3.2: Bases y sistemas de coordenadas

Al trabajar en el avión, estamos acostumbrados a pensar en las coordenadas cartesianas estándar. Si mencionamos el punto\((4,3)\text{,}\) sabemos que llegamos a este punto desde el origen moviendo cuatro unidades a la derecha y tres unidades hacia arriba.

A veces, sin embargo, es más natural trabajar en un sistema de coordenadas diferente. Supongamos, por ejemplo, que vives en la ciudad cuyo mapa se muestra en la Figura 3.2.1 y que te gustaría darle a un invitado indicaciones para llegar de tu casa a la tienda. Probablemente dirías algo como: “Ve cuatro cuadras arriba Maple. Después gira a la izquierda en Main durante tres cuadras”. La cuadrícula de calles de la ciudad da un sistema de coordenadas más natural que las coordenadas estándar norte-sur, este-oeste.

Figura 3.2.1. Un mapa de la ciudad.

En esta sección, desarrollaremos el concepto de una base a través de la cual crearemos nuevos sistemas de coordenadas en\(\mathbb R^m\text{.}\) Veremos que la elección correcta de un sistema de coordenadas proporciona una forma más natural de abordar algunos problemas.

Vista previa Actividad 3.2.1.

Considerar los vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ twovec {2} {1},\ mathbf v_2 =\ twovec {1} {2}\ end {ecuación*}

en\(\mathbb R^2\text{.}\)

1. Indicar la combinación lineal\(\mathbf v_1 - 2\mathbf v_2\) en la Figura 3.2.2.

   

Figura 3.2.2. Combinaciones lineales de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

Expresar el vector\(\twovec{-3}{0}\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

Encuentra la combinación lineal\(10\mathbf v_1 - 13\mathbf v_2\text{.}\)

Expresar el vector\(\twovec{16}{-4}\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

Explique por qué cada vector en\(\mathbb R^2\) puede escribirse como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) exactamente de una manera.

En la actividad de vista previa, trabajamos con un conjunto de dos vectores en\(\mathbb R^2\) y encontramos que podíamos expresar cualquier vector de dos maneras diferentes: de la manera habitual donde los componentes del vector describen cambios horizontales y verticales, y de una nueva manera como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbb R^2\) \(\mathbf v_2\text{.}\)También podríamos traducir entre estas dos descripciones diferentes. Este ejemplo ilustra la idea central de esta sección.

Bases

En la actividad de vista previa, creamos un nuevo sistema de coordenadas para\(\mathbb R^2\) usar combinaciones lineales de un conjunto de vectores. A medida que trabajamos para hacerlo de manera más general, la siguiente definición nos guiará.

Definición 3.2.3

Un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) en\(\mathbb R^m\) se llama base para\(\mathbb R^m\) si el conjunto de vectores abarca\(\mathbb R^m\) y es linealmente independiente.

Veremos algunos ejemplos de bases en la siguiente actividad.

Actividad 3.2.2.

1. En la actividad de vista previa, consideramos un conjunto de vectores en\(\mathbb R^2\text{:}\)
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ twovec {2} {1},\ mathbf v_2 =\ twovec {1} {2}\ text {.} \ end {ecuación*}

   Explicar por qué estos vectores forman una base para\(\mathbb R^2\text{.}\)

2. Considere el conjunto de vectores en\(\mathbb R^3\)
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {1} {1} {1},\ mathbf v_2 =\ threevec {0} {1} {-1},\ mathbf v_3 =\ threevec {1} {0} {-1}\ text {.} \ end {ecuación*}

   y determinar si forman una base para\(\mathbb R^3\text{.}\)

3. Hacer los vectores
   \ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ threevec {-2} {1} {3},\ mathbf v_2 =\ threevec {3} {0} {-1},\ mathbf v_3 =\ threevec {1} {1} {0},\ mathbf v_4 =\ threevec {0} {3} {-2}\ end {equation*}

   formar una base para\(\mathbb R^3\text{?}\)

4. Explicar por qué los vectores\(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\) forman una base para\(\mathbb R^3\text{.}\)
5. Si un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) forma una base para\(\mathbb R^m\text{,}\) lo que se puede garantizar sobre las posiciones de pivote de la matriz
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\ end {array}\ right]\ text {?} \ end {ecuación*}
6. ¿Si el conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) es una base para\(\mathbb R^{10}\text{,}\) cuántos vectores deben haber en el conjunto?

Podemos desarrollar una prueba para determinar si un conjunto de vectores\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\) forma una base para\(\mathbb R^m\) considerar la matriz

\ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Para ser una base, este conjunto de vectores debe abarcarse\(\mathbb R^m\) y ser linealmente independientes.

Sabemos que el conjunto de vectores abarca\(\mathbb R^m\) si y solo si\(A\) tiene una posición de pivote en cada fila. También sabemos que el conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si\(A\) tiene una posición de pivote en cada columna. Esto significa que un conjunto de vectores forma una base si y solo si\(A\) tiene un pivote en cada fila y cada columna. Por lo tanto,\(A\) debe ser fila equivalente a la matriz de identificación\(I\text{:}\)

\ begin {ecuación*} A\ sim\ left [\ begin {array} {cccc} 1 & 0 &\ ldots & 0\\ 0 &\ ldots & 0 &\ ldots & 0\\\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\\ 0 &\ ldots & 1\ end {array}\ right] = I\ text {.} \ end {ecuación*}

Además de ayudar a identificar bases, este hecho nos dice algo importante sobre el número de vectores en una base. Dado que la matriz\(A\) tiene una posición de pivote en cada fila y cada columna, debe tener el mismo número de filas que las columnas. Por lo tanto, el número de vectores en una base para\(\mathbb R^m\) debe ser\(m\text{.}\) Por ejemplo, una base para\(\mathbb R^{10}\) debe tener exactamente 10 vectores.

Ejemplo 3.2.4

Cabe señalar que por primera vez nos encontramos con una base hace mucho tiempo cuando consideramos los vectores en\(\mathbb R^3\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ mathbf e_1 =\ threevec {1} {0} {0},\ mathbf e_2 =\ threevec {0} {1} {0},\ mathbf e_3 =\ threevec {0} {0} {0} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

Vemos que estos vectores son, de hecho, las columnas de la matriz de\(3\times3\) identidad, lo que confirma que este conjunto forma una base.

De manera más general, el conjunto de vectores\(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\ldots,\mathbf e_m\) forma una base para la\(\mathbb R^m\text{,}\) que llamamos la base estándar para\(\mathbb R^m\text{.}\)

Sistemas de coordenadas

Si tenemos una base para\(\mathbb R^m\text{,}\) que podamos utilizarla para formar un sistema de coordenadas como ahora describiremos. En lugar de continuar escribiendo una lista de vectores, nos resultará conveniente denotar una base usando un solo símbolo, como

\ begin {ecuación*}\ bcal =\ {\ mathbf v_1,\ mathbf v_2,\ ldots,\ mathbf v_m\}\ end {ecuación*}

Ejemplo 3.2.5

En la actividad de previsualización de esta sección, consideramos los vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ twovec {2} {1},\ mathbf v_2 =\ twovec {1} {2}\ text {,}\ end {ecuación*}

que forman una base\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) para\(\mathbb R^2\text{.}\)

En el sistema de coordenadas estándar, el punto\((2,-3)\) se encuentra moviendo 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo. Nos gustaría definir un nuevo sistema de coordenadas donde interpretemos como que nos movemos dos veces\((2,-3)\) a lo largo\(\mathbf v_1\) y 3 veces a lo largo\(-\mathbf v_2\text{.}\) Como vemos en la figura, hacerlo nos deja en el punto\((1,-4)\text{,}\) expresado en el sistema de coordenadas habitual.

Hemos visto que

\ begin {ecuación*}\ mathbf x =\ twovec {1} {-4} = 2\ mathbf v_1 - 3\ mathbf v_2\ text {.} \ end {ecuación*}

Las coordenadas del vector\(\mathbf x\) en el nuevo sistema de coordenadas son los pesos que utilizamos para crear\(\mathbf x\) como una combinación lineal de\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\text{.}\)

Como ahora tenemos dos descripciones del vector\(\mathbf x\text{,}\) necesitamos alguna notación para hacer un seguimiento de qué sistema de coordenadas estamos usando. Porque\(\twovec{1}{-4} = 2\mathbf v_1 - 3\mathbf v_2\text{,}\) vamos a escribir

\ begin {ecuación*}\ coords {\ dovec {1} {-4}} {\ bcal} =\ twovec {2} {-3}\ texto {.} \ end {ecuación*}

De manera más general,\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) denotará las coordenadas de\(\mathbf x\) en la base es\(\bcal\text{;}\) decir,\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) es el vector\(\twovec{c_1}{c_2}\) de pesos tal que

\ begin {ecuación*}\ mathbf x = c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2\ texto {.} \ end {ecuación*}

Para ilustrar, si las coordenadas de\(\mathbf x\) en la base\(\bcal\) son

\ begin {ecuación*}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal} =\ twovec {5} {-2}\ texto {,}\ fin {ecuación*}

entonces

\ begin {ecuación*}\ mathbf x = 5\ mathbf v_1 - 2\ mathbf v_2 = 5\ twovec {2} {1} -2\ twovec {1} {2} =\ twovec {8} {3}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Concluimos que

\ begin {ecuación*}\ coords {\ twovec {8} {3}} {\ bcal} =\ twovec {5} {-2}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Esto demuestra cómo podemos traducir las coordenadas en la base\(\bcal\) en coordenadas estándar.

Supongamos que conocemos la expresión de un vector\(\mathbf x\) en coordenadas estándar. ¿Cómo podemos encontrar sus coordenadas en la base\(\bcal\text{?}\) Por ejemplo, supongamos\(\mathbf x=\twovec{-8}{2}\) y que nos gustaría encontrar\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\) Tenemos

\ comenzar {ecuación*}\ coords {\ dovec {-8} {2}} {\ bcal} =\ twovec {c_1} {c_2}\ final {ecuación*}

donde

\ begin {ecuación*}\ twovec {-8} {2} = c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2\ end {ecuación*}

o

\ begin {ecuación*} c_1\ twovec {2} {1} + c_2\ twovec {1} {2} =\ twovec {-8} {2}. \ end {ecuación*}

Este sistema lineal para los pesos define una matriz aumentada

\ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rr|r} 2 & 1 & -8\\ 1 & 2 & 2\\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rr|r} 1 & 0 & -6\\ 0 & 1 & 4\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto,

\ begin {ecuación*}\ coords {\ twovec {-8} {2}} {\ bcal} =\ twovec {-6} {4}\ text {.} \ end {ecuación*}

Este ejemplo ilustra cómo una base en\(\mathbb R^2\) proporciona un nuevo sistema de coordenadas para\(\mathbb R^2\) y muestra cómo podemos traducir entre este sistema de coordenadas y el estándar.

De manera más general, supongamos que\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_m\}\) es una base para\(\mathbb R^m\text{.}\) Sabemos que los vectores abarcan lo\(\mathbb R^m\text{,}\) que implica que cualquier vector\(\mathbf x\) en\(\mathbb R^m\) puede escribirse como una combinación lineal de los vectores. Además, sabemos que los vectores son linealmente independientes, lo que significa que podemos escribir\(\mathbf x\) como una combinación lineal de los vectores exactamente de una manera. Por lo tanto, tenemos

\ begin {ecuación*}\ mathbf x = c_1\ mathbf v_1 + c_2\ mathbf v_2 +\ ldots + c_m\ mathbf v_m\ end {ecuación*}

donde los pesos\(c_1, c_2,\ldots, c_m\) son únicos. En este caso, escribimos la descripción coordinada de\(\mathbf x\) en la base\(\bcal\) como

\ begin {ecuación*}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal} =\ fourvec {c_1} {c_2} {\ vdots} {c_m}\ text {.} \ end {ecuación*}

Actividad 3.2.3.

Comencemos con la base\(\bcal = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) de\(\mathbb R^2\) donde

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ twovec {3} {-2},\ mathbf v_2 =\ twovec {2} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Si las coordenadas de\(\mathbf x\) en la base\(\bcal\) son\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{-2}{4}\text{,}\) lo que es el vector\(\mathbf x\text{?}\)
2. Si\(\mathbf x = \twovec{3}{5}\text{,}\) encuentra las coordenadas de\(\mathbf x\) en la base es\(\bcal\text{;}\) decir, encuentra\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\)
3. Encuentra una matriz\(A\) tal que, para cualquier vector que\(\mathbf x\text{,}\) tengamos\(\mathbf x = A\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\) Explique por qué esta matriz es invertible.
4. Usando lo que encontraste en la parte anterior, encuentra una matriz\(B\) tal que, para cualquier vector\(\mathbf x\text{,}\) tenemos\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = B\mathbf x\text{.}\) ¿Cuál es la relación entre las dos matrices que has encontrado en esta y la parte anterior? Explique por qué se mantiene esta relación.
5. Supongamos que también consideramos la base
   \ begin {ecuación*}\ ccal =\ izquierda\ {\ twovec {1} {2},\ twovec {-2} {1}\ derecha\}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Encontrar una matriz\(C\) que convierta las coordenadas de la base\(\ccal\) en coordenadas en la base es\(\bcal\text{;}\) decir,

   \ begin {ecuación*}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal} = C\ coords {\ mathbf x} {\ ccal}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Tal vez desee pensar en convertir las coordenadas de la base\(\ccal\) en el sistema de coordenadas estándar y luego en la base\(\bcal\text{.}\)

6. Supongamos que consideramos la base estándar
   \ begin {ecuación*}\ ecal =\ {\ mathbf e_1,\ mathbf e_2\}\ texto {.} \ end {ecuación*}

   ¿Cuál es la relación entre\(\mathbf x\) y\(\coords{\mathbf x}{\ecal}\text{?}\)

Esta actividad demuestra cómo podemos convertir eficientemente entre sistemas de coordenadas definidos por diferentes bases. Consideremos una base\(\bcal = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_m\}\) y un vector\(\mathbf x\text{.}\) Sabemos que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x & {} = {} c_1\ mathbf v_1 +c_2\ mathbf v_2+\ ldots+c_m\ mathbf v_m\\\\ & {} = {}\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_m\ end {array}\ derecha]\ fourvec {c_1} {c_2} {\ vdots} {c_m}\\\ & {} = {}\ izquierda [\ begin {array} {rrrr} \ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_m\ end {array}\ derecha]\ coords {\ mathbf x} {\ bcal}\ text {.} \ end {alineado}\ end {ecuación*}

Si usamos\(C_{\bcal}\) para denotar la matriz cuyas columnas son los vectores base, entonces encontramos que

\ begin {ecuación*}\ mathbf x = C_ {\ bcal}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal}\ final {ecuación*}

donde\(C_{\bcal} = \left[\begin{array}{rrrr} \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \ldots & \mathbf v_m \end{array}\right]\text{.}\) Esto significa que la matriz\(C_{\bcal}\) convierte las coordenadas de la base\(\bcal\) en coordenadas estándar.

Dado que las columnas de\(C_{\bcal}\) son los vectores base\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_m\text{,}\) sabemos que\(C_{\bcal} \sim I_m\) debido a que este conjunto de vectores es linealmente independiente y abarca\(\mathbb R^m\text{.}\) por lo tanto,\(C_{\bcal}\) es invertible. Ya que tenemos

\ begin {ecuación*}\ mathbf x = C_ {\ bcal}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal}\ texto {,}\ final {ecuación*}

también debemos tener

\ begin {ecuación*} C_ {\ bcal} ^ {-1}\ mathbf x =\ coords {\ mathbf x} {\ bcal}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Para resumir, vemos que\(C_{\bcal}\) convierte las coordenadas en la base\(\bcal\) en coordenadas estándar, y\(C_{\bcal}^{-1}\) convierte las coordenadas estándar en coordenadas en la base\(\bcal\text{.}\)

Si tenemos otra base\(\ccal\text{,}\) encontramos, de la misma manera, esa\(\mathbf x = C_{\ccal}\coords{\mathbf x}{\ccal}\) para la conversión entre coordenadas en la base\(\ccal\) en coordenadas estándar. Entonces tenemos

\ begin {ecuación*}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal} = C^ {-1} _ {\ bcal}\ mathbf x = C_ {\ bcal} ^ {-1} (C_ {\ ccal}\ coords {\ mathbf x} {\ ccal}) = (C_ {\ bcal} ^ {-1} C_ {\ ccal})\ coords {\ mathbf x} {\ ccal}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Por lo tanto,\(C_{\bcal}^{-1}C_{\ccal}\) es la matriz la que convierte\(\ccal\) -coordenadas en\(\bcal\) -coordenadas.

A pesar de que gran parte de lo que estamos haciendo aquí parece nuevo, hemos estado usando la base estándar todo el tiempo. Por ejemplo, si\(\mathbf x\) es un vector, entonces

\ begin {ecuación*}\ mathbf x =\ fourvec {c_1} {c_2} {\ vdots} {c_m} = c_1\ mathbf e_1 + c_2\ mathbf e_2 +\ ldots + c_m\ mathbf e_m = C_ {\ ecal}\ coords {\ mathbf x} {\ ecal}\ texto {.} \ end {ecuación*}

La matriz\(C_{\ecal}\) es, por supuesto, la identidad.

Ejemplos de bases

Ahora veremos algunos ejemplos de bases y comenzaremos a ver la utilidad de mirar un problema en un sistema de coordenadas diferente.

Ejemplo 3.2.6

Consideremos la base de\(\mathbb R^3\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ bcal =\ left\ {\ threevec {1} {0} {-2},\ threevec {-2} {1} {0},\ threevec {1} {1} {2}\ derecha\}\ text {.} \ end {ecuación*}

Es relativamente sencillo convertir la representación de un vector en esta base a la base estándar, utilizando la matriz cuyas columnas son los vectores base:

\ begin {ecuación*} C_ {\ bcal} =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ -2 & 0 & 2\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Por ejemplo, supongamos que el vector\(\mathbf x\) se describe en el sistema de coordenadas definido por la base como Luego\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \threevec{2}{-2}{1}\text{.}\) tenemos

\ begin {ecuación*}\ mathbf x = C_ {\ bcal}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal} =\ left [\ begin {array} {rrr} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ end {array}\\ derecha]\ threevec {2} {-2} {1} =\ tresevec {7} {-1} {2}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Consideremos ahora el vector\(\mathbf x=\threevec{3}{1}{-2}\text{.}\) Si quisiéramos expresarnos\(\mathbf x\) en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{,}\) entonces calculamos

\ begin {ecuación*}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal} = C^ {-1} _ {\ bcal}\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {rrr}\ frac14 &\ frac 12 & -\ frac38\ -\ frac14 &\ frac12 & -\ frac12 & -\ frac18\\ frac14 &\ frac12 &\ frac18\ end {array}\ right]\ threevec {3} {1} {-2} =\ threevec {2} {0} {1}\ text {.} \ end {ecuación*}

Ejemplo 3.2.7

Supongamos que trabajamos para una empresa que registra sus ingresos trimestrales, en millones de dólares, como:

Cuadro 3.2.8. Ingresos trimestrales

Trimestre	Ingresos
1	10.3
2	13.1
3	7.5
4	8.2

En lugar de usar una tabla para registrar los datos, podríamos mostrarla en una gráfica o escribirla como vector en\(\mathbb R^4\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ mathbf x=\ fourvec {10.3} {13.1} {7.5} {8.2}\ text {.} \ end {ecuación*}

Consideremos ahora una nueva base\(\bcal\) para\(\mathbb R^4\) usar vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ fourvec {1} {1} {1} {1},\ mathbf v_2=\ fourvec {1} {1} {-1} {-1},\ mathbf v_3=\ fourvec {1} {-1} {0} {0},\ mathbf v_4=\ fourvec {0} 0} {1} {-1}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Podemos ver estos elementos de base gráficamente, como en la Figura 3.2.9

Figura 3.2.9. Una representación de los elementos básicos de\(\bcal\text{.}\)

Como deseamos convertir nuestros vectores de ingresos en las coordenadas dadas por\(\bcal\text{,}\) nosotros formamos las matrices:

\ begin {ecuación*} C_ {\ bcal} =\ left [\ begin {array} {rrrr} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 & -1\\ end {array}\ derecha], C_ {\ bcal} ^ {-1} =\ left [\ begin {array} rrrr}\ frac14 &\ frac14 &\ frac14 &\ frac14\\ frac14 &\ frac14 & -\ frac14 & -\ frac14\\\ frac12 & -\ frac12 & 0 & 0\\ 0 &\ frac12 & -\ frac12\\\ end {array}\ derecha]\ end {ecuación*}

y cómpute

\ begin {ecuación*}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal} = C_ {\ bcal} ^ {-1}\ mathbf x = C_ {\ bcal} ^ {-1}\ fourvec {10.3} {13.1} {7.5} {8.2} =\ fourvec {9.775} {1.925} {-1.400} {-1.400} {-0.350}\ text {.} \ end {ecuación*}

Esto significa que nuestro vector de ingresos es

\ begin {ecuación*}\ mathbf x = 9.775\ mathbf v_1 + 1.925\ mathbf v_2 - 1.400\ mathbf v_3 - 0.350\ mathbf v_4\ text {.} \ end {ecuación*}

Pensaremos en lo que significan estas coordenadas sumando los vectores base uno a la vez.

La primera coordenada nos da los ingresos promedio a lo largo del año:\(9.775\mathbf v_1\text{.}\)

La adición en el segundo componente muestra cómo los promedios en la primera y segunda mitad del año difieren de la media anual:\(9.775\mathbf v_1 + 1.925\mathbf v_2\text{.}\)

El tercer y cuarto componentes desglosan el comportamiento en la primera y segunda mitad del año en trimestres:

\ begin {ecuation*}\ begin {aligned}\ mathbf x = & 9.775\ mathbf v_1 + 1.925\ mathbf v_2\\ & - 1.400\ mathbf v_3 - 0.350\ mathbf v_4\ text {.} \ end {alineado}\ end {ecuación*}

Si\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \fourvec{c_1}{c_2}{c_3}{c_4}\text{,}\) escribimos vemos que el coeficiente\(c_1\) mide los ingresos promedio a lo largo del año,\(c_2\) mide la desviación del promedio anual en la primera y segunda mitad del año, y\(c_3\) mide cómo los ingresos en el primer y segundo trimestre difieren del promedio en el primer semestre del año. De esta manera, los coeficientes proporcionan una visión de los ingresos en diferentes escalas de tiempo, desde un resumen anual hasta una visión más fina del comportamiento trimestral.

Esta base a veces se llama una base de wavelet Haar, y el cambio de base se conoce como una transformada de wavelet Haar. En la siguiente sección, veremos cómo esta base proporciona una manera útil de almacenar imágenes digitales.

Actividad 3.2.4. Detección de bordes.

Un problema importante en el campo de la visión por computador es detectar bordes en una fotografía digital, como se muestra en la Figura 3.2.10. Los algoritmos de detección de bordes son útiles cuando, digamos, queremos que un robot localice un objeto en su campo de visión. Los diseñadores gráficos también utilizan estos algoritmos para crear efectos de artista.

Figura 3.2.10. Una pared de cañón en el Parque Nacional Capitol Reef y el resultado de un algoritmo de detección de bordes.

Consideraremos una versión muy simple de un algoritmo de detección de bordes para dar una idea de cómo funciona esto. En lugar de considerar una fotografía bidimensional, pensaremos en una fila unidimensional de píxeles en una fotografía. Los valores de escala de grises de un píxel miden el brillo de un píxel; un valor de escala de grises de 0 corresponde al negro y un valor de 255 corresponde al blanco.

Supongamos, por simplicidad, que los valores de escala de grises para una fila de seis píxeles están representados por un vector\(\mathbf x\) en\(\mathbb R^6\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} 25\\ 34\\ 30\\ 45\\ 190\\ 200\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

Podemos ver fácilmente que hay un salto en el brillo entre los píxeles 4 y 5, pero ¿cómo podemos detectarlo computacionalmente? Introduciremos una nueva base\(\bcal\) para\(\mathbb R^6\) con vectores:

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0\\ 0\ end {array}\ right],\ mathbf v_2=\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 1\\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 0\ end {array}\ right],\ mathbf v_3=\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 1\\ 1\\ 0\ 0\\ 0\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_4=\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_5=\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 1\\ 1\ 1\\ 1\\ 0\ end {array}\ derecha],\ mathbf v_6=\ left [\ begin {array} {r} 1\\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ fin {matriz}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Construir la matriz\(C_\bcal\) que relaciona el sistema de coordenadas estándar con las coordenadas en la base\(\bcal\text{.}\)
2. Determinar la matriz\(C_\bcal^{-1}\) que convierte la representación de\(\mathbf x\) en coordenadas estándar en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{.}\)
3. Supongamos que los vectores se expresan en términos generales como
   \ begin {ecuación*}\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\ end {array}\ derecha],\ coords {\ mathbf x} {\ bcal} =\ left [\ begin {array} {r} c_1\\ c_2\ c_3\\ c_4\\ c_5\\ c_6\ end {array}\ derecha]\ texto {.} \ end {ecuación*}

   Usando la relación\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = C_{\bcal}^{-1}\mathbf x\text{,}\) determinar una expresión para el coeficiente\(c_2\) en términos de\(x_1,x_2,\ldots,x_6\text{.}\) ¿Qué\(c_2\) mide en términos de los valores en escala de grises de los píxeles? ¿Qué\(c_4\) mide en términos de los valores en escala de grises de los píxeles?

4. Ahora para el vector específico
   \ begin {ecuación*}\ mathbf x =\ left [\ begin {array} {r} 25\\ 34\\ 30\\ 45\\ 190\\ 200\ end {array}\ right]\ text {,}\ end {ecuación*}

   determinar la representación de\(\mathbf x\) en el sistema\(\bcal\) de coordenadas.

5. Explicar cómo los coeficientes\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) determinan la ubicación del salto de brillo en los valores de escala de grises representados por el vector\(\mathbf x\text{.}\)

Los lectores que están familiarizados con el cálculo pueden reconocer que este cambio de base convierte un vector\(\mathbf x\) en\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{,}\) el conjunto de cambios en\(\mathbf x\text{.}\) Este proceso es similar a la diferenciación en el cálculo. De igual manera, el proceso de conversión\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) al vector\(\mathbf x\) suma los cambios en un proceso similar a la integración. Este cambio de base, por lo tanto, representa una versión algebraica lineal del Teorema Fundamental del Cálculo.

Resumen

Definimos una base para ser un conjunto de vectores\(\bcal = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\}\) que abarca\(\mathbb R^m\) y es linealmente independiente.

• Un conjunto de vectores forma una base para\(\mathbb R^m\) si y solo si la matriz
  \ begin {ecuación*} A =\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_n\ end {array}\ derecha]\ sim I\ text {.} \ end {ecuación*}

  Esto significa que debe haber\(m\) vectores en una base para\(\mathbb R^m\text{.}\)

• Si\(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_m\) forma una base para\(\mathbb R^m\text{,}\) entonces cualquier vector en se\(\mathbb R^m\) puede escribir como una combinación lineal de los vectores de exactamente una manera.
• Se utilizó la base\(\bcal\) para definir un sistema de coordenadas en\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \fourvec{c_1}{c_2}{\vdots}{c_n} \text{,}\) el que las coordenadas de\(\mathbf x\) en la base\(\bcal\text{,}\) son definidas por
  \ begin {ecuación*}\ mathbf x = c_1\ mathbf v_1+c_2\ mathbf v_2 +\ ldots + c_n\ mathbf v_m\ text {.} \ end {ecuación*}
• Formando la matriz\(C_{\bcal}\) cuyas columnas son los vectores base, podemos convertir entre sistemas de coordenadas:
  \ begin {ecuación*}\ begin {alineado} x & {} = {} C_ {\ bcal}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal}\\ C_ {\ bcal} ^ {-1} x & {} = {}\ coords {\ mathbf x} {\ bcal}\\ final {alineado}\ texto {.} \ end {ecuación*}

Ejercicios 3.2.5Ejercicios

1

En la Figura 3.2.11 se muestran dos vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) en el plano\(\mathbb R^2\text{.}\)

Figura 3.2.11. Vectores\(\mathbf v_1\) y\(\mathbf v_2\) en\(\mathbb R^2\text{.}\)

1. Explicar por qué\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) es una base para\(\mathbb R^2\text{.}\)
2. Usando la Figura 3.2.11, indique los vectores de\(\mathbf x\) tal manera que
   1. \(\displaystyle \coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{2}{-1}\)
   2. \(\displaystyle \coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{-1}{-2}\)
   3. \(\displaystyle \coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{0}{3}\)
3. Usando la Figura 3.2.11, encuentre la representación\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) si
   1. \(\mathbf x = \twovec{-2}{-1}\text{.}\)
   2. \(\mathbf x = \twovec{2}{4}\text{.}\)
   3. \(\mathbf x = \twovec{2}{-5}\text{.}\)
4. Encuentra\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) si\(\mathbf x=\twovec{60}{90}\text{.}\)

2

Considerar vectores

\ begin {ecuation*}\ begin {aligned}\ mathbf v_1=\ twovec {1} {2}, &\ mathbf v_2=\ twovec {1} {-3}\\ mathbf w_1=\ twovec {2} {3}, &\ mathbf w_2=\ twovec {-1} {-2}\ text {.}\\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

y dejar\(\bcal = \{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) y\(\ccal = \{\mathbf w_1,\mathbf w_2\}\text{.}\)

1. Explicar por qué\(\bcal\) y\(\ccal\) son ambas bases de\(\mathbb R^2\text{.}\)
2. Si\(\mathbf x = \twovec{5}{-3}\text{,}\) encuentra\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) y\(\coords{\mathbf x}{\ccal}\text{.}\)
3. Si\(\coords{\mathbf x}{\bcal}=\twovec{2}{-4}\text{,}\) encuentra\(\mathbf x\) y\(\coords{\mathbf x}{\ccal}\text{.}\)
4. Si\(\coords{\mathbf x}{\ccal}=\twovec{-3}{2}\text{,}\) encuentra\(\mathbf x\) y\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\)
5. Encuentra una matriz\(D\) tal que\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = D\coords{\mathbf x}{\ccal}\text{.}\)

3

Considere los siguientes vectores en\(\mathbb R^4\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1 =\ fourvec {1} {1} {1} {1},\ mathbf v_2 =\ fourvec {0} {1} {1} {1},\ mathbf v_3 =\ fourvec {0} {0} {1} {1},\ mathbf v_4 =\ fourvec {0} {0} {} {0} {1}\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. Explicar por qué\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf v_4\}\) forma una base para\(\mathbb R^4\text{.}\)
2. Explicar cómo convertir\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{,}\) la representación de un vector\(\mathbf x\) en las coordenadas definidas por\(\bcal\text{,}\) en\(\mathbf x\text{,}\) su representación en el sistema de coordenadas estándar.
3. Explicar cómo convertir el vector\(\mathbf x\) en,\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{,}\) su representación en el sistema de coordenadas definido por\(\bcal\text{.}\)
4. Si\(\mathbf x=\fourvec{23}{12}{10}{19}\text{,}\) encuentra\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\)
5. Si\(\coords{\mathbf x}{\bcal}=\fourvec{3}{1}{-3}{-4}\text{,}\) encuentra\(\mathbf x\text{.}\)

4

Considere los siguientes vectores en\(\mathbb R^3\text{:}\)

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ threevec {1} {3} {2},\ mathbf v_2=\ threevec {0} {1} {4},\ mathbf v_3=\ threevec {-2} {-5} {0},\ mathbf v_4=\ threevec {-2} {-1} {-1},\ mathbf v_5=\ tresevec {1} {-2} {-1}\ texto {.} \ end {ecuación*}

1. ¿Estos vectores forman una base para\(\mathbb R^3\text{?}\) Explica tu pensamiento.
2. Encuentre un subconjunto de estos vectores que forme una base de\(\mathbb R^3\text{.}\)
3. Supongamos que tiene un conjunto de vectores\(\mathbf v_1, \mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_6\) en\(\mathbb R^4\) tales
   \ begin {ecuación*}\ left [\ begin {array} {rrrr}\ mathbf v_1 &\ mathbf v_2 &\ ldots &\ mathbf v_6\ end {array}\ right]\ sim\ left [\ begin {array} {rrrrrr} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 3 & 0 & -4\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ right]\ text {.} \ end {ecuación*}

   Encuentra un subconjunto de los vectores que abarcan\(\mathbb R^4\text{.}\)

5

Este ejercicio involucra una simple transformada de Fourier, que jugará un papel importante en la siguiente sección.

Supongamos que tenemos los vectores

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ threevec {1} {1} {1},\ mathbf v_2=\ threevec {\ cos\ izquierda (\ frac\ pi6\ derecha)} {\ cos\ izquierda (\ frac {3\ pi} 6\ derecha)} {\ cos\ izquierda (\ frac {5\ pi} 6\ derecha)} mathbf v_3=\ threevec {\ cos\ left (\ frac {2\ pi} 6\ right)} {\ cos\ left (\ frac {6\ pi} 6\ right)} {\ cos\ left (\ frac {10\ pi} 6\ right)}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Explicar por qué\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\}\) es una base para\(\mathbb R^3\text{.}\)
2. Si\(\mathbf x=\threevec{15}{15}{15}\text{,}\) encuentra\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\)
3. Encuentra las matrices\(C_{\bcal}\) y\(C_{\bcal}^{-1}\text{.}\) Si\(\mathbf x=\threevec{x_1}{x_2}{x_3}\) y\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \threevec{c_1}{c_2}{c_3}\text{,}\) explica por qué\(c_1\) es el promedio de\(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) y\(x_3\text{.}\)

6

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y proporcione una justificación para su respuesta.

1. Si las columnas de una matriz\(A\) forman una base para\(\mathbb R^m\text{,}\) entonces\(A\) es invertible.
2. Debe haber 125 vectores en una base para\(\mathbb R^{125}\text{.}\)
3. Si\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_n\}\) es una base de\(\mathbb R^m\text{,}\) entonces cada vector en se\(\mathbb R^m\) puede expresar como una combinación lineal de vectores base.
4. Las coordenadas\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) son los pesos que se forman\(\mathbf x\) como una combinación lineal de vectores base.
5. Si los vectores base forman las columnas de la matriz\(C_{\bcal}\text{,}\) entonces\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = C_{\bcal}\mathbf x\text{.}\)

7

Proporcione una justificación para su respuesta a cada una de las siguientes preguntas.

1. Supongamos que tiene vectores\(m\) linealmente independientes en ¿\(\mathbb R^m\text{.}\)Puede garantizar que forman una base de\(\mathbb R^m\text{?}\)
2. Si\(A\) es una\(m\times m\) matriz invertible, ¿las columnas forman necesariamente una base de\(\mathbb R^m\text{?}\)
3. Supongamos que tenemos una\(m\times m\) matriz invertible\(A\text{,}\) y realizamos una secuencia de operaciones de fila\(A\) para formar una matriz ¿\(B\text{.}\)Puede garantizar que las columnas de\(B\) forman una base para\(\mathbb R^m\text{?}\)

8

A los cristógrafos les resulta conveniente utilizar sistemas de coordenadas que se adapten a la geometría específica de un cristal. Como ejemplo bidimensional, considere una capa de grafito en la que los átomos de carbono se disponen en hexágonos regulares para formar la estructura cristalina mostrada en la Figura 3.2.12.

Figura 3.2.12. Una capa de átomos de carbono en un cristal de grafito.

El origen del sistema de coordenadas está en el átomo de carbono etiquetado con “0”. Es conveniente elegir la base\(\bcal\) definida por los vectores\(\mathbf v_1\)\(\mathbf v_2\) y el sistema de coordenadas que define.

1. Localizar los puntos\(\mathbf x\) para los cuales
   1. \(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{1}{0}\text{,}\)
   2. \(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{0}{1}\text{,}\)
   3. \(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{2}{1}\text{.}\)
2. Encuentra las coordenadas\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) para todos los átomos de carbono en el hexágono cuyo vértice inferior izquierdo está etiquetado como “0”.
3. ¿Cuáles son las coordenadas\(\coords{\mathbf x}{\bcal}\) del centro de ese hexágono, que está etiquetado como “C”?
4. ¿Cómo se comparan las coordenadas de los átomos en el hexágono cuya esquina inferior izquierda está etiquetada como “1” con las coordenadas del hexágono cuya esquina inferior izquierda está etiquetada como “0"?
5. ¿El punto\(\mathbf x\) cuyas coordenadas son\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{16}{4}\) corresponde a un átomo de carbono o al centro de un hexágono?

9

Supongamos que\(A=\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1& 2 \\ \end{array}\right]\) y

\ begin {ecuación*}\ mathbf v_1=\ twovec {1} {1},\ mathbf v_2=\ twovec {1} {-1}\ text {.} \ end {ecuación*}

1. Explicar por qué\(\bcal=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2\}\) es una base para\(\mathbb R^2\text{.}\)
2. Encuentra\(A\mathbf v_1\) y\(A\mathbf v_2\text{.}\)
3. Usa lo que encontraste en la parte anterior de este problema para encontrar\(\coords{A\mathbf v_1}{\bcal}\) y\(\coords{A\mathbf v_2}{\bcal}\text{.}\)
4. Si\(\coords{\mathbf x}{\bcal} = \twovec{1}{-5}\text{,}\) encuentra\(\coords{A\mathbf x}{\bcal} \text{.}\)
5. Encuentra una matriz\(D\) tal que\(\coords{A\mathbf x}{\bcal} = D\coords{\mathbf x}{\bcal}\text{.}\)

Debes encontrar que la matriz\(D\) es una matriz muy simple, lo que significa que esta base\(\bcal\) es muy adecuada para estudiar el efecto de multiplicación por\(A\text{.}\) Esta observación es la idea central del siguiente capítulo.