3.1: Invertibilidad

En secciones anteriores, hemos encontrado soluciones a sistemas lineales utilizando el algoritmo de eliminación gaussiana. Ahora investigaremos otra forma de encontrar soluciones a un tipo específico de ecuación\(A\mathbf x=\mathbf b\) cuando la matriz\(A\) tenga el mismo número de filas y columnas. Para comenzar, veamos algunos ejemplos familiares.

Vista previa Actividad 3.1.1.

1. Explica cómo resolverías la ecuación\(3x = 5\) sin usar el concepto de división.
2. Encuentra la\(2\times2\) matriz\(A\) que gira vectores en sentido contrario a las agujas del reloj\(90^\circ\text{.}\)
3. Encuentra la\(2\times2\) matriz\(B\) que gira vectores en sentido horario\(90^\circ\text{.}\)
4. ¿Cuál esperas que sea\(BA\) el producto? Explica el razonamiento detrás de tu expectativa y luego\(BA\) cómpula para verificarla.
5. Resolver la ecuación\(A\mathbf x = \twovec{3}{-2}\) usando la eliminación gaussiana.
6. Explique por qué su solución también se puede encontrar por computación\(\mathbf x = B\twovec{3}{-2}\text{.}\)

Matrices invertibles

La actividad de previsualización comenzó con un tipo familiar de ecuación,\(3x = 5\text{,}\) y pidió una estrategia para resolverla. Una posible respuesta es dividir ambos lados por 3; en cambio, reformulemos esto como multiplicando por\(3^{-1} = \frac 13\text{,}\) el inverso multiplicativo de 3.

Ahora que nos interesa resolver ecuaciones de la forma\(A\mathbf x = \mathbf b\text{,}\) podríamos tratar de encontrar un enfoque similar. ¿Existe una matriz\(A^{-1}\) que desempeñe el papel de la inversa multiplicativa? Por supuesto, no podemos esperar que cada matriz tenga una inversa multiplicativa; después de todo, el número real\(0\) no tiene una inversa. Veremos, sin embargo, que muchas matrices sí.

Definición 3.1.1

Una\(n\times n\) matriz\(A\) se llama invertible si existe una matriz\(B\) tal que\(BA = I_n\text{,}\) donde\(I_n\) está la matriz de\(n\times n\) identidad. La matriz\(B\) se llama inversa de\(A\) y denota\(A^{-1}\text{.}\)

En la actividad previa, consideramos las matrices

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rr} 0 & -1\\ 1 & 0\\\ end {array}\ right], B=\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 1\\ -1 & 0\\ end {array}\\ right],\ end {ecuación*}

ya que\(A\) gira vectores en\(\mathbb R^2\) por\(90^\circ\) y\(B\) gira vectores por\(-90^\circ\text{.}\) Es fácil verificar que

\ begin {ecuación*} BA=\ left [\ begin {array} {rr} 0 & 1\\ -1 & 0\\\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rr} 0 & -1\\ 1 & 0\\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 0\\ 0 & 1\\ end {array}\ derecha] = I\ texto {.} \ end {ecuación*}

Esto demuestra que\(B = A^{-1}\text{.}\)

La vista previa también indica el uso de inversas matriciales. Ya que\(A^{-1}A = I\text{,}\) tenemos podemos resolver la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) multiplicando ambos lados a la izquierda por\(A^{-1}\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A^ {-1} (A\ mathbf x) & {} = {} A^ {-1}\ mathbf b\\ (A^ {-1} A)\ mathbf x & {} = {} A^ {-1}\ mathbf b\\ I\ mathbf x & {} = {} A^ {-1}\ mathbf b\\ mathbf x & {} = {} A^ {-1}\ mathbf b\ texto {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

Observe que esto es similar a encontrar la solución a\(3x=5\) como\(x=\frac13 5\text{.}\)

Actividad 3.1.2.

Consideremos las matrices

\ begin {ecuation*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ end {array}\\ end {array}\ right], B =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & -4\\ -1 & 3\\ 0 & -1 & 2\\ end {array}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Defina estas matrices en Sage y\(BA = I\) verifíquelas para que\(B=A^{-1}\text{.}\)
2. Encuentra la solución a la ecuación\(A\mathbf x = \threevec{4}{-1}{4}\) usando\(A^{-1}\text{.}\)
3. Usando tu celda de Sage arriba, multiplica\(A\) y\(B\) en el orden opuesto; es decir, qué encuentras al evaluar\(AB\text{?}\)
4. Supongamos que\(A\) es una matriz\(n\times n\) invertible con inversa\(A^{-1}\text{.}\) Esto significa que cada ecuación de la forma\(A\mathbf x=\mathbf b\) tiene una solución, es decir,\(\mathbf x = A^{-1}\mathbf b\text{.}\) ¿Qué se puede concluir sobre el lapso de las columnas de\(A\text{?}\)
5. ¿Qué puedes concluir sobre las posiciones de pivote de la matriz?\(A\text{?}\)
6. Si\(A\) es una\(4\times4\) matriz invertible, ¿cuál es su forma de escalón de fila reducida?

Esta actividad demuestra algunas cosas importantes. Primero, dijimos que\(A\) es invertible si hay una matriz\(B\) tal que\(BA = I\text{.}\) en general, multiplicar matrices requiere cuidados porque el producto depende del orden en que se multipliquen las matrices. No obstante, en este caso, podemos comprobar que eso\(BA = I\) implica\(AB = I\) también. Esto quiere decir que también\(B\) es invertible y que\(A=B^{-1}\text{.}\) Este es el tema del Ejercicio 3.1.5.9.

Además, si la matriz\(A\) es invertible, entonces cada ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) tiene una solución\(\mathbf x = A^{-1}\mathbf b\text{.}\) Esto significa que el lapso de las columnas de\(A\) es\(\mathbb R^n\) así que\(A\) tiene un pivote en cada fila. Dado que la matriz\(A\) tiene\(n\) filas y\(n\) columnas, debe haber un pivote en cada fila y en cada columna. Por lo tanto, la forma de escalón de fila reducida de\(A\) es

\ begin {ecuation*} A\ sim\ left [\ begin {array} {cccc} 1 & 0 &\ ldots & 0\\ 0 & 1 &\ ldots & 0\\ ldots &\\ vdots &\ ddots &\ vdots\\ 0 &\ ldots &\\ ldots & 1\\\ end {array}\ right] = I\ text {.} \ end {ecuación*}

Esto nos proporciona una caracterización útil de matrices invertibles.

Construyendo una matriz inversa

Hemos visto que una matriz invertible\(A\) tiene la propiedad de que su forma de escalón de fila reducida es la identidad; es decir,\(A\sim I\text{.}\) aquí, usaremos este hecho para construir la inversa de una matriz\(A\text{.}\)

Actividad 3.1.3.

En esta actividad, comenzaremos con la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} 1 & 2\\ 1 & 3\\ end {array}\ right]\ end {equation*}

y construir su inversa\(A^{-1}\text{.}\) Por el momento, denotemos la inversa por\(B\) para que\(B=A^{-1}\text{.}\)

1. Sabemos que\(AB = I\text{.}\) si escribimos\(B = \left[\begin{array}{rr}\mathbf b_1& \mathbf b_2\end{array}\right]\text{,}\) entonces tenemos
   \ begin {ecuación*} AB =\ left [\ begin {array} {rr} A\ mathbf b_1 & A\ mathbf b_2\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rr}\ mathbf e_1 &\ mathbf e_2\ end {array}\ right] = I\ text {.} \ end {ecuación*}

   Esto significa que necesitamos resolver las ecuaciones

   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A\ mathbf b_1 & {} = {}\ mathbf e_1\\ A\ mathbf b_2 & {} = {}\ mathbf e_2\\ final {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Usando la celda Sage a continuación, resuelve estas ecuaciones para las columnas de\(B\text{.}\)
2. ¿Cuál es la matriz?\(B\text{?}\) Comprueba eso\(AB = I\) y\(BA = I\text{.}\)
3. Para encontrar las columnas de\(B\text{,}\) resolvimos dos ecuaciones,\(A\mathbf b_1=\mathbf e_1\) y\(A\mathbf b_2=\mathbf e_2\text{.}\) podríamos hacer esto aumentando\(A\) dos tiempos separados, formando matrices
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ left [\ begin {array} {r|r} A &\ mathbf e_1\ end {array}\ right] &\\\ left [\ begin {array} {r|r} A &\ mathbf e_2\ end {array}\ right] &\\\ end {alineado}\ end {ecuación*}

   y encontrar sus formas de escalón de fila reducida. Pero en lugar de resolver estas dos ecuaciones por separado, también podríamos resolverlas juntas formando la matriz aumentada\(\left[\begin{array}{r|rr} A & \mathbf e_1 & \mathbf e_2 \end{array}\right]\) y encontrando la forma de escalón reducido de fila. En otras palabras, aumentamos\(A\) por la matriz\(I\) para formar\(\left[\begin{array}{r|r} A & I \end{array} \right] \text{.}\)

   Forme esta matriz aumentada y encuentre su forma de escalón de fila reducida para encontrar\(A^{-1}\text{.}\)

   Suponiendo que\(A\) es invertible, hemos demostrado que

   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {r|r} A & I\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {r|r} I & A^ {-1}\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
4. Si has definido una matriz\(A\) en Sage, puedes encontrar que es inversa como A.inverse (). Usa Sage para encontrar la inversa de la matriz
   \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -2 & -1\\ -1 & 5 & 6\\ 5 & -4 & 6\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
5. Qué sucede cuando tratamos de encontrar la inversa de la matriz
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} -4 & 2\\ -2 & 1\\\ end {array}\ right]\ text {?} \ end {ecuación*}
6. Supongamos que\(n\times n\) las matrices\(C\) y\(D\) son ambas invertibles. Qué encuentras al simplificar el producto\((D^{-1}C^{-1})(CD)\text{?}\) Explique por qué el producto\(CD\) es invertible y\((CD)^{-1} = D^{-1}C^{-1}\text{.}\)

Encontrar la inversa de una\(n\times n\) matriz\(A\) requiere que resolvamos\(n\) ecuaciones. Si escribimos la inversa como

\ begin {ecuación*} B =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf b_1 &\ mathbf b_2 &\ ldots &\ mathbf b_n\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

entonces tenemos que resolver

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A\ mathbf b_1 & {} = {}\\ mathbf e_1\\ A\ mathbf b_2 & {} = {}\ mathbf e_2\\\ vdots &\\ A\ mathbf b_n & {} = {}\ mathbf e_n\\ end {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Podemos, por supuesto, resolver cada ecuación por separado, pero es más eficiente agrupar las ecuaciones formando la matriz aumentada\(\left[\begin{array}{r|r} A & I \end{array}\right]\) y encontrando su forma de escalón reducido de fila. Luego encontramos

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ left [\ begin {array} {r|r} A & I\ end {array}\ right] & {} = {}\ left [\ begin {array} {r|rrrr} A &\ mathbf e_1 &\ mathbf e_2 &\ ldots\ mathbf e_n\ end {array}\ derecha]\ & {} sim\ {}\ left [\ begin {array} {r|rrrr} I &\ mathbf b_1 &\ mathbf b_2 &\ ldots\ mathbf b_n\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {r|r} I & A^ {-1}\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {alineado}\ end {ecuación*}

Vimos antes que, si\(A\) tiene una inversa, entonces Ahora\(A\sim I\text{.}\) hemos visto eso, si\(A\sim I\text{,}\) entonces\(A\) tiene una inversa.

Por último, vemos que el producto de dos matrices invertibles\(A\) y también\(B\) es invertible. Esto se debe a que

\ begin {ecuación*} (B^ {-1} A^ {-1}) (AB) = B^ {-1} (A^ {-1} A) B = B^ {-1} IB = B^ {-1} B = I\ texto {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto, tenemos\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\text{.}\) Debido a que el producto matriz depende del orden en el que multiplicamos las matrices, use cuidado al aplicar esta relación. La inversa de un producto es el producto de las inversas con el orden de multiplicación invertido.

Propiedades de matrices invertibles.

• Una\(n\times n\) matriz\(A\) es invertible si y solo si\(A\sim I\text{.}\)
• Si\(A\) es invertible, entonces la solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) viene dada por\(\mathbf x = A^{-1}\mathbf b\text{.}\)
• Podemos encontrar\(A^{-1}\) al encontrar la forma de escalón de fila reducida de\(\left[\begin{array}{r|r} A & I \end{array}\right]\text{;}\) a saber,
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {r|r} A & I\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {r|r} I & A^ {-1}\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
• Si\(A\) y\(B\) son dos\(n\times n\) matrices invertibles, entonces su producto también\(AB\) es invertible y\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\text{.}\)

Existe una fórmula simple para encontrar la inversa de una\(2\times2\) matriz:

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr} a & b\\ c & d\\\ end {array}\ right] ^ {-1} =\ frac {1} {ad-bc}\ left [\ begin {array} {rr} d & -b\ -c & a\\\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

que se puede verificar fácilmente. La condición que\(A\) sea invertible se reduce, en este caso, a la condición de que\(ad-bc\neq 0\text{.}\) Entenderemos mejor esta condición una vez que hayamos explorado determinantes en la Sección 3.4. Existe una fórmula similar para la inversa de una\(3\times 3\) matriz, pero no hay una buena razón para escribirla aquí.

Matrices triangulares y eliminación gaussiana

En términos generales, resolver una ecuación\(A\mathbf x=\mathbf b\) encontrando primero\(A^{-1}\) y luego evaluando no\(\mathbf x = A^{-1}\mathbf b\) es la mejor estrategia ya que reducir filas la matriz aumentada\(\left[\begin{array}{r|r} A & \mathbf b \end{array}\right]\) implica considerablemente menos trabajo. Esto queda claro una vez que recordamos que encontrar lo inverso\(A^{-1}\) requiere que resolvamos\(n\) ecuaciones de esta forma.

Para la clase de matrices triangulares, sin embargo, encontrar inversos es relativamente eficiente y útil, como veremos en la Sección 5.1.

Definición 3.1.2

Decimos que una matriz\(A\) es triangular inferior si todas sus entradas por encima de la diagonal son cero. De igual manera,\(A\) es triangular superior si todas las entradas por debajo de la diagonal son cero.

Por ejemplo, la matriz de\(L\) abajo es una matriz triangular inferior mientras que\(U\) es una matriz triangular superior.

\ begin {ecuación*} L =\ left [\ begin {array} {rrrr} * & 0 & 0 & 0\ * & * & 0 & 0\ * & * & * & * & 0\ * & * & 0\ * & * & * & *\\ end {array}\ derecha],\ hspace {24pt} U =\ left [\ begin {array} {rrrr} * & * & & *\\ 0 & * & * & *\\ 0 & 0 & * & *\\ 0 & 0 & *\\\ end {array}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

Podemos desarrollar una prueba simple para determinar si una matriz triangular\(n\times n\) inferior es invertible. Usemos la eliminación gaussiana para encontrar la forma de escalón de fila reducida de la matriz triangular inferior

\ begin {ecuation*}\ begin {aligned}\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 2 & -2 & 0\\ -3 & 4 & -4\\ end {array}\ right] & {}\ sim {}\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 4\ -4\ fin {array}\ derecha]\\ & {}\ sim {}\ izquierda [\ begin { array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -4\\\ end {array}\ derecha]\ sim\ izquierda [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {alineado}\ end {ecuación*}

Debido a que las entradas en la diagonal son distintas de cero, encontramos una posición de pivote en cada fila, lo que nos dice que la matriz es invertible. Sin embargo, si hay una entrada cero en la diagonal, la matriz no puede ser invertible. Considerando la matriz a continuación, vemos que tener un cero en la diagonal conduce a una fila sin una posición de pivote.

\ begin {ecuation*}\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ -3 & 4 & -4\\\ end {array}\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & 4 & -4\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Proposición 3.1.3.

Una matriz\(n\times n\) triangular es invertible si y solo si las entradas en la diagonal son todas distintas de cero.

Hasta este punto, nuestra herramienta principal para estudiar sistemas lineales, conjuntos de vectores y matrices ha sido la eliminación gaussiana. Como demuestra la siguiente actividad, podemos expresar las operaciones de fila realizadas en la eliminación gaussiana en términos de multiplicación matricial. En la Sección 5.1, utilizaremos esta observación para crear una manera eficiente de resolver ecuaciones de la forma\(A\mathbf x=\mathbf b\text{.}\)

Actividad 3.1.4.

Como ejemplo, consideraremos la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & -2\\ -1 & 2 & -1\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Al realizar la eliminación gaussiana en primero\(A\text{,}\) aplicamos una operación de reemplazo de fila en la que multiplicamos la primera fila por\(-2\) y agregamos a la segunda fila. Después de este paso, tenemos una nueva matriz\(A_1\text{.}\)

\ begin {ecuation*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & -2\\ -1 & 2 & -1\\ end {array}\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1\\ 0 & -4\\ -1 & 2 & -1\\ end {array}\ derecha] = A_1\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Mostrar que multiplicar\(A\) por la matriz triangular inferior
   \ begin {ecuación*} L_1 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

   tiene el mismo efecto que esta operación de fila; es decir, mostrar que\(L_1A = A_1\text{.}\)

2. Explica por qué\(L_1\) es invertible y encuentra su inversa\(L_1^{-1}\text{.}\)
3. Deberías ver que existe una relación sencilla entre\(L_1\) y\(L_1^{-1}\text{.}\) Describir esta relación y explicar por qué se sostiene.
4. Para continuar con el algoritmo de eliminación gaussiana, necesitamos aplicar dos reemplazos de fila más para llevar\(A\) a una forma triangular\(U\) donde
   \ begin {ecuation*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & -2\\ -1 & 2 & -1\\ end {array}\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1\\ 0 & -4\\ 0 & -4\ 0 & -4\\ end {array}\ derecha] = U\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Encuentre las matrices\(L_2\) y\(L_3\) que realicen estas operaciones de reemplazo de filas para que\(L_3L_2L_1 A = U\text{.}\)

5. Explica por qué el producto matriz\(L_3L_2L_1\) es invertible y usa este hecho para escribir\(A = LU\text{.}\) ¿Cuál es la matriz\(L\) que encuentras? ¿Por qué crees que lo denotamos por\(L\text{?}\)
6. Las operaciones de reemplazo de filas siempre se pueden realizar multiplicando por una matriz triangular inferior. Resulta que las otras dos operaciones de fila, escalado e intercambio, también se pueden realizar usando multiplicación matricial. Por ejemplo, considere las dos matrices
   \ begin {ecuación*} S =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ end {array}\ derecha],\ hspace {24pt} P =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\ fin {matriz}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Mostrar que multiplicar\(A\) por\(S\) realiza una operación de escalado y que multiplicar por\(P\) realiza un intercambio de filas.

7. Explique por qué las matrices\(S\) y\(P\) son invertibles y declaran sus inversos.

Demostraremos nuevamente las ideas en esta actividad utilizando la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & -2\\ -3 & -6 & 3\\ 2 & 0 & -2\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Después de realizar operaciones de reemplazo de tres filas, encontramos la matriz triangular superior equivalente a fila\(U\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & -2\\ -3 & -6 & 3\\ 2 & 0 & -1\\ end {array}\ derecha] & {}\ sim {}\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -3\\ 2 & 0 & -1\\\ end {array}\ derecha] = A_1\\ & {}\ sim {}\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -3\\ 0 & -6 & 3\\\ end {array}\\ right] = A_2\\ & {}\ sim {}\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -3\ 0 & 0 & -3\\ end {array}\ derecha] = U\\\ final {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

La operación de reemplazo de la primera fila multiplica la primera fila por\(3\) y agrega el resultado a la segunda fila. Podemos perfom esta operación multiplicando\(A\) por la matriz triangular inferior\(L_1\) donde

\ begin {ecuación*} L_1A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 3 & -2\\ -3 & -6 & 3\\ 2 & 0 & -2\\ end {array}\ derecha] =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 y 3 y -2\\ 0 & 3 & -3\\ 2 & 0 & -1\\\ end {array}\ right] = A_1\ text {.} \ end {ecuación*}

Las siguientes dos operaciones de reemplazo de filas son realizadas por las matrices

\ begin {ecuación*} L_2 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha],\ hspace {24pt} L_3 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 y 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

para que\(L_3L_2L_1A = U\text{.}\)

Observe que la inversa de\(L_1\) tiene la forma simple:

\ begin {ecuación*} L_1 =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha],\ hspace {24pt} L_1^ {-1} =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Esto tiene sentido; si queremos deshacer la operación de multiplicar la primera fila por\(3\) y sumar a la segunda fila, debemos multiplicar la primera fila por\(-3\) y agregarla a la segunda fila. Este es el efecto de\(L_1^{-1}\text{.}\)

Las otras operaciones de fila que utilizamos en la implementación de la eliminación gaussiana también se pueden realizar multiplicando por una matriz invertible. En particular, si escalamos una fila por un número distinto de cero\(s\text{,}\) podemos deshacer esta operación escalando por\(\frac 1s\text{.}\) Esto lleva a las matrices diagonales invertibles, como

\ begin {ecuación*} S =\ left [\ begin {array} {rrr} s & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha],\ hspace {24pt} S^ {-1} =\ left [\ begin {array} {rrr}\ frac 1s & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

Del mismo modo, un intercambio de filas conduce a una matriz\(P\text{,}\) que es su propia inversa. Un ejemplo es

\ begin {ecuación*} P =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha] = P^ {-1}\ text {.} \ end {ecuación*}

Resumen

En esta sección, encontramos condiciones que garantizan que una matriz tenga una inversa. Cuando estas condiciones se mantienen, también encontramos un algoritmo para encontrar la inversa.

• La\(n\times n\) matriz\(A\) es invertible si y sólo si es fila equivalente a\(I_n\text{,}\) la matriz de\(n\times n\) identidad.
• Si una matriz\(A\) es invertible, entonces la solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) es\(\mathbf x = A^{-1}\mathbf b\text{.}\)
• Si una matriz\(A\) es invertible, podemos usar la eliminación gaussiana para encontrar su inversa:
  \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {r|r} A & I\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {r|r} I & A^ {-1}\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
• Las operaciones de fila utilizadas en la realización de la eliminación gaussiana se pueden realizar multiplicando por matrices invertibles. Más específicamente, una operación de reemplazo de fila se puede realizar multiplicando por una matriz triangular inferior invertible.

Ejercicios 3.1.5Ejercicios

1

Considerar la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} 3 & -1 & 1 & 4\\ 0 & 2 & 3 & 1\\ -2 & 1 & 0 & 2\\ 3 & 0 & 0 & 2\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Explique por qué\(A\) tiene una inversa.
2. Encuentra la inversa de\(A\) incrementando por la identidad\(I\) para formar\(\left[\begin{array}{r|r}A & I \end{array}\right]\text{.}\)
3. Usa tu inverso para resolver la ecuación\(A\mathbf x = \fourvec{3}{2}{-3}{-1}\text{.}\)

2

En este ejercicio, consideraremos\(2\times 2\) las matrices como transformaciones lineales definitorias.

1. Escribe la matriz\(A\) que realiza una\(45^\circ\) rotación. ¿Qué operación geométrica deshace esta rotación? Encuentra la matriz que realiza esta operación y verifica que es\(A^{-1}\text{.}\)
2. Escribe la matriz\(A\) que realiza una\(180^\circ\) rotación. Verifica\(A^2 = I\) eso para eso\(A^{-1} = A\text{,}\) y explica geométricamente por qué es así.
3. Encuentra tres matrices más\(A\) que satisfagan\(A^2 = I\text{.}\)

3

Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz.

1. Supongamos que\(A^2 = AA\) es invertible con inverso\(B\text{.}\) Esto significa que\(BA^2 = BAA = I\text{.}\) Explicar por qué\(A\) debe ser invertible con inverso\(BA\text{.}\)
2. Supongamos que\(A^{100}\) es invertible con inverso\(B\text{.}\) Explique por qué\(A\) es invertible. Qué es\(A^{-1}\) en términos de\(A\) y\(B\text{?}\)

4

Nuestra definición de matriz invertible requiere que\(A\) sea una\(n\times n\) matriz cuadrada. Examinemos lo que sucede cuando no\(A\) es cuadrado. Por ejemplo, supongamos que

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rr} -1\\ -2 & -1\\ 3 & 0\\\ end {array}\ right],\ hspace {24pt} B =\ left [\ begin {array} {rrr} -2 & 2 & 1\\ 1 & -2 & -1\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Verificar que\(BA = I_2\text{.}\) En este caso, decimos que\(B\) es un inverso a la izquierda de\(A\text{.}\)
2. Si\(A\) tiene un inverso izquierdo todavía\(B\text{,}\) podemos usarlo para encontrar soluciones a ecuaciones lineales. Si sabemos que hay una solución a la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\text{,}\) podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por\(B\) encontrar\(\mathbf x = B\mathbf b\text{.}\)

   Supongamos que sabe que hay una solución a la ecuación\(A\mathbf x = \threevec{-1}{-3}{6}\text{.}\) Usa el inverso izquierdo\(B\) para encontrar\(\mathbf x\) y verificar que es una solución.

3. Ahora considere la matriz
   \ begin {ecuación*} C =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 0\\ -2 & 1 & 0\\\ end {array}\ right]\ end {ecuación*}

   y verificar que también\(C\) es un inverso izquierdo de\(A\text{.}\) Esto demuestra que la matriz\(A\) puede tener más de una inversa izquierda.

4. Cuando\(A\) es una matriz cuadrada, dijimos que eso\(BA=I\) implica que\(AB=I\text{.}\) en este problema, tenemos una matriz no cuadrada\(A\) con\(BA = I\text{.}\) Lo que sucede cuando calculamos\(AB\text{?}\)

5

Si una matriz\(A\) es invertible, hay una secuencia de operaciones de fila que se\(A\) transforman en la matriz de identidad\(I\text{.}\) Hemos visto que cada operación de fila se puede realizar por multiplicación matricial. Si el\(j^{th}\) paso en el proceso de eliminación gaussiana se realiza multiplicando por\(E_j\text{,}\) entonces tenemos

\ begin {ecuación*} e_p\ ldots E_2E_1 A = I\ text {,}\ end {ecuación*}

lo que significa que

\ begin {ecuación*} A^ {-1} = e_P\ ldots E_2E_1\ texto {.} \ end {ecuación*}

Para cada una de las siguientes matrices, busque una secuencia de operaciones de fila que transforme la matriz a la identidad\(I\text{.}\) Escriba las matrices\(E_j\) que realicen los pasos y utilícelas para encontrar\(A^{-1}\text{.}\)

1. \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 0 & 2 & 0\\ -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}
2. \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}
3. \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1\\ 0 & 1\\ 0 & 0 & 2\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

6

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica tu razonamiento.

1. Si\(A\) es invertible, entonces las columnas de\(A\) son linealmente independientes.
2. Si\(A\) es una matriz cuadrada cuyas entradas diagonales son todas distintas de cero, entonces\(A\) es invertible.
3. Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz invertible, entonces las columnas de\(A\) span\(\mathbb R^n\text{.}\)
4. Si\(A\) es invertible, entonces hay una solución no trivial a la ecuación homogénea\(A\mathbf x = \zerovec\text{.}\)
5. Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz y la ecuación\(A\mathbf x = \mathbf b\) tiene una solución para cada vector\(\mathbf b\text{,}\) entonces\(A\) es invertible.

7

Proporcione una justificación para su respuesta a las siguientes preguntas.

1. Supongamos que\(A\) es una matriz cuadrada con dos columnas idénticas. ¿Puede\(A\) ser invertible?
2. Supongamos que\(A\) es una matriz cuadrada con dos filas idénticas. ¿Puede\(A\) ser invertible?
3. Supongamos que\(A\) es una matriz invertible y que ¿\(AB = AC\text{.}\)Puedes concluir que\(B = C\text{?}\)
4. Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz invertible. ¿Qué puedes decir sobre el lapso de las columnas de\(A^{-1}\text{?}\)
5. Supongamos que\(A\) es una matriz invertible y eso\(B\) es fila equivalente a ¿\(A\text{.}\)Puedes garantizar que\(B\) es invertible?

8

Supongamos que comenzamos con la\(3\times3\) matriz\(A\) y realizamos la siguiente secuencia de operaciones de fila:

1. Multiplica la fila 1 por -2 y agrega a la fila 2.
2. Multiplica la fila 1 por 4 y agrega a la fila 3.
3. Escalar fila 2 por\(1/2\text{.}\)
4. Multiplica la fila 2 por -1 y suma a la fila 3.

Supongamos que llegamos a la matriz triangular superior

\ begin {ecuación*} U =\ left [\ begin {array} {rrr} 3 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -4\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Escribe las matrices\(E_1\text{,}\)\(E_2\text{,}\)\(E_3\text{,}\) y\(E_4\) que realizan las operaciones de cuatro filas.
2. Encuentra la matriz\(E = E_4E_3E_2E_1\text{.}\)
3. Tenemos entonces\(E_4E_3E_2E_1 A = EA = U\text{.}\) Ahora que tenemos la matriz\(E\text{,}\) encontrar la matriz original\(A = E^{-1}U\text{.}\)

9

Definimos una\(n\times n\) matriz para que sea invertible si hay una matriz\(B\) tal que\(BA=I_n\text{.}\) En este ejercicio, vamos a explicar por qué también\(B\) es invertible y que\(AB = I\text{.}\) Esto quiere decir que, si\(B=A^{-1}\text{,}\) entonces\(A = B^{-1}\text{.}\)

1. Ante el hecho de que\(BA = I_n\text{,}\) explican por qué la matriz también\(B\) debe ser una\(n\times n\) matriz cuadrada.
2. Supongamos que\(\mathbf b\) es un vector en\(\mathbb R^n\text{.}\) Ya que tenemos\(BA = I\text{,}\) se deduce que\(B(A\mathbf b) = \mathbf b\text{.}\) Usa esto para explicar por qué las columnas de\(B\) span\(\mathbb R^n\text{.}\) ¿Qué dice esto sobre las posiciones de pivote de\(B\text{?}\)
3. Explique por qué la ecuación\(B\mathbf x = \zerovec\) tiene sólo la solución trivial.
4. Comenzando con la ecuación,\(BA=I\text{,}\) multiplicar ambos lados por\(B\) para obtener\(BAB = B\text{.}\) Reorganizaremos esta ecuación:
   \ begin {ecuación*}\ begin {alineado} BAB & {} = {} B\\ BAB - B& {} = {} 0\\ B (AB-I) & {} = {} 0\ text {.}\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

   Dado que la ecuación homogénea sólo\(B\mathbf x =\zerovec\) tiene la solución trivial, explique por qué\(AB-I = 0\) y por lo tanto,\(AB = I\text{.}\)