2.5: Transformaciones matriciales

Las últimas secciones nos introdujeron en vectores y combinaciones lineales como un medio de pensar geométricamente sobre las soluciones a un sistema lineal. Usando la multiplicación matriz-vector, reescribimos un sistema lineal como una ecuación matricial\(A\mathbf x = \mathbf b\) y usamos los conceptos de span e independencia lineal para entender cuándo existen soluciones y cuándo son únicas.

En esta sección, exploraremos cómo la multiplicación matriz-vector define ciertos tipos de funciones, a las que llamamos transformaciones matriciales, similares a las encontradas en cursos previos de álgebra. En particular, desarrollaremos algunas herramientas algebraicas para pensar en transformaciones matriciales y veremos algunos ejemplos motivadores. En la siguiente sección, veremos cómo las transformaciones matriciales describen operaciones geométricas importantes y cómo se utilizan en la animación por computadora.

Vista previa Actividad 2.5.1.

Comenzaremos por considerar una situación más familiar; es decir, la función\(f(x) = x^2\text{,}\) que toma un número real\(x\) como entrada y produce su cuadrado\(x^2\) como salida.

1. Cuál es el valor de\(f(3)\text{?}\)
2. ¿Podemos resolver la ecuación\(f(x) = 4\text{?}\) Si es así, la solución es única?
3. ¿Podemos resolver la ecuación\(f(x) = -10\text{?}\) Si es así, la solución es única?
4. Croquis de una gráfica de la función\(f(x)=x^2\) en la Figura 2.5.1

   

Figura 2.5.1. Grafica la función\(f(x)=x^2\) anterior.

Recuerde que el rango de una función es el conjunto de todas las salidas posibles. Cuál es el rango de la función\(f\text{?}\)

Ahora consideraremos funciones que tienen la forma\(g(x)=mx\text{.}\) Dibuja una gráfica de la función\(g(x) = 2x\) a la izquierda en la Figura 2.5.2.

Figura 2.5.2. Gráficas de la función\(g(x)=2x\) y\(h(x) = -\frac13 x\text{.}\)

Dibuja una gráfica de la funcion\(h(x) = -\frac13 x\) a la derecha de la Figura 2.5.2.

Recuerda que componer dos funciones significa que usamos la salida de una función como entrada en la otra. Es decir,\(g\circ h(x) = g(h(x))\text{.}\) Qué función resulta de componer\(g\circ h(x)\text{?}\) ¿Cómo se relaciona la función compuesta con las dos funciones\(g\) y\(h\text{?}\)

Transformaciones matriciales

En la actividad de vista previa, consideramos funciones lineales simples, como\(g(x) = \frac12 x\) cuya gráfica es la línea que se muestra en la Figura 2.5.3. Construimos una función como esta eligiendo un número\(m\text{;}\) cuando se le da una entrada,\(x\text{,}\) la salida\(g(x) = mx\) se forma multiplicando\(x\) por\(m\text{.}\)

Figura 2.5.3. La gráfica de la función\(g(x) = \frac12 x\text{.}\)

En esta sección, consideraremos las funciones definidas a través de la multiplicación matriz-vector. Es decir, elegiremos una matriz\(A\text{;}\) cuando se le dé una entrada\(\mathbf x\text{,}\) la función\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) forma el producto\(A\mathbf x\) como su salida. Tal función se llama transformación matricial.

Actividad 2.5.2.

En esta actividad, veremos algunos ejemplos de transformaciones matriciales.

1. Para comenzar, supongamos que esa\(A\) es la matriz
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 1\\ 1 & 2\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Definimos la transformación matricial\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) para que

   \ begin {ecuación*} T\ left (\ twovec {-2} {3}\ derecha) = A\ twovec {-2} {3} =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 1\\ 1 & 2\\ end {array}\ derecha]\ twovec {-2} {3} =\ twovec {-1} {4}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   La función\(T\) toma el vector\(\twovec{-2}{3}\) como entrada y nos da\(\twovec{-1}{4}\) como salida.

   1. Qué es\(T\left(\twovec{1}{-2}\right)\text{?}\)
   2. Qué es\(T\left(\twovec{1}{0}\right)\text{?}\)
   3. Qué es\(T\left(\twovec{0}{1}\right)\text{?}\)
   4. ¿Hay un vector\(\mathbf x\) tal que\(T(\mathbf x) = \twovec{3}{0}\text{?}\)
2. Supongamos que\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) donde
   \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrrr} 3 & 3 & -2 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 1 & -3\\ -2 & 1 & 4 & -4\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
   1. ¿Cuál es la dimensión de los vectores\(\mathbf x\) que son entradas para\(T\text{?}\)
   2. ¿Cuál es la dimensión de los vectores\(T(\mathbf x)=A\mathbf x\) que son salidas?
   3. Describir los vectores\(\mathbf x\) para los cuales\(T(\mathbf x) = \zerovec\text{.}\)
3. Si\(A\) es la matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 \end{array}\right]\text{,}\) lo que es\(T\left(\twovec{0}{1}\right)\) en cuanto a los vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{?}\)
4. Supongamos que\(A\) es una\(3\times 2\) matriz y que\(T(\mathbf x)=A\mathbf x\text{.}\) si
   \ begin {ecuación*} T\ left (\ dovec {1} {0}\ derecha) =\ threevec {3} {-1} {1}, T\ left (\ twovec {0} {1}\ right) =\ threevec {2} {2} {-1}\ text {,}\ end {ecuación*}

   cual es la matriz\(A\text{?}\)

Discutamos algunos de los temas que aparecen en esta actividad. Primero, si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, podemos formar el producto de la matriz\(A\mathbf x\) cuando\(\mathbf x\) es un vector\(n\) -dimensional en\(\mathbb R^n\text{.}\) El producto resultante\(A\mathbf x\) es un vector\(m\) -dimensional en\(\mathbb R^m\text{.}\) Si\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{,}\) por lo tanto escribimos\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) significado\(T\) toma vectores\(\mathbb R^n\) como entradas y produce vectores en\(\mathbb R^m\) como salidas. Por ejemplo, si

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrrr} 4 & 0 & -3 & 2\\ 0 & 1 & 3 & 1\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

entonces\(T:\mathbb R^4\to\mathbb R^2\text{.}\)

Si conocemos la matriz\(A\text{,}\) entonces podemos formar la transformación matricial\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{.}\) Sin embargo, si solo conocemos los valores de la transformación matricial\(T\text{,}\) podemos reconstruir la matriz\(A\text{.}\) La clave es recordar que la multiplicación matriz-vector construye una combinación lineal. Por ejemplo, si\(A\) es una\(m\times2\) matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 \end{array}\right]\text{,}\) entonces

\ begin {ecuation*} T\ left (\ twovec {1} {0}\ right) =\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2\ end {array}\ derecha]\ twovec {1} {0} = 1\ mathbf v_1 + 0\ mathbf v_2 =\ mathbf v_1\ text {.} \ end {ecuación*}

Es decir, podemos encontrar la primera columna de\(A\) evaluando\(T\left(\twovec{1}{0}\right)\text{.}\) De igual manera, la segunda columna de\(A\) se encuentra evaluando\(T\left(\twovec{0}{1}\right)\text{.}\)

De manera más general, escribiremos

\ begin {ecuación*}\ mathbf e_1 =\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 0\\ vdots\\ 0\ end {array}\ right],\ mathbf e_2 =\ left [\ begin {array} {r} 0\\ 1\\ vdots\\ 0\ end {array}\ derecha],\ ldots,\ mathbf e_n =\ izquierda [\ begin {array} {r} 0\\ 0\\\ vdots\\ 1\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

para que

\ begin {ecuación*} T (\ mathbf e_j) =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\ end {array}\ derecha]\ mathbf e_j =\ mathbf v_j\ text {.} \ end {ecuación*}

Esto quiere decir que la\(j^{th}\) columna de\(A\) se encuentra evaluando\(T(\mathbf e_j)\text{.}\) Registramos este hecho en la siguiente proposición.

Proposición 2.5.4.

Si\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) es una transformación matricial dada por\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{,}\) entonces la matriz\(A\) tiene columnas es\(T(\mathbf e_j)\text{;}\) decir,

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} T (\ mathbf e_1) & T (\ mathbf e_2) &\ ldots & T (\ mathbf e_n)\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Veremos algunos ejemplos de transformaciones matriciales en la siguiente actividad.

Actividad 2.5.3.

Supongamos que trabajamos para una empresa que produce productos horneados, incluyendo pasteles, donas y eclairs. Nuestra compañía opera dos plantas, Planta 1 y Planta 2. En una hora de operación,

• La planta 1 produce 10 pasteles, 50 donas y 30 eclairs.
• La planta 2 produce 20 pasteles, 30 donas y 30 eclairs.

1. Si la planta 1 opera por\(x_1\) horas y la Planta 2 por\(x_2\) horas, ¿cuántos pasteles\(C\) produce la compañía? Cuantas donas\(D\text{?}\) Cuantos eclairs\(E\text{?}\)
2. Definimos una transformación matricial\(T(\mathbf x) = \threevec{C}{D}{E}\) donde\(\threevec{C}{D}{E}\) representa el número de productos horneados producidos cuando las plantas son operadas por tiempos\(\mathbf x=\twovec{x_1}{x_2}\text{.}\) Si\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{,}\) cuáles son las dimensiones de la matriz\(A\text{?}\)
3. Encuentra el vector\(T\left(\twovec{1}{0}\right)\) y el vector\(T\left(\twovec{0}{1}\right)\) y usa tus resultados para escribir la matriz\(A\text{.}\)
4. Si operamos la Planta 1 por 40 horas y la Planta 2 por 50 horas, ¿cuántos productos horneados hemos producido?
5. Supongamos que el departamento de mercadotecnia dice que necesitamos producir 1500 pasteles, 4700 donas y 3300 eclairs. ¿Es posible cumplir con esta orden? Si es así, ¿cuánto tiempo deben operar las dos plantas?
6. Consideremos ahora los ingredientes necesarios:
   • Cada pastel requiere 4 unidades de harina y y 2 unidades de azúcar.
   • Cada donut requiere 1 unidad de harina y 1 unidad de azúcar.
   • Cada eclair requiere 1 unidades de harina y 2 unidades de azúcar.

   Supongamos que hacemos\(C\) pasteles,\(D\) donas y\(E\) eclairs. ¿Cuántas unidades de harina\(F\) se requieren? Cuántas unidades de azúcar\(S\text{?}\)

7. Escribir una matriz\(B\) que defina la transformación matricial\(R\left(\threevec{C}{D}{E}\right) = \twovec{F}{S}\text{.}\)
8. Si la Planta 1 opera por 30 horas y la Planta 2 opera por 20 horas, ¿cuántas unidades de harina y azúcar se requieren?
9. Podemos considerar la transformación matricial\(P(\mathbf x) = \twovec{F}{S}\) que nos dice cuántas unidades de harina y azúcar se requieren cuando operamos las plantas durante\(x_1\) y\(x_2\) horas. Encuentra la matriz que define la transformación\(P\text{.}\)

En esta actividad se consideraron dos transformaciones matriciales y se construyó una tercera usando composición. Comenzamos con la transformación matricial\(T\) que nos indica el número de productos horneados producidos cuando las plantas son operadas por cierto tiempo. Si escribimos los tiempos como\(\mathbf x = \twovec{x_1}{x_2}\text{,}\) entonces\(\twovec{1}{0}\) representa la situación en la que la Planta 1 opera por una hora y la Planta 2 no es operada. Nos dicen que, en esta hora, la Planta 1 produce 10 pasteles, 50 donas y 30 eclairs. Por lo tanto, tenemos

\ begin {equation*} T\ left (\ twovec {1} {0}\ right) =\ threevec {10} {50} {30}\ text {.} \ end {ecuación*}

Del mismo modo,

\ comenzar {ecuación*} T\ izquierda (\ dovec {0} {1}\ derecha) =\ tresevec {20} {30} {30}\ texto {,}\ final {ecuación*}

que nos dice que la matriz\(A\) que define\(T\) es

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rr} 10 & 20\\ 50 & 30\\ 30 & 30\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

De la misma manera, utilizamos la transformación de matriz\(R\left(\threevec{C}{D}{E}\right) = \twovec{F}{S}\) para describir los ingredientes requeridos para hacer un cierto número de pasteles, donas y eclairs. Vemos que

\ begin {equation*} R\ left (\ threevec {1} {0} {0}\ right) =\ twovec {4} {2},\ qquad R\ left (\ threevec {0} {1} {0}\ right) =\ twovec {1} {1},\ qquad R\ left (\ threevec {0} {0} 1}\ derecha) =\ dovec {1} {2}\ texto {,}\ final {ecuación*}

lo que significa que la matriz que define\(R\) es

\ begin {ecuación*} B =\ left [\ begin {array} {rrr} 4 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Finalmente, deseamos componer estas dos transformaciones matriciales. Por ejemplo, si operamos las plantas por tiempos dados por el vector\(\mathbf x\text{,}\) nos gustaría saber las cantidades requeridas de los ingredientes. Para determinar esto, note que nos\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) dice cuántos pasteles, donas y eclairs producimos. Los ingredientes requeridos son luego dados por

\ begin {ecuación*} R (T (\ mathbf x)) = R (A\ mathbf x) = B (A\ mathbf x) = BA\ mathbf x\ texto {.} \ end {ecuación*}

Observe que la matriz que define la composición viene dada por el producto de las dos matrices que definen las transformaciones matriciales.

En este caso, tenemos

\ begin {ecuación*} BA =\ left [\ begin {array} {rrr} 4 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ end {array}\\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rr} 10 & 20\\ 50 & 30\\ 30 & 30\\ end {array}\\ right] =\ left [\ begin {array} {rr} 120 y 140\\ 130 & 130\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Esto significa que la transformación de la matriz que nos indica la cantidad requerida de ingredientes dada la cantidad de tiempo que las plantas son operadas es descrita por

\ begin {ecuación*} P (\ mathbf x) = R\ circ T (\ mathbf x) =\ left [\ begin {array} {rr} 120 & 140\\ 130 & 130\\ end {array}\ derecha]\ twovec {x_1} {x_2} =\ twovec {F} {S}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Por ejemplo, si la Planta 1 opera por 30 horas y la Planta 2 por 20 horas, tenemos

\ begin {ecuación*} P\ left (\ twovec {30} {20}\ derecha) =\ left [\ begin {array} {rr} 120 & 140\\ 130 & 130\\ end {array}\ right]\ twovec {30} {20} =\ twovec {6400} {6500}\ text {.} \ end {ecuación*}

Es decir, necesitamos 6400 unidades de harina y 6500 unidades de azúcar.

Esta actividad muestra que la composición de las transformaciones matriciales corresponde al producto de las matrices, observación importante que resumimos en la siguiente proposición.

Proposición 2.5.5.

Si tenemos una transformación matricial\(T\) definida por la matriz\(A\) y una transformación matricial\(S\) definida por la matriz\(B\text{,}\) entonces la composición de las transformaciones matriciales es una nueva transformación matricial\(S\circ T\) definida por la matriz\(BA\text{.}\)

Sistemas Dinámicos Discretos

En la Sección 4.4, vamos a prestar considerable atención a un tipo específico de transformación matricial, que se ilustra en la siguiente actividad.

Actividad 2.5.4.

Supongamos que dirigimos una empresa que cuenta con dos bodegas, a las que llamaremos\(P\)\(Q\text{,}\) y y una flota de 1000 camiones repartidores. Todos los días, un camión de reparto sale de uno de los almacenes y regresa todas las noches a uno de los almacenes. Todas las noches,

• 70% de los camiones que salen\(P\) regresan a\(P\text{.}\) El otro 30% regresa a\(Q\text{.}\)
• 50% de los camiones que salen\(Q\) regresan\(Q\) y 50% regresan a\(P\text{.}\)

Utilizaremos el vector\(\mathbf x=\twovec{P}{Q}\) para representar el número de camiones en el lugar\(P\) y\(Q\) por la mañana. Consideramos la transformación matricial\(T(\mathbf x) = \twovec{P'}{Q'}\) que describe el número de camiones en el lugar\(P\) y\(Q\) por la noche.

1. Supongamos que todos los 1000 camiones comienzan el día en el lugar\(P\) y ninguno en\(Q\text{.}\) ¿Cuántos camiones hay en cada ubicación al final del día? Por lo tanto, ¿cuál es el vector\(T\left(\ctwovec{1000}{0}\right)\text{?}\)

   Usando este resultado, lo que es\(T\left(\twovec{1}{0}\right)\text{?}\)

2. De la misma manera, supongamos que todos los 1000 camiones comienzan el día en el lugar\(Q\) y ninguno en\(P\text{.}\) ¿Cuántos camiones hay en cada ubicación al final del día? Cuál es el resultado\(T\left(\ctwovec{0}{1000}\right)\text{?}\)
3. Encuentra la matriz de\(A\) tal manera que\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{.}\)
4. Supongamos que hay 100 camiones al\(P\) y 900\(Q\) al inicio del día. ¿Cuántos hay en los dos lugares al final del día?
5. Supongamos que hay 550 camiones al\(P\) y 450\(Q\) al final del día. ¿Cuántos camiones había en los dos lugares al principio del día?
6. ¿Supongamos que todos los camiones están en el lugar\(Q\) el lunes por la mañana?
   1. ¿Cuántos camiones hay en cada lugar el lunes por la noche?
   2. ¿Cuántos camiones hay en cada lugar el martes por la noche?
   3. ¿Cuántos camiones hay en cada lugar el miércoles por la noche?
7. Supongamos que\(S\) es la transformación matricial que transforma la distribución de camiones\(\mathbf x\) una mañana en la distribución de camiones dos mañanas después. Cuál es la matriz que define la transformación\(S\text{?}\)
8. Supongamos que\(R\) es la transformación matricial que transforma la distribución de camiones\(\mathbf x\) una mañana en la distribución de camiones una semana después. Cuál es la matriz que define la transformación\(R\text{?}\)
9. ¿Qué pasa con la distribución de camiones después de mucho tiempo?

Este es el tipo de situación que ocurre con frecuencia. Tenemos un vector\(\mathbf x\) que describe el estado de algún sistema; en este caso,\(\mathbf x\) describe la distribución de camiones entre las dos ubicaciones en un momento determinado. Entonces tenemos una matriz\(A\) que define una transformación matricial con la\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) descripción del estado en algún momento posterior. Llamamos\(\mathbf x\) al vector de estado y a\(T\) la función de transición, ya que describe la transición del vector de estado de una vez a la siguiente.

Empezamos en un estado inicial\(\mathbf x_0= \ctwovec{0}{1000}\text{.}\) El estado un día después será el vector\(\mathbf x_1 = T(\mathbf x_0) = A\mathbf x_0\text{.}\) En el ejemplo de nuestra actividad, tenemos

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 0.7 & 0.5\\ 0.3 & 0.5\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto,

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_1 = A\ mathbf x_0 =\ left [\ begin {array} {rr} 0.7 & 0.5\\ 0.3 & 0.5\\ end {array}\ derecha]\ ctwovec {0} {1000} =\ ctwovec {500} {500}\ text {.} \ end {ecuación*}

Podemos, por supuesto, repetir este proceso. El vector\(\mathbf x_1\) describe el estado después de un día. Después de un segundo día, tenemos el vector estatal

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_2 = T (\ mathbf x_1) = A\ mathbf x_1 = A^2\ mathbf x_0 =\ ctwovec {600} {400}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Podemos continuar con este proceso encontrando\(\mathbf x_k\text{,}\) el estado después de\(k\) días usando\(\mathbf x_k = A\mathbf x_{k-1} = A^k\mathbf x_0\text{.}\) De esta manera, vemos que el comportamiento a largo plazo del vector de estado está determinado por las potencias de la matriz\(A\text{.}\)

Usando Sage, podemos calcular\(A^k\) para algunos poderes muy grandes de\(A\text{.}\) Por ejemplo,

\ begin {ecuation*} A^ {100}\ approx\ left [\ begin {array} {rr} 0.625 & 0.625\\ 0.375 & 0.375\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

De hecho, todos los grandes poderes de\(A\) mirada muy cerca de esta matriz. Por lo tanto, después de mucho tiempo, el vector de estado está muy cerca de

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} 0.625 & 0.625\\ 0.375 & 0.375\\ end {array}\ right]\ ctwovec {0} {1000} =\ ctwovec {625} {375}\ text {.} \ end {ecuación*}

Esto significa que, eventualmente, 625 autos están en el lugar\(P\) todos los días y 375 están en\(Q\text{.}\)

Llamamos a esta situación en la que el estado de un sistema evoluciona de un tiempo a otro según la regla\(\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k\) un sistema dinámico discreto. En el Capítulo 4, desarrollaremos una teoría que nos permita hacer fácilmente predicciones a largo plazo sin necesidad de calcular grandes potencias de la matriz.

Resumen

En esta sección se introdujeron las transformaciones matriciales, funciones que se definen por la multiplicación matriz-vector, como\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) para alguna matriz\(A\text{.}\)

• Si\(A\) es una\(m\times n\) matriz, entonces\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\text{.}\)
• Las columnas de la matriz\(A\) se dan evaluando la transformación\(T\) en los vectores es\(\mathbf e_j\text{;}\) decir,
  \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrrr} T (\ mathbf e_1) & T (\ mathbf e_2) &\ ldots & T (\ mathbf e_n)\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
• La composición de las transformaciones matriciales corresponde a la multiplicación matricial.
• Un sistema dinámico discreto consiste en un vector de estado\(\mathbf x\) junto con una función de transición\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) que describe cómo evoluciona el vector de estado de una vez a la siguiente. Las potencias de la matriz\(A\) determinan el comportamiento a largo plazo del vector de estado.

Ejercicios 2.5.4Ejercicios

1

Supongamos que\(T\) es la transformación matricial definida por la matriz\(A\) y\(S\) es la transformación matricial definida por\(B\) donde

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 2\\ -1 & 3 & 2\\ end {array}\\ end {array}\ right],\ qquad B =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 0\\ 2 & 1 & 2\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Si\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\text{,}\) cuáles son los valores de\(m\) y\(n\text{?}\) Qué valores de\(m\) y\(n\) son apropiados para la transformación\(S\text{?}\)
2. Evaluar la transformación de la matriz\(T\left(\threevec{1}{-3}{2}\right)\text{.}\)
3. Evaluar la transformación de la matriz\(S\left(\threevec{-2}{2}{1}\right)\text{.}\)
4. Evaluar la transformación de la matriz\(S\circ T\left(\threevec{1}{-3}{2}\right)\text{.}\)
5. Encuentra la matriz\(C\) que define la transformación matricial\(S\circ T\text{.}\)

2

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta.

1. Una transformación matricial\(T:\mathbb R^4\to\mathbb R^5\) se define por\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) donde\(A\) es una\(4\times5\) matriz.
2. Si\(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) es una transformación matricial, entonces hay infinitamente muchos vectores\(\mathbf x\) tales que\(T(\mathbf x) = \zerovec\text{.}\)
3. Si\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3\) es una transformación matricial, entonces es posible que cada ecuación\(T(\mathbf x) = \mathbf b\) tenga una solución para cada vector\(\mathbf b\text{.}\)
4. Si\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) es una transformación matricial, entonces la ecuación\(T(\mathbf x) = \zerovec\) siempre tiene una solución.
5. Si\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) es una transformación de matriz\(\mathbf v\) y y\(\mathbf w\) dos vectores en\(\mathbb R^n\text{,}\) entonces los vectores\(T(\mathbf v + t\mathbf w)\) forman una línea en\(\mathbb R^m\text{.}\)

3

Este problema se refiere a la identificación de transformaciones matriciales.

1. Verifique que la siguiente función\(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) sea una transformación matricial encontrando una matriz\(A\) tal que\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{.}\)
   \ begin {ecuación*} T\ left (\ threevec {x_1} {x_2} {x_3}\ derecha) =\ left [\ begin {array} {c} 3x_1 - x_2 + 4x_3\\ 5x_2 - x_3\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
2. Explicar por qué
   \ begin {ecuación*} T\ izquierda (\ tresevec {x_1} {x_2} {x_3}\ derecha) =\ izquierda [\ begin {array} {c} 3x_1^4 - x_2 + 4x_3\\ 5x_2 - x_3\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   no es una transformación matricial.

4

Supongamos que la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & 1\\ -2 & 1 & 5\\ 0 & 2 & 2\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

define la transformación matricial\(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\text{.}\)

1. Describir los vectores\(\mathbf x\) que satisfacen\(T(\mathbf x) = \zerovec\text{.}\)
2. Describir los vectores\(\mathbf x\) que satisfacen\(T(\mathbf x) = \threevec{-8}{9}{2}\text{.}\)
3. Describir los vectores\(\mathbf x\) que satisfacen\(T(\mathbf x) = \threevec{-8}{2}{-4}\text{.}\)

5

Supongamos que\(T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) es una transformación matricial con\(T(\mathbf e_j) = \mathbf v_j\) donde\(\mathbf v_1\text{,}\)\(\mathbf v_2\text{,}\) y\(\mathbf v_3\) son como se muestra en la Figura 2.5.6.

Figura 2.5.6. Los vectores\(T(\mathbf e_j)=\mathbf v_j\text{.}\)

1. Esbozar el vector\(T\left(\threevec{2}{1}{2}\right)\text{.}\)
2. ¿Cuál es el vector\(T\left(\threevec{0}{1}{0}\right)\text{?}\)
3. Encuentra todos los vectores de\(\mathbf x\) tal manera que\(T(\mathbf x) = \zerovec\text{.}\)

6

Supongamos que una empresa tiene tres plantas, llamadas Plantas 1, 2 y 3, que producen leche\(M\) y yogur\(Y\text{.}\) Por cada hora de operación,

• Planta\(1\) produce 20 unidades de leche y 15 unidades de yogur.
• Planta\(2\) produce 30 unidades de leche y 5 unidades de yogur.
• Planta\(3\) produce 0 unidades de leche y 40 unidades de yogur.

1. Supongamos eso\(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) y\(x_3\) registrar las cantidades de tiempo que las tres plantas son operadas. Encuentra expresiones para el número de unidades de leche\(M\) y yogur\(Y\) producidos.
2. Si escribimos\(\mathbf x=\threevec{x_1}{x_2}{x_3}\) y\(\yvec = \twovec{M}{Y}\text{,}\) encontramos la matriz\(A\) que define la transformación matricial\(T(\mathbf x) = \yvec\text{.}\)
3. Además, supongamos que producir cada unidad de
   • la leche requiere 5 unidades de electricidad y 8 unidades de mano de obra.
   • el yogur requiere 6 unidades de electricidad y 10 unidades de mano de obra.

   Escribir expresiones para las cantidades requeridas de electricidad\(E\) y mano de obra\(L\) en términos de\(M\) y\(Y\text{.}\)

4. Si escribimos el vector\(\zvec = \twovec{E}{L}\) para registrar las cantidades requeridas de electricidad y mano de obra, encuentra la matriz\(B\) que define la transformación matricial\(S(\yvec) = \zvec\text{.}\)
5. Si\(\mathbf x = \threevec{30}{20}{10}\) describe las cantidades de tiempo que se operan las tres plantas, ¿cuánta leche y yogur se produce? ¿Cuánta electricidad y mano de obra se requieren?
6. Encuentra la matriz\(C\) que describe la transformación matricial\(R(\mathbf x)=\zvec\) que da las cantidades requeridas de electricidad y mano de obra cuando las plantas son operadas tiempos dados por vector\(\mathbf x\text{.}\)

7

Supongamos que\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) es una transformación matricial y que

\ begin {ecuation*} T\ left (\ twovec {1} {1}\ right) =\ twovec {3} {-2},\ qquad T\ left (\ twovec {-1} {1}\ right) =\ twovec {1} {2}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Encuentra el vector\(T\left(\twovec{1}{0}\right)\text{.}\)
2. Encuentra la matriz\(A\) que define\(T\text{.}\)
3. Encuentra el vector\(T\left(\twovec{4}{-5}\right)\text{.}\)

8

Supongamos que dos especies\(P\) e\(Q\) interactúan entre sí y que medimos sus poblaciones cada mes. Registramos sus poblaciones en un vector de estado\(\mathbf x = \twovec{p}{q}\text{,}\) donde\(p\) y\(q\) son las poblaciones de\(P\) y\(Q\text{,}\) respectivamente. Observamos que hay una matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 0.8 & 0.3\\ 0.7 & 1.2\\\ end {array}\ right]\ end {equation*}

tal que la transformación matricial\(T(\mathbf x)=A\mathbf x\) es la función de transición que describe cómo evoluciona el vector de estado de mes a mes. También observamos que, a principios de julio, las poblaciones son descritas por el vector estatal\(\mathbf x=\twovec{1}{2}\text{.}\)

1. ¿Cuáles serán las poblaciones a principios de agosto?
2. ¿Cuáles eran las poblaciones a principios de junio?
3. ¿Cuáles serán las poblaciones a principios de diciembre?
4. ¿Cuáles serán las poblaciones a principios de julio del año siguiente?

9

Los alumnos de una escuela a veces están ausentes debido a una enfermedad. Supongamos que

• El 95% de los alumnos que asisten a la escuela asistirán a la escuela al día siguiente.
• El 50% de los estudiantes están ausentes un día estarán ausentes al día siguiente.

Registraremos el número de estudiantes presentes\(p\) y el número de estudiantes ausentes\(a\) en un vector estatal El\(\mathbf x=\twovec{p}{a}\text{.}\) martes, el vector estatal es\(\mathbf x=\ctwovec{1700}{100}\text{.}\) El vector estado evoluciona de un día a otro según la función de transición\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\text{.}\)

1. Supongamos que inicialmente tenemos 1000 alumnos que están presentes y ninguno ausente. Encuentra\(T\left(\ctwovec{1000}{0}\right)\text{.}\)
2. Supongamos que inicialmente tenemos 1000 alumnos que están ausentes y ninguno presente. Encuentra\(T\left(\ctwovec{0}{1000}\right)\text{.}\)
3. Usa los resultados de las partes a y b para encontrar la matriz\(A\) que define la transformación matricial\(T\text{.}\)
4. Si\(\mathbf x=\ctwovec{1700}{100}\) el martes, ¿cómo se distribuyen los alumnos el miércoles?
5. ¿Cuántos alumnos estuvieron presentes el lunes?
6. ¿Cuántos alumnos están presentes el martes siguiente?
7. ¿Qué pasa con el número de alumnos que están presentes después de mucho tiempo?