esto muestra que

\ begin {ecuación*}\ laspan {\ mathbf w_1,\ mathbf w_2,\ mathbf w_3} =\ laspan {\ mathbf w_1,\ mathbf w_2}\ texto {.} \ end {ecuación*}

En otras palabras, agregar el vector\(\mathbf w_3\) al conjunto de vectores\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\) no cambia el span.

Antes de explorar este tipo de comportamientos de manera más general, pensemos en esto desde un punto de vista geométrico. En el primer ejemplo, comenzamos con dos vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) y agregamos un tercer vector\(\mathbf v_3\text{.}\)

Porque el vector no\(\mathbf v_3\) es una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{,}\) proporciona una dirección para moverse que, al crear combinaciones lineales, es independiente de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) Los tres vectores por lo tanto abarcan\(\mathbb R^3\text{.}\)

En el segundo ejemplo, sin embargo, el tercer vector\(\mathbf w_3\) es una combinación lineal de\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\) por lo tanto ya se encuentra en el plano formado por estos dos vectores.

Ya que ya podemos movernos en esta dirección con solo los dos primeros vectores\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\text{,}\)\(\mathbf w_3\) sumar al conjunto no amplía el span. Sigue siendo un avión.

Con estos ejemplos en mente, haremos la siguiente definición.

Definición 2.4.1

Un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) se llama linealmente dependiente si uno de los vectores es una combinación lineal de los otros. De lo contrario, el conjunto de vectores se denomina linealmente independiente.

En aras de la integridad, decimos que un conjunto de vectores que contiene solo un vector es linealmente independiente si ese vector no es el vector cero,\(\zerovec\text{.}\)

Cómo reconocer la dependencia lineal

Actividad 2.4.2.

Nos gustaría desarrollar un medio de detección cuando un conjunto de vectores es linealmente dependiente. Estas preguntas señalarán el camino.

1. Supongamos que tenemos cinco vectores en\(\mathbb R^4\) esa forma las columnas de una matriz que tiene forma de escalón de fila reducida
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ mathbf v_3 &\ mathbf v_4 &\ mathbf v_5\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrrrr} 1 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 1 y 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & amp; 0 & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   ¿Es posible escribir uno de los vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_5\) como una combinación lineal de los demás? Si es así, mostrar explícitamente cómo aparece un vector como una combinación lineal de algunos de los otros vectores. ¿Este conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente?

2. Supongamos que tenemos otro conjunto de tres vectores en\(\mathbb R^4\) esa forma las columnas de una matriz que tiene forma de escalón de fila reducida
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr}\ mathbf w_1 &\ mathbf w_2 &\ mathbf w_3\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ end {array}\ derecho]\ texto {.} \ end {ecuación*}

   ¿Es posible escribir uno de estos vectores\(\mathbf w_1\text{,}\)\(\mathbf w_2\text{,}\)\(\mathbf w_3\) como una combinación lineal de los demás? Si es así, mostrar explícitamente cómo aparece un vector como una combinación lineal de algunos de los otros vectores. ¿Este conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente?

3. Al observar las posiciones de pivote, ¿cómo se puede determinar si las columnas de una matriz son linealmente dependientes o independientes?
4. Si un vector en un conjunto es el vector cero,\(\zerovec\text{,}\) ¿puede el conjunto de vectores ser linealmente independiente?
5. Supongamos que un conjunto de vectores en\(\mathbb R^{10}\) tiene doce vectores. ¿Es posible que este conjunto sea linealmente independiente?

A estas alturas, no debería ser demasiado sorprendente que las posiciones de pivote jueguen un papel importante en la determinación de si las columnas de una matriz son linealmente dependientes. Discutamos la actividad anterior para dejar esto claro.

• Consideremos el primer ejemplo de la actividad en la que tenemos vectores en\(\mathbb R^4\) tal que
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ mathbf v_3 &\ mathbf v_4 &\ mathbf v_5\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrrrr} 1 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 1 y 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & amp; 0 & 0 & 0 & 0\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

  Observe que la tercera columna no contiene una posición de pivote. Centrémonos en las tres primeras columnas y considerémoslas como una matriz aumentada:

  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ mathbf v_3\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr|r} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ end {matriz}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

  No hay un pivote en la columna más a la derecha así que sabemos que se\(\mathbf v_3\) puede escribir como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) De hecho, podemos leer los pesos de la matriz aumentada:

  \ begin {ecuación*}\ mathbf v_3 = -\ mathbf v_1 + 2\ mathbf v_2\ texto {.} \ end {ecuación*}

  Esto dice que el conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_5\) es linealmente dependiente.

  Esto apunta a la observación general de que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si la matriz que forman tiene una columna sin pivote.

  Además, la quinta columna de esta matriz no contiene un significado de pivote que\(\mathbf v_5\) pueda escribirse como una combinación lineal:

  \ begin {ecuación*}\ mathbf v_5 = 2\ mathbf v_1 + 3\ mathbf v_2 -\ mathbf v_4\ text {.} \ end {ecuación*}

  Este ejemplo muestra que los vectores en columnas que no contienen un pivote pueden expresarse como una combinación lineal de los vectores en columnas que sí contienen pivotes. En este caso, tenemos

  \ begin {ecuación*}\ laspan {\ mathbf v_1,\ mathbf v_2,\ mathbf v_3,\ mathbf v_4,\ mathbf v_5} =\ laspan {\ mathbf v_1,\ mathbf v_2,\ mathbf v_4}\ text {.} \ end {ecuación*}
• Por el contrario, el segundo conjunto de vectores que estudiamos produce una matriz con un pivote en cada columna.
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr}\ mathbf w_1 &\ mathbf w_2 &\ mathbf w_3\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ end {array}\ derecho]\ texto {.} \ end {ecuación*}

  Si volvemos a interpretar esto como una matriz aumentada, vemos que el sistema lineal es inconsistente ya que hay un pivote en la columna más a la derecha. Esto significa que\(\mathbf w_3\) no se puede expresar como una combinación lineal de\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\text{.}\)

  Del mismo modo,\(\mathbf w_2\) no se puede expresar como una combinación lineal de\(\mathbf w_1\text{.}\) Además, si\(\mathbf w_2\) pudiera expresarse como una combinación lineal de\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_3\text{,}\) podríamos reorganizar esa expresión para escribir\(\mathbf w_3\) como una combinación lineal de\(\mathbf w_1\) y\(\mathbf w_2\text{,}\) que sabemos que es imposible.

  Por lo tanto, podemos concluir eso\(\mathbf w_1\text{,}\)\(\mathbf w_2\text{,}\) y\(\mathbf w_3\) formar un conjunto linealmente indpendent de vectores.

Esto lleva a la siguiente proposición.

Proposición 2.4.2.

Las columnas de una matriz son linealmente independientes si y solo si cada columna contiene una posición de pivote.

Esta condición impone una restricción sobre cuántos vectores podemos tener en un conjunto linealmente independiente. Aquí hay un ejemplo de la forma de escalón de fila reducida de una matriz que tiene columnas linealmente independientes. Observe que hay tres vectores en\(\mathbb R^5\) así que hay al menos tantas filas como columnas.

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

De manera más general, supongamos que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es un conjunto linealmente independiente de vectores en\(\mathbb R^m\text{.}\) Cuando estos vectores forman las columnas de una matriz, debe haber una posición de pivote en cada columna de la matriz. Dado que cada fila contiene como máximo una posición de pivote, el número de columnas no puede ser mayor que el número de filas. Esto significa que el número de vectores en un conjunto linealmente independiente no puede ser mayor que el número de dimensiones.

Proposición 2.4.3.

Un conjunto linealmente independiente de vectores\(\mathbb R^m\) puede contener no más que\(m\) vectores.

Esto dice, por ejemplo, que cualquier conjunto linealmente independiente de vectores en no\(\mathbb R^3\) puede contener más tres vectores. Una vez más, esto tiene sentido intuitivo. Por lo general, imaginamos tres direcciones independientes, como arriba/abajo, delantera/trasera, izquierda/derecha, en nuestro mundo tridimensional. Esta proposición nos dice que no puede haber más direcciones independientes.

La ecuación homogénea

Dada una\(m\times n\) matriz\(A\text{,}\) llamamos a la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\) una ecuación homogénea. Las soluciones a esta ecuación reflejan si las columnas de\(A\) son linealmente independientes o no.

Actividad 2.4.3. Independencia lineal y ecuaciones homogéneas.

1. Explicar por qué la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\) es consistente sin importar la matriz\(A\text{.}\)
2. Considerar la matriz
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 2 & 0\\ -1 & 0 & -2\\ 2 & 1 & 1 & 1\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   cuyas columnas denotamos por\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{.}\) ¿Son los vectores\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\) linealmente dependientes o independientes?
3. Dar una descripción del espacio de solución de la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\)
4. Sabemos que\(\zerovec\) es una solución a la ecuación homogénea. Encuentra otra solución que sea diferente de\(\zerovec\text{.}\) Usa tu solución para encontrar pesos\(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\) y\(c_3\) tal
   \ begin {ecuación*} c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 + c_3\ mathbf v_3 =\ zerovec\ text {.} \ end {ecuación*}
5. Usa la expresión que encontraste en la parte anterior para escribir uno de los vectores como una combinación lineal de los demás.

Para cualquier matriz\(A\text{,}\) sabemos que la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\) tiene al menos una solución, es decir, el vector\(\mathbf x = \zerovec\text{.}\) Nosotros llamamos a esto la solución trivial a la ecuación homogénea para que cualquier otra solución que exista sea una\(nontrivial\) solución.

Si no hay solución no trivial, entonces\(A\mathbf x = \zerovec\) tiene exactamente una solución. No puede haber variables libres en una descripción del espacio de solución por lo que\(A\) debe tener una posición de pivote en cada columna. En este caso, las columnas de\(A\) deben ser linealmente independientes.

Si, sin embargo, hay una solución no trivial, entonces hay infinitamente muchas soluciones por lo que\(A\) debe tener una columna sin una posición de pivote. De ahí que las columnas de\(A\) sean linealmente dependientes.

Ejemplo 2.4.4

Haremos más explicada la conexión entre soluciones a la ecuación homogénea y la independencia lineal de las columnas mirando un ejemplo. En particular, demostraremos cómo una solución no trivial a la ecuación homogénea muestra que una columna de\(A\) es una combinación lineal de las otras. Con la matriz\(A\) en la actividad anterior, la ecuación homogénea tiene la forma de escalón de fila reducida

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr|r} 3 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & -2 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\ end {array}\ derecha]\ texto {,}\ fin {ecuación*}

lo que implica que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineada} {4} x_1 & & & {} + {} & 2x_3 & {} = {} & 0\\ & & x_2 & {} - {} & 3x_3 & {} = {} & 0\\\ end {alineada}\ texto {.} \ end {ecuación*}

En cuanto a la variable libre\(x_3\text{,}\) tenemos

\ begin {equation*}\ begin {aligned} x_1 & {} = {} -2x_3\\ x_2 & {} = {} 3x_3\\ end {alineado}\ text {.} \ end {ecuación*}

Cualquier elección por un valor de la variable libre\(x_3\) produce una solución así que vamos a elegir, para mayor comodidad, entonces\(x_3=1\text{.}\) tenemos\((x_1,x_2,x_3) = (-2,3,1)\text{.}\)

Ya que\((-2,3,1)\) es una solución a la ecuación homogénea\(A\mathbf x=\zerovec\text{,}\) esta solución da pesos para una combinación lineal de las columnas de\(A\)\(\zerovec\text{.}\) que crean Es decir,

\ begin {ecuación*} -2\ mathbf v_1 + 3\ mathbf v_2 +\ mathbf v_3 =\ zerovec\ text {,}\ end {ecuación*}

que reescribimos como

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_3 = 2\ mathbf v_1 - 3\ mathbf v_2\ texto {.} \ end {ecuación*}

Como demuestra este ejemplo, hay muchas maneras en las que podemos ver la cuestión de la independencia lineal. Vamos a registrar algunas de estas formas en la siguiente proposición.

Proposición 2.4.5.

Para una matriz\(A = \left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \ldots& \mathbf v_n \end{array}\right] \text{,}\) las siguientes declaraciones son equivalentes:

• Las columnas de\(A\) son linealmente dependientes.
• Uno de los vectores del conjunto\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es una combinación lineal de los otros.
• La matriz\(A\) tiene una columna sin una posición de pivote.
• La ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\) tiene una solución no trivial.
• Hay pesos\(c_1,c_2,\ldots,c_n\text{,}\) no todos los cuales son cero, de tal manera que
  \ begin {ecuación*} c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 +\ ldots + c_n\ mathbf v_n =\ zerovec\ text {.} \ end {ecuación*}

Resumen

En esta sección, desarrollamos el concepto de dependencia lineal de un conjunto de vectores. Al inicio del apartado, dijimos que este concepto abordaba la segunda de nuestras preguntas fundamentales, expresadas en la Pregunta 1.4.2, relativa a la singularidad de las soluciones a un sistema lineal. Vale la pena comparar los resultados de esta sección con los de la anterior para que queden claros los paralelismos entre ellos.

Como es habitual, vamos a escribir una matriz como una colección de vectores,

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1&\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\ end {array}\ right]. \ end {ecuación*}

Existencia

En la sección anterior, preguntamos si podíamos escribir un vector\(\mathbf b\) como una combinación lineal de las columnas de las\(A\text{,}\) cuales ocurre precisamente cuando\(A\mathbf x = \mathbf b\) existe una solución a la ecuación. Vimos que cada vector\(\mathbf b\) podría expresarse como una combinación lineal de las columnas de\(A\) cuando\(A\) tiene una posición de pivote en cada fila. En este caso, dijimos que el lapso de los vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es\(\mathbb R^m\text{.}\) Vimos que al menos se necesitan\(m\) vectores para abarcar\(\mathbb R^m\text{.}\)

Singularidad

En esta sección, estudiamos la singularidad de las soluciones a la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\text{,}\) que siempre es consistente. Cuando existe una solución no trivial, vimos que un vector del conjunto\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es una combinación lineal de los otros, en cuyo caso dijimos que el conjunto de vectores es linealmente dependiente. Esto sucede cuando la matriz\(A\) tiene una columna sin una posición de pivote. Vimos que no puede haber más que\(m\) vectores en un conjunto de vectores linealmente independientes en\(\mathbb R^m\text{.}\)

Para resumir los resultados específicos de esta sección, vimos que:

• Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno de los vectores es una combinación lineal de los otros.
• Un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si los vectores forman una matriz que tiene una posición de pivote en cada columna.
• Un conjunto de vectores linealmente independientes\(\mathbb R^m\) contiene no más que\(m\) vectores.
• Las columnas de la matriz\(A\) son linealmente dependientes si la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\) tiene una solución no trivial.
• Un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es linealmente dependiente si hay pesos,\(c_1,c_2,\ldots,c_n\text{,}\) no todos los cuales son cero, de tal manera que
  \ begin {ecuación*} c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 +\ ldots + c_n\ mathbf v_n =\ zerovec\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejercicios 2.4.5Ejercicios

1

Considera el conjunto de vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {1} {2} {1},\ mathbf v_2 =\ threevec {0} {1} {3},\ mathbf v_3 =\ threevec {2} {3} {-1},\ mathbf v_4 =\ threevec {-2} {4} {-1}\ text {}. \ end {ecuación*}

1. Explique por qué este conjunto de vectores es linealmente dependiente.
2. Escribe uno de los vectores como una combinación lineal de los demás.
3. Encuentra pesos\(c_1\text{,}\)\(c_2\text{,}\)\(c_3\text{,}\) y\(c_4\text{,}\) no todos son cero, de tal manera que
   \ begin {ecuación*} c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 + c_3\ mathbf v_3 + c_4\ mathbf v_4 =\ zerovec\ text {.} \ end {ecuación*}
4. Encuentre una solución no trivial a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\) donde\(A=\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \mathbf v_3& \mathbf v_4 \end{array}\right]\text{.}\)

2

Considerar los vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {2} {-1} {0},\ mathbf v_2 =\ threevec {1} {2} {1},\ mathbf v_3 =\ threevec {2} {-2} {3}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. ¿Estos vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes?
2. Describir el\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3}\text{.}\)
3. Supongamos que\(\mathbf b\) es un vector en\(\mathbb R^3\text{.}\) Explique por qué podemos garantizar que\(\mathbf b\) puede escribirse como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{.}\)
4. Supongamos que\(\mathbf b\) es un vector\(\mathbb R^3\text{.}\) en En cuántas formas\(\mathbf b\) se puede escribir como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\text{?}\)

3

Responda las siguientes preguntas y proporcione una justificación para sus respuestas.

1. Si los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) forman un conjunto linealmente dependiente, ¿un vector debe ser un múltiplo escalar del otro?
2. Supongamos que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es un conjunto linealmente independiente de vectores. ¿Qué se puede decir sobre la independencia lineal o dependencia de un subconjunto de estos vectores?
3. Supongamos que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es un conjunto linealmente independiente de vectores que forman las columnas de una matriz\(A\text{.}\) Si la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es inconsistente, qué se puede decir sobre la independencia lineal o dependencia del conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n,\mathbf b\text{?}\)

4

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta.

1. Si\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) son linealmente dependientes, entonces un vector es un múltiplo escalar de uno de los otros.
2. Si\(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_{10}\) son vectores en\(\mathbb R^5\text{,}\) entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente.
3. Si\(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_{5}\) son vectores en\(\mathbb R^{10}\text{,}\) entonces el conjunto de vectores es linealmente independiente.
4. Supongamos que tenemos un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) y que\(\mathbf v_2\) es un múltiplo escalar de\(\mathbf v_1\text{.}\) Entonces el conjunto es linealmente dependiente.
5. Supongamos que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) son linealmente independientes y forman las columnas de una matriz\(A\text{.}\) Si\(A\mathbf x = \mathbf b\) es consistente, entonces hay exactamente una solución.

5

Supongamos que tenemos un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4\) en\(\mathbb R^5\) que satisfacen la relación:

\ begin {ecuación*} 2\ mathbf v_1 -\ mathbf v_2 + 3\ mathbf v_3 +\ mathbf v_4 =\ zerovec\ end {ecuación*}

y supongamos que\(A\) es la matriz\(A=\left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1& \mathbf v_2& \mathbf v_3& \mathbf v_4 \end{array}\right] \text{.}\)

1. Encontrar una solución no trivial a la ecuación\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\)
2. Explique por qué la matriz\(A\) tiene una columna sin una posición de pivote.
3. Escribe uno de los vectores como una combinación lineal de los demás.
4. Explicar por qué el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

6

Supongamos que\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es un conjunto de vectores en\(\mathbb R^{27}\) esa forma las columnas de una matriz\(A\text{.}\)

1. Supongamos que los vectores abarcan\(\mathbb R^{27}\text{.}\) ¿Qué se puede decir del número de vectores\(n\) en este conjunto?
2. Supongamos en cambio que los vectores son linealmente independientes. ¿Qué se puede decir sobre el número de vectores\(n\) en este conjunto?
3. Supongamos que los vectores son ambos linealmente independientes y abarcan\(\mathbb R^{27}\text{.}\) ¿Qué se puede decir sobre el número de vectores en el conjunto?
4. Supongamos que los vectores son linealmente independientes y abarcan\(\mathbb R^{27}\text{.}\) Dado un vector\(\mathbf b\) en\(\mathbb R^{27}\text{,}\) qué se puede decir sobre el espacio de solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{?}\)

7

A continuación se dan algunas descripciones de conjuntos de vectores que forman las columnas de una matriz.\(A\text{.}\) Para cada descripción, dar una posible forma de escalón de fila reducida para\(A\) o indicar por qué no hay un conjunto de vectores que satisfagan la descripción al indicar por qué la matriz de escalón de fila reducida requerida no puede existir.

1. Un conjunto de 4 vectores linealmente independientes en\(\mathbb R^5\text{.}\)
2. Un conjunto de 4 vectores linealmente independientes en\(\mathbb R^4\text{.}\)
3. Un conjunto de 3 vectores que abarcan\(\mathbb R^4\text{.}\)
4. Un conjunto de 5 vectores linealmente independientes en\(\mathbb R^3\text{.}\)
5. Un conjunto de 5 vectores que abarcan\(\mathbb R^4\text{.}\)

8

Cuando exploramos la multiplicación de matrices en la Sección 2.2, vimos que algunas propiedades que son verdaderas para los números reales no son ciertas para las matrices. Este ejercicio investigará eso con más profundidad.

1. Supongamos que\(A\) y\(B\) son dos matrices y\(B \neq 0\text{,}\) eso\(AB = 0\text{.}\) Si que se puede decir sobre la independencia lineal de las columnas de\(A\text{?}\)
2. Supongamos que tenemos matrices\(A\text{,}\)\(B\) y\(C\) tal que\(AB = AC\text{.}\) Hemos visto que generalmente no podemos concluir que\(B=C\text{.}\) Si asumimos adicionalmente que\(A\) es una matriz cuyas columnas son linealmente independientes, explique por qué tal vez\(B = C\text{.}\) desee comenzar por reescribir el ecuación\(AB = AC\) como\(AB-AC = A(B-C) = 0\text{.}\)

9

Supongamos que\(k\) es un parámetro desconocido y considera el conjunto de vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {2} {0} {1},\ mathbf v_2 =\ threevec {4} {-2} {-1},\ mathbf v_1 =\ threevec {0} {2} {k}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. ¿Para qué valores de\(k\) es el conjunto de vectores linealmente dependiente?
2. Para qué valores de\(k\) abarca el conjunto de vectores\(\mathbb R^3\text{?}\)

10

Dado un conjunto de vectores linealmente dependientes, podemos eliminar algunos de los vectores para crear un conjunto de vectores más pequeño y linealmente independiente.

1. Supongamos que\(\mathbf w\) es una combinación lineal de los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\) explicar por qué\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2, \mathbf w} = \laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2}\text{.}\)
2. Considerar los vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {2} {-1} {0},\ mathbf v_2 =\ threevec {1} {2} {1},\ mathbf v_3 =\ threevec {-2} {6} {2},\ mathbf v_4 =\ threevec {7} {-1} {1}\ text {}. \ end {ecuación*}

   Escribe uno de los vectores como una combinación lineal de los demás. Encuentra un conjunto de tres vectores cuyo lapso sea el mismo que\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4}\text{.}\)

3. ¿Los tres vectores que te quedan son linealmente independientes? Si no, exprese uno de los vectores como una combinación lineal de los otros y encuentre un conjunto de dos vectores cuyo lapso sea el mismo que\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4}\text{.}\)
4. Dar una descripción geométrica de\(\laspan{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4}\) in\(\mathbb R^3\) como hicimos en la Sección 2.3.