2.6: La geometría de las transformaciones matriciales

Las transformaciones matriciales, que exploramos en la última sección, nos permiten describir ciertas funciones.\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\text{.}\) En esta sección, demostraremos cómo las transformaciones matriciales proporcionan una manera conveniente de describir operaciones geométricas, como rotaciones, reflexiones y escalamientos. Luego exploraremos cómo se utilizan las transformaciones matriciales en la animación por computadora.

Vista previa Actividad 2.6.1.

Supongamos que deseamos describir la operación geométrica que refleja vectores bidimensionales en el eje horizontal. Por ejemplo, la Figura 2.6.1 ilustra cómo\(\mathbf x\) se refleja un vector en el vector\(T(\mathbf x)\text{.}\)

Figura 2.6.1. Un vector\(\mathbf x\) y su reflejo\(T(\mathbf x)\) en el eje horizontal.

1. Si\(\mathbf x = \twovec{2}{4}\text{,}\) cual es el vector\(T(\mathbf x)\text{?}\) Esbozar los vectores\(\mathbf x\) y\(T(\mathbf x)\text{.}\)
2. De manera más general, si\(\mathbf x=\twovec{x}{y}\text{,}\) lo que es\(T(\mathbf x)\text{?}\)
3. Encuentra los vectores\(T\left(\twovec{1}{0}\right)\) y\(T\left(\twovec{0}{1}\right)\text{.}\)
4. Usa tus resultados para escribir la matriz para\(A\) que\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{.}\) Luego verifica que\(T\left(\twovec{x}{y}\right)\) esté de acuerdo con lo que encontraste en la parte b.
5. Describe la transformación que resulta de componer\(T\) consigo mismo; es decir, cuál es la transformación\(T\circ T\text{?}\) Explica cómo se puede utilizar la multiplicación matricial para justificar tu respuesta.

La geometría de las transformaciones\(2\times2\) matriciales

La actividad de vista previa demuestra cómo la matriz\(\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right]\) define una transformación matricial que tiene el efecto de reflejar vectores bidimensionales en el eje horizontal. La siguiente actividad muestra, de manera más general, que las transformaciones matriciales pueden realizar una variedad de operaciones geométricas importantes.

Actividad 2.6.2.

El siguiente diagrama demuestra el efecto de una transformación matricial en el plano. Puede modificar la matriz\(A\) definiendo la transformación de la matriz\(T\) a través de los controles deslizantes en la parte superior. También puede mover el vector\({\mathbf x}\) rojo a la izquierda, haciendo clic en la cabeza del vector, y observar a\(T({\mathbf x})\) la derecha.

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Para las siguientes matrices\(A\) que se dan a continuación, utilice el diagrama para estudiar el efecto de la transformación matricial correspondiente.\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{.}\) Para cada transformación, describa el efecto geométrico de la transformación en el plano.

1. La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
2. La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
3. La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
4. La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
5. La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
6. La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
7. La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right]\text{.}\)
8. La matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -2 & 2 \\ \end{array}\right]\text{.}\)

La actividad anterior presentó algunos ejemplos en los que las transformaciones matriciales realizan interesantes acciones geométricas, como rotaciones, escalamientos y reflexiones. Demos la vuelta a esta pregunta: Supongamos que tenemos una acción geométrica específica que nos gustaría realizar. ¿Podemos encontrar una matriz\(A\) que represente esta acción a través de la transformación matricial?\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{?}\)

La linealidad de la multiplicación matriz-vector Proposición 2.2.3 proporciona la clave para responder a esta pregunta. Recuerda que si\(A\) es una matriz,\(\mathbf v\) y\(\mathbf w\) vectores, y\(c\) un escalar, entonces

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A (c\ mathbf v) & {} = {} = {} cA\ mathbf v\\ A (\ mathbf v +\ mathbf w) & {} = {} A\ mathbf v + A\ mathbf w\ texto {.} \ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Esto significa que una transformación matricial\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) satisface la propiedad de linealidad correspondiente:

Linealidad de las transformaciones matriciales.

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} T (c\ mathbf v) & {} = {} cT (\ mathbf v)\\ T (\ mathbf v +\ mathbf w) & {} = {} T (\ mathbf v) + T (\ mathbf w)\ text {.} \ end {alineado}\ end {ecuación*}

Resulta que, si\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) satisface estas dos propiedades de linealidad, entonces podemos encontrar una matriz\(A\) tal que\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\text{.}\) De hecho, la Proposición 2.5.4 nos dice cómo formar\(A\text{;}\) simplemente escribimos

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} T (\ mathbf e_1) & T (\ mathbf e_2) &\ ldots T (\ mathbf e_n)\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Ahora comprobaremos que\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) usando la linealidad de\(T\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} T (\ mathbf x) = T\ izquierda (\ fourvec {x_1} {x_2} {\ vdots} {x_n}\ derecha) & {} = {} T (x_1\ mathbf e_1 + x_2\ mathbf e_2 +\ ldots + x_n\ mathbf e_n)\\\ & {} = {} x_1t (\ mathbf e_1) + x_2t (\ mathbf e_2) +\ ldots + x_nt (\ mathbf e_n)\\\ & {} = {} x_1a\ mathbf e_1 + x_2a\ mathbf e_2 +\ ldots + x_na\ mathbf e_n\\\ & {} = {} A (x_1\ mathbf e_1 + x_2\ mathbf e_2 +\ ldots + x_n\ mathbf e_n)\\\ & {} = {} A\ fourvec {x_1} {x_2} {\ vdots} {x_n}\\\\ & {} = {} A\ mathbf x\ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

El resultado es la siguiente proposición.

Proposición 2.6.2.

La función\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) es una transformación matricial donde\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) para alguna\(m\times n\) matriz\(A\) si y solo si

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} T (c\ mathbf v) & {} = {} cT (\ mathbf v)\\ T (\ mathbf v +\ mathbf w) & {} = {} T (\ mathbf v) + T (\ mathbf w)\ text {.} \ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

En este caso,\(A\) es la matriz cuyas columnas son es\(T(\mathbf e_j)\text{;}\) decir,

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrrr} T (\ mathbf e_1) & T (\ mathbf e_2) &\ ldots & T (\ mathbf e_n)\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Pondremos esta proposición para usar en el siguiente ejemplo encontrando la matriz cuya transformación matricial realiza una operación geométrica específica.

Ejemplo 2.6.3

En este ejemplo, encontraremos la matriz definiendo una transformación matricial que realiza una rotación en\(45^\circ\) sentido antihorario.

Primero necesitamos saber que esta operación geométrica puede ser representada por una transformación matricial. Para comenzar, definiremos la función\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) donde\(T(\mathbf x)\) se obtiene girando en\(\mathbf x\) sentido antihorario\(45^\circ\text{,}\) como se muestra en la Figura 2.6.4.

Figura 2.6.4. La función\(T\) gira un vector en sentido contrario a las agujas del reloj\(45^\circ\text{.}\)

Necesitamos verificar que\(T\) es una transformación matricial; por la Proposición 2.6.2, esto significa que debemos asegurarnos de que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} T (c\ mathbf v) & {} = {} cT (\ mathbf v)\\ T (\ mathbf v +\ mathbf w) & {} = {} T (\ mathbf v) + T (\ mathbf w)\ text {.} \ end {alineado}\ end {ecuación*}

Las dos figuras siguientes ilustran estas propiedades. Por ejemplo, la Figura 2.6.5 muestra esa relación entre\(T(\mathbf v)\) y\(T(c\mathbf v)\) cuándo\(c\) es un escalar. Vemos fácilmente que\(T(c\mathbf v)\) es un múltiplo escalar de\(T(\mathbf v)\) y por lo tanto que\(T(c\mathbf v) = cT(\mathbf v)\text{.}\)

Figura 2.6.5. Vemos que el vector\(T(c\mathbf v)\) es un múltiplo escalar para\(T(\mathbf v)\) que\(T(c\mathbf v) = cT(\mathbf v)\text{.}\)

De igual manera, la Figura 2.6.6 muestra la relación entre\(T(\mathbf v+\mathbf w)\text{,}\)\(T(\mathbf v)\text{,}\) y\(T(\mathbf w)\text{.}\) De esta manera, vemos que\(T(\mathbf v+\mathbf w) = T(\mathbf v) + T(\mathbf w)\text{.}\)

Figura 2.6.6. Vemos que el vector\(T(\mathbf v+\mathbf w)\) es la suma de\(T(\mathbf v)\) y\(T(\mathbf w)\) para que\(T(\mathbf v + \mathbf w) = T(\mathbf v) + T(\mathbf w)\text{.}\)

Esto demuestra que la función por la\(T\text{,}\) que gira los vectores\(45^\circ\) es una transformación matricial. Por lo tanto, podemos escribirlo como\(T(\mathbf x) = A\mathbf x\) donde\(A\) está la\(2\times2\) matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} T(\mathbf e_1) & T(\mathbf e_2) \end{array}\right]\text{.}\) Las columnas de esta matriz,\(T(\mathbf e_1)\) y se\(T(\mathbf e_2)\text{,}\) muestran en la Figura 2.6.7.

Figura 2.6.7. El efecto de\(T\) sobre\(\mathbf e_1\) y\(\mathbf e_2\text{.}\)

Para encontrar los componentes de estos vectores, observe que forman un triángulo rectángulo isósceles, como se muestra en la Figura 2.6.8. Dado que la longitud de\(\mathbf e_1\) es 1, la longitud de\(T(\mathbf e_1)\text{,}\) la hipotenusa del triángulo, es 1.

Figura 2.6.8. El vector\(T(\mathbf e_1)\) forma un triángulo isósceles derecho cuya hipotenusa tiene longitud 1.

Esto lleva a

\ begin {ecuación*} T (\ mathbf e_1) =\ twovec {\ frac1 {\ sqrt {2}}} {\ frac1 {\ sqrt {2}}}, T (\ mathbf e_2) =\ twovec {-\ frac1 {\ sqrt {2}}} {\ frac1 {\ sqrt {2}}\ text {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto, la matriz\(A\) es

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr}\ frac {1} {\ sqrt {2}} & -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\\ frac {1} {\ sqrt {2}} &\ frac {1} {\ sqrt {2}}\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Es posible que desee verificar esto usando el diagrama interactivo de la actividad anterior usando la aproximación\(1/\sqrt{2} \approx 0.7\text{.}\)

En este ejemplo, encontramos que la operación geométrica deseada, una rotación en el plano, era de hecho una transformación matricial\(T\) comprobando que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} T (c\ mathbf v) & {} = {} cT (\ mathbf v)\\ T (\ mathbf v +\ mathbf w) & {} = {} T (\ mathbf v) + T (\ mathbf w)\ text {.} \ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

En general, el mismo tipo de pensamiento se aplica para mostrar que las rotaciones, reflexiones y escalaciones son transformaciones matriciales por lo que no nos molestaremos con ese paso en el futuro.

Actividad 2.6.3.

En esta actividad, se busca describir diversas transformaciones matriciales encontrando la matriz que da la transformación deseada. Todas las transformaciones que estudiamos aquí tienen la forma\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\text{.}\)

1. Encuentra la matriz de la transformación que no tiene efecto sobre los vectores; es decir,\(T(\mathbf x) = \mathbf x\text{.}\) llamamos a esta matriz la identidad y la denotamos por\(I\text{.}\)
2. Encuentra la matriz de la transformación que refleja vectores en\(\mathbb R^2\) sobre la línea\(y=x\text{.}\)
3. Cuál es el resultado de componer la reflexión que encontraste en la parte anterior consigo misma; es decir, cuál es el efecto de reflexionar en la línea\(y=x\) y luego reflexionar nuevamente en esta línea. Proporcione una explicación geométrica para su resultado así como una algebraica obtenida multiplicando matrices.
4. Encuentra la matriz que gira vectores en sentido antihorario en el plano\(90^\circ\text{.}\)
5. Compare el resultado de rotar\(90^\circ\) y luego reflejar en la línea\(y=x\) con el resultado de reflejar primero\(y=x\) y luego rotar\(90^\circ\text{.}\)
6. Encuentra la matriz que resulta de componer una\(90^\circ\) rotación consigo misma. Explicar el significado geométrico de esta operación.
7. Encuentra la matriz que resulta de componer una\(90^\circ\) rotación consigo misma cuatro veces; es decir, si\(T\) es la transformación matricial que gira vectores por\(90^\circ\text{,}\) encontrar la matriz para\(T\circ T\circ T \circ T\text{.}\) Explica por qué tu resultado tiene sentido geométricamente.
8. Explicar por qué la matriz que gira vectores en sentido antihorario por un ángulo\(\theta\) es
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\\ fin {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

En la primera parte de esta actividad, nos encontramos con la matriz de identidad, la cual, como\(n\times n\) matriz, tiene la forma

\ begin {ecuation*} I =\ left [\ begin {array} {cccc} 1 & 0 &\ ldots & 0\\ 0 & 1 &\ ldots & 0\\ ldots & 0\\ ldots &\ vdots &\\ vdots & 0\\ 0 &\ ldots & 1\\\ end {array}\\ right] =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf e_1 &\ mathbf e_2 &\ lpuntos &\ mathbf e _n\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

La transformación matricial\(T(\mathbf x) = I\mathbf x\) deja los vectores sin cambios; es decir,\(T(\mathbf x) = \mathbf x\) para que\(I\mathbf x = \mathbf x\text{.}\) Observe que las columnas de\(I\) son simplemente los vectores\(\mathbf e_j\text{.}\)

Transformaciones matriciales y animación por computadora

El álgebra lineal juega un papel importante en la animación por computadora. Ahora ilustraremos cómo las transformaciones matriciales y algunas de las ideas que hemos desarrollado en esta sección son utilizadas por animadores por computadora para crear la ilusión de movimiento en sus personajes.

La Figura 2.6.9 muestra un carácter de prueba utilizado por los animadores Pixar. A la izquierda se encuentra la definición original del personaje; a la derecha, vemos que el personaje se ha movido a una pose diferente. Para que parezca que el personaje se mueve, los animadores crean una secuencia de fotogramas en los que la pose del personaje se modifica ligeramente de un fotograma a otro. Las transformaciones matriciales juegan un papel importante al hacer esto.

Figura 2.6.9. Los animadores informáticos definen un personaje y crean movimiento dibujándolo en una secuencia de poses. © Disney/Pixar

Por ejemplo, la Figura 2.6.10 muestra al personaje Remy de Ratatouille de Pixar. Claramente, se dedica mucho a transformar el modelo de la izquierda en el personaje atractivo de la derecha, como la adición de pelaje y ojos. Nos centraremos únicamente en el movimiento del personaje.

Figura 2.6.10. Remy de la película de Pixar Ratatouille. © Disney/Pixar.

Por supuesto, los personajes realistas se dibujarán en tres dimensiones. Para mantener las cosas un poco más simples, sin embargo, veremos este personaje bidimensional e idearemos transformaciones matriciales que las muevan a diferentes poses.

Por supuesto, lo primero que tal vez deseemos hacer es simplemente moverlos a una posición diferente en el plano, como la que se muestra en la Figura 2.6.11. Movimientos como este se llaman traducciones.

Figura 2.6.11. Traduciendo nuestro personaje a una nueva posición en el plano.

Esto presenta un problema porque una transformación matricial\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) tiene la propiedad de que\(T(\zerovec) = \zerovec\text{.}\) Esto significa que una transformación matricial no puede mover el origen del plano de coordenadas. Para abordar esta restricción, los animadores utilizan coordenadas homogéneas, las cuales se forman colocando el plano coordenado bidimensional en su interior\(\mathbb R^3\) como el plano\(z=1\text{.}\) Esto se muestra en la Figura 2.6.12.

Figura 2.6.12. Incluir el plano adentro\(\mathbb R^3\) como el plano\(z=1\) para que podamos traducir el personaje.

Por lo tanto, más que describir los puntos en el plano como vectores los\(\twovec{x}{y}\text{,}\) describimos\(\threevec{x}{y}{1}\text{.}\) como vectores tridimensionales Como vemos en la siguiente actividad, esto nos permite traducir nuestro personaje en el plano.

Actividad 2.6.4.

En esta actividad, utilizaremos coordenadas homogéneas y transformaciones matriciales para mover a nuestro personaje a una variedad de poses.

1. Dado que consideramos nuestro carácter como vivir en\(\mathbb R^3\text{,}\) nosotros consideraremos transformaciones matriciales definidas por matrices
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr} a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Verificar que dicha transformación matricial transforme puntos del plano\(z=1\) en otros puntos de este plano; es decir, verificar que

   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr} a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1\\ end {array}\\ right]\ threevec {x} {y} {1} =\ threevec {x'} {y'} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Expresar las coordenadas del punto resultante\(x'\) y\(y'\) en términos de las coordenadas del punto original\(x\) y\(y\text{.}\)

   El siguiente diagrama permite crear transformaciones matriciales de esta forma para mover a nuestro personaje a diferentes poses. Puedes usarlo para ayudar a abordar las siguientes preguntas.

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2. Encuentra la transformación matricial que traduce nuestro personaje a una nueva posición en el plano, como se muestra en la Figura 2.6.13

   

   

   Figura 2.6.13. Traduciendo a una nueva posición.

3. Como originalmente dibujado, nuestro personaje está ondeando con una de sus manos. En una de las escenas de la película, nos gustaría que ella saludara con la otra mano, como se muestra en la Figura 2.6.14. Encuentra la transformación matricial que los mueve a esta pose.

   

   

   Figura 2.6.14. Agitando con la otra mano.

4. Posteriormente, nuestro chracter realiza una voltereta moviéndose a través de la secuencia de poses que se muestra en la Figura 2.6.15. Encuentra las transformaciones matriciales que crean estas poses.

   

   

   

   

   Figura 2.6.15. Realización de una voltereta.

5. A continuación, nos gustaría encontrar las transformaciones que acercan el rostro de nuestro personaje, como se muestra en la Figura 2.6.16. Para ello, debes pensar en componer transformaciones matriciales. Esto se puede lograr en el diagrama usando el botón Componer, que hace que la pose actual, mostrada a la derecha, la nueva pose inicial, se muestre a la izquierda. ¿Cuál es la transformación matricial que mueve al personaje de la pose original, mostrada en la parte superior izquierda, a la pose final, mostrada en la parte inferior derecha?

   

   

   

   

   Figura 2.6.16. Acercar el rostro de nuestros personajes.

6. También nos gustaría crear la sombra de nuestro personaje, mostrada en la secuencia de poses en la Figura 2.6.17. Encuentra la secuencia de transformaciones matriciales que logra esto. En particular, encontramos en la parte inferior derecha la transformación matricial que lleva a nuestro personaje de su pose original a su sombra.

   

   

   

   

   Figura 2.6.17. Lanzar una sombra.

7. Escribe una escena final a la película y describe cómo construir una secuencia de transformaciones matriciales que crean tu escena.

Resumen

Esta sección exploró cómo las operaciones geométricas, como rotaciones, reflexiones y escalaciones, se realizan mediante transformaciones matriciales.

• Una matriz de la forma\(\left[\begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & b \\ \end{array}\right]\) representa una escala horizontal por un factor\(a\) y una escala vertical por\(b\text{.}\)
• Una matriz de la forma\(\left[\begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{array}\right]\) define una rotación por un ángulo\(\theta\text{.}\)
• La composición de operaciones geométricas corresponde a la multiplicación matricial.
• Los animadores informáticos utilizan transformaciones matriciales para crear la ilusión de movimiento. Se utilizan coordenadas homogéneas para que las traducciones se puedan realizar como transformaciones matriciales.

Ejercicios 2.6.4Ejercicios

1

Para cada una de las siguientes operaciones geométricas en el plano, encuentre una\(2\times 2\) matriz que defina la transformación matricial realizando la operación.

1. Gira vectores\(180^\circ\text{.}\)
2. Refleja vectores en el eje vertical.
3. Refleja vectores en la línea\(y=-x\text{.}\)
4. Gira vectores en sentido antihorario\(60^\circ\text{.}\)
5. Primero gira los vectores en sentido antihorario\(60^\circ\) y luego se refleja en la línea\(y=x\text{.}\)

2

Este ejercicio investiga la composición de las reflexiones en el plano.

1. Encuentra el resultado de primero reflexionar en la línea\(y=0\) y luego\(y=x\text{.}\) ¿Qué operación familiar es el efecto acumulativo de esta composición?
2. ¿Qué pasa si componemos las operaciones en el orden opuesto; es decir, qué pasa si primero reflexionas en\(y=x\) y luego\(y=0\text{?}\) ¿Qué operación familiar resulta?
3. Qué resultados familiares de operación geométrica si primero reflexiona en la línea\(y=x\) y luego\(y=-x\text{?}\)
4. Qué resultados familiares de operación geométrica si primero gira\(90^\circ\) y luego reflexiona en la línea\(y=x\text{?}\)

Es un hecho general que la composición de dos reflexiones da como resultado una rotación a través del doble del ángulo desde la primera línea de reflexión a la segunda. Lo investigaremos de manera más general en el Ejercicio 2.6.4.8

3

A continuación se muestran en la Figura 2.6.18 los vectores\(\mathbf e_1\text{,}\)\(\mathbf e_2\text{,}\) y\(\mathbf e_3\) en\(\mathbb R^3\text{.}\)

Figura 2.6.18. Los vectores\(\mathbf e_1\text{,}\)\(\mathbf e_2\text{,}\) y\(\mathbf e_3\) en\(\mathbb R^3\text{.}\)

1. Imagina que el pulgar de tu mano derecha apunta en la dirección de\(\mathbf e_1\text{.}\) Una rotación positiva alrededor del\(x\) eje corresponde a una rotación en la dirección en la que apuntan tus dedos. Encuentra la matriz definiendo la transformación matricial\(T\) que gira los vectores\(90^\circ\) alrededor del\(x\) eje.
2. De la misma manera, encuentra la matriz que gira vectores\(90^\circ\) alrededor del\(y\) eje -eje.
3. Encuentra la matriz que gira los vectores\(90^\circ\) alrededor del\(z\) eje.
4. Cuál es el efecto acumulativo de rotar por\(90^\circ\) alrededor del\(x\) eje, seguido de una\(90^\circ\) rotación alrededor del\(y\) eje, seguido de una\(-90^\circ\) rotación alrededor del\(x\) eje -eje.

4

Hemos visto cómo una transformación matricial puede realizar una operación geométrica; ahora nos gustaría encontrar una transformación matricial que deshaga esa operación.

1. Supongamos que\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) es la transformación matricial que gira vectores por\(90^\circ\text{.}\) Encontrar una transformación matricial\(S:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) que deshaga la rotación; es decir,\(S\)\(T(\mathbf x)\) retoma en\(\mathbf x\) para que\(S\circ T(\mathbf x) = \mathbf x\text{.}\) Piense geométricamente sobre cuál\(S\) debería ser la transformación y luego verificarlo algebraicamente.

   Decimos que\(S\) es lo inverso de\(T\) y lo escribiremos como\(T^{-1}\text{.}\)

2. Verificar algebraicamente que la reflexión\(R:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) a través de la línea\(y=x\) es su propia inversa; es decir,\(R^{-1} = R\text{.}\)
3. La transformación matricial\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) definida por la matriz
   \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rr} 1& 1\\ 0 & 1\\\ end {array}\ right]\ end {equation*}

   se llama cizalla. Encuentra la inversa de\(T\text{.}\)

4. Describir el efecto geométrico de la transformación matricial definida por
   \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rr}\ frac12 & 0\\ 0 & 3\\\ end {array}\ right]\ end {equation*}

   y luego encontrar su inversa.

5

Hemos visto que la matriz

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\\ fin {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

realiza una rotación a través de un ángulo\(\theta\) alrededor del origen. Supongamos en cambio que nos gustaría rotar\(90^\circ\) alrededor del punto\((1,2)\text{.}\) Usando coordenadas homogéneas, desarrollaremos una matriz que realice esta operación.

Nuestra estrategia es

• comenzar con un vector cuya cola está en el punto\((1,2)\text{,}\)
• traducir el vector para que su cola esté en el origen,
• rotar por\(90^\circ\text{,}\) y
• traducir el vector para que su cola esté de vuelta en\((1,2)\text{.}\)

Esto se muestra en la Figura 2.6.19.

Figura 2.6.19. Una secuencia de transformaciones matriciales que, cuando se leen de derecha a izquierda y de arriba a abajo, giran un vector alrededor del punto\((1,2)\text{.}\)

Recuerda que, al trabajar con coordenadas homogéneas, consideramos matrices de la forma

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrr} a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. La primera operación es una traducción por\((-1,-2)\text{.}\) Encuentra la matriz que realiza esta traducción.
2. La segunda operación es una\(90^\circ\) rotación sobre el origen. Encuentra la matriz que realiza esta rotación.
3. La tercera operación es una traducción por\((1,2)\text{.}\) Encuentra la matriz que realiza esta traducción.
4. Utilice estas matrices para encontrar la matriz que realiza una\(90^\circ\) rotación sobre\((1,2)\text{.}\)
5. Utilice su matriz para determinar dónde\((-10, 5)\) termina el punto si se gira\(90^\circ\) alrededor del\((1,2)\text{.}\)

6

Este ejercicio se refiere a transformaciones matriciales llamadas proyecciones.

1. Considere la transformación matricial\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) que asigna a un vector\(\mathbf x\) el vector más cercano en el eje horizontal como se ilustra en la Figura 2.6.20. Esta transformación se denomina proyección sobre el eje horizontal. Se puede imaginar\(T(\mathbf x)\) como la sombra\(\mathbf x\) proyectada por una linterna muy arriba en el\(y\) eje positivo.

   

   Figura 2.6.20. Proyección sobre el\(x\) eje.

   Encuentra la matriz que define esta transformación matricial\(T\text{.}\)

2. Encuentra la matriz que define la proyección en el eje vertical.
3. ¿Cuál es el resultado de componer la proyección sobre el eje horizontal con la proyección sobre el eje vertical?
4. Encuentra la matriz que define la proyección en la línea\(y=x\text{.}\)

7

Esta exericse refiere a las transformaciones matriciales definidas por matrices de la forma

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} a & -b\\ b & a\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Empecemos por mirar dos tipos especiales de estas matrices.

1. Primero, considere la matriz dónde\(a = 2\) y\(b=0\) para que
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 2 & 0\\ 0 & 2\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Describir el efecto geométrico de esta matriz. De manera más general, supongamos que tenemos

   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} r & 0\\ 0 & r\\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

   donde\(r\) es un número positivo. ¿Cuál es el esfuerzo geométrico de\(A\) sobre vectores en el plano?

2. Supongamos ahora eso\(a = 0\) y\(b = 1\) para que
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 0 & -1\\ 1 & 0\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   ¿Cuál es el efecto geométrico de los vectores\(A\) en el plano? De manera más general, supongamos que tenemos

   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

   ¿Cuál es el efecto geométrico de los vectores\(A\) en el plano?

3. En general, la composición de la transformación matricial depende del orden en que las compongamos. Para estas transformaciones, sin embargo, no es así. Verifique esto verificando que
   \ begin {ecuation*}\ left [\ begin {array} {rr} r & 0\\\ 0 & r\\\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\\ end {array}\ derecha]\ izquierda [\ begin {array} {rr} r & 0\\ 0 & r\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
4. Veamos ahora el caso general donde
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} a & -b\\ b & a\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Dibujaremos el vector\(\twovec{a}{b}\) en el plano y lo expresaremos usando coordenadas polares\(r\) y\(\theta\) como se muestra en la Figura 2.6.21.

   

   Figura 2.6.21. Un vector puede expresarse en coordenadas polares.

   Entonces tenemos

   \ begin {ecuación*}\ dovec {a} {b} =\ twovec {r\ cos\ theta} {r\ sin\ theta}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Demostrar que la matriz

   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} a & -b\\ b & a\\\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr} r & 0\\\ 0 & r\\\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}
5. Mediante esta descripción, se describe el efecto geométrico sobre los vectores en el plano de la transformación matricial definida por
   \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rr} a & -b\\ b & a\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
6. Supongamos que tenemos una transformación matricial\(T\) definida por una matriz\(A\) y otra transformación\(S\) definida por\(B\) donde
   \ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rr} a & -b\\ b & a\\\ end {array}\ right], B=\ left [\ begin {array} {rr} c & -d\\ d & c\\ end {array}\\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Describir el efecto geométrico de la composición\(S\circ T\) en términos\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) de\(d\text{.}\)

Las matrices de esta forma dan un modelo para los números complejos y jugarán un papel importante en la Sección 4.4.

8

Vimos antes que la rotación en el plano a través de un ángulo\(\theta\) viene dada por la matriz:

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta & -\ sin\ theta\\ sin\ theta &\ cos\ theta\\ fin {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Nos gustaría encontrar una expresión similar para la matriz que represente la reflexión en\(L_\theta\text{,}\) la línea que pasa por el origen y haciendo un ángulo de\(\theta\) con el\(x\) eje positivo, como se muestra en la Figura 2.6.22.

Figura 2.6.22. El reflejo en la línea\(L_\theta\text{.}\)

1. Para ello, observe que esta reflexión se puede obtener componiendo tres transformaciones separadas como se muestra en la Figura 2.6.23. Comenzando con el vector\(\mathbf x\text{,}\) aplicamos la transformación\(R\) para rotar por\(-\theta\) y obtener\(R(\mathbf x)\text{.}\) A continuación, aplicamos\(S\text{,}\) una reflexión en el eje horizontal, seguido de\(T\text{,}\) una rotación por\(\theta\text{.}\) Vemos que\(T(S(R(\mathbf x)))\) es lo mismo que el reflejo de\(\mathbf x\) en la línea original\(L_\theta\text{.}\)

   

   Figura 2.6.23. Reflexión en la línea\(L_\theta\) como composición de tres transformaciones.

   Usando esta descomposición, mostrar que la reflexión en la línea\(L_\theta\) es descrita por la matriz

   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr}\ cos (2\ theta) &\ sin (2\ theta)\\\ sin (2\ theta) & -\ cos (2\ theta)\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Deberás recordar las identidades trigonométricas:

   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ cos (2\ theta) & {} = {}\ cos^2\ theta -\ sin^2\ theta\\\ sin (2\ theta) & {} = {} 2\ sin\ theta\ cos\ theta\\ end {alineado}\ text {.} \ end {ecuación*}
2. Ahora que tenemos una matriz que describe la reflexión en la línea\(L_\theta\text{,}\) muestran que la composición de la reflexión en el eje horizontal seguida de la reflexión en\(L_\theta\) es una rotación en sentido antihorario por un ángulo\(2\theta\text{.}\) Vimos algunos ejemplos de esto anteriormente en el Ejercicio 2.6.4.2.