5.2: Encontrar vectores propios numéricamente

Cuando se presenta con una matriz cuadrada\(A\text{,}\) hemos encontrado típicamente sus valores propios como las raíces del polinomio característico\(\det(A-\lambda I) = 0\) y los vectores propios asociados como el espacio nulo\(\nul(A-\lambda I)\text{.}\) Desafortunadamente, este enfoque no es práctico cuando estamos trabajando con matrices grandes. En primer lugar, encontrar el polinomio característico de una matriz grande requiere un cálculo considerable, al igual que encontrar las raíces de ese polinomio. Segundo, encontrar el espacio nulo de una matriz singular está plagado de problemas numéricos, como veremos en la actividad de vista previa.

En esta sección, exploraremos una técnica llamada método power que encuentra aproximaciones numéricas a los autovalores y vectores propios de una matriz cuadrada. En términos generales, este método es como se encuentran los vectores propios en aplicaciones informáticas prácticas.

Vista previa Actividad 5.2.1.

Recordemos algunas observaciones anteriores sobre los valores propios y los vectores propios.

1. ¿Cómo se relacionan los valores propios y los vectores propios asociados\(A\) con los de\(A^{-1}\text{?}\)
2. ¿Cómo se relacionan los valores propios y los vectores propios asociados\(A\) con los de\(A-3I\text{?}\)
3. Si\(\lambda\) es un valor propio de\(A\text{,}\) lo que podemos decir sobre las posiciones de pivote de\(A-\lambda I\text{?}\)
4. Supongamos que\(A = \left[\begin{array}{rr} 0.8 & 0.4 \\ 0.2 & 0.6 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Explicar cómo sabemos que\(1\) es un valor propio de\(A\) y luego explicar por qué el siguiente cálculo de Sage es incorrecto.
5. Supongamos que\(\mathbf x_0 = \twovec{1}{0}\text{,}\) y definimos una secuencia\(\mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k\text{;}\) en otras palabras,\(\mathbf x_{k} = A^k\mathbf x_0\text{.}\) ¿qué pasa a\(\mathbf x_k\) medida que\(k\) crece cada vez más grande?
6. Explicar cómo los valores propios de\(A\) son responsables del comportamiento señalado en la pregunta anterior.

El método de potencia

Nuestro objetivo es encontrar una técnica que produzca aproximaciones numéricas a los autovalores y vectores propios asociados de una matriz\(A\text{.}\) Comenzamos por buscar el valor propio que tenga el mayor valor absoluto. A esto lo llamamos el valor propio dominante.

Empecemos por la matriz estocástica positiva\(A=\left[\begin{array}{rr} 0.8 & 0.4 \\ 0.2 & 0.6 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Pasamos bastante tiempo estudiando este tipo de matriz en la Sección 4.5; en particular, vimos que cualquier cadena de Markov convergerá al vector de estado estacionario único. Reformulemos esta afirmación en términos de los vectores propios de\(A\text{.}\)

En este caso, tenemos valores propios\(\lambda_1 = 1\) y\(\lambda_2 =0.4\text{,}\) y vectores propios asociados\(\mathbf v_1 = \twovec{2}{1}\) y\(\mathbf v_2 = \twovec{-1}{1}\text{.}\)

Supongamos que comenzamos con el vector

\ begin {ecuación*}\ mathbf x_0 =\ twovec {1} {0} =\ frac13\ mathbf v_1 -\ frac13\ mathbf v_2\ end {ecuación*}

y encuentra

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x_1 & {} = {} A\ mathbf x_0 =\ frac13\ mathbf v_1 -\ frac13 (0.4)\ mathbf v_2\\ mathbf x_2 & {} = {} A^2\ mathbf x_0 =\ frac13\ mathbf v_1 -\ frac13 (0.4) ^2\ mathbf v_2\\\ mathbf x_3 & {} = {} A^3\ mathbf x_0 =\ frac13\ mathbf v_1 -\ frac13 (0.4) ^3\ mathbf v_2\\ & amp;\ vdots\\\ mathbf x_k & {} = {} a^k\ mathbf x_0 =\ frac13\ mathbf v_1 -\ frac13 (0.4) ^k\ mathbf v_2\\ final {alineado}\ final {ecuación*}

y así sucesivamente. El punto es que los poderes\(0.4^k\) se hacen cada vez más pequeños a\(k\) medida que crece para que\(\mathbf x_k\approx \frac13\mathbf v_1\) cuando\(k\) sea grande. \(k\)A medida que crece, la contribución del vector propio\(\mathbf v_2\) a los vectores\(\mathbf x_k\) se vuelve cada vez más insignificante. Por lo tanto, los vectores\(\mathbf x_k\) se acercan cada vez más a un vector en el espacio propio\(E_1\text{.}\) Si no conocíamos el autovector\(\mathbf v_1\text{,}\) podríamos encontrar un vector base para de esta\(E_1\) manera.

Veamos ahora la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right] \text{,}\) que tiene valores propios y y vectores propios asociados\(\lambda_1=3\)\(\lambda_2 = 1\)\(\mathbf v_1 = \twovec{1}{1}\) y\(\mathbf v_{2} = \twovec{-1}{1}\text{.}\) Una vez más, comencemos con el vector\(\mathbf x_0 = \twovec{1}{0}=\frac12 \mathbf v_1 - \frac12 \mathbf v_2\) para que

\ begin {ecuación*}\ begin {alineado}\ mathbf x_1 & {} = {} A\ mathbf x_0 = 3\ frac12\ mathbf v_1 -\ frac12\ mathbf v_2\\ mathbf x_2 & {} = {} = {} A^2\ mathbf x_0 = 3^2\ frac13\ mathbf v_1 -\ frac12\ mathbf v_1 -\ frac12\ mathbf v_1 _2\\\ mathbf x_3 & {} = {} A^3\ mathbf x_0 = 3^3\ frac13\ mathbf v_1 -\ frac12\ mathbf v_2\\ &\ vdots \\\ mathbf x_k & {} = {} a^k\ mathbf x_0 = 3^k\ frac13\ mathbf v_1 -\ frac12\ mathbf v_2\ texto {.}\\\ end {alineado}\ end {ecuación*}

Como muestra la figura, los vectores\(\mathbf x_k\) se estiran por un factor de\(3\) en la\(\mathbf v_1\) dirección y no en absoluto en la\(\mathbf v_2\) dirección. En consecuencia, los vectores\(\mathbf x_k\) se vuelven cada vez más largos, pero su dirección se acerca a la dirección del autovector\(\mathbf v_1=\twovec{1}{1}\) asociado al autovalor dominante.

Para encontrar un vector propio asociado al valor propio dominante, evitaremos que la longitud de los vectores\(\mathbf x_k\) crezca arbitrariamente grande multiplicándose por una constante normalizadora apropiada. Hay varias formas de hacerlo; describiremos una forma sencilla. Dado el vector\(\mathbf x_k\text{,}\) identificamos su componente que tiene el mayor valor absoluto y lo llamamos A continuación\(m_k\text{.}\) definimos\(\overline{\mathbf x}_k = \frac{1}{m_k} \mathbf x_k\text{,}\) lo que significa que el componente de\(\overline{\mathbf x}_k\) tener el mayor valor absoluto es\(1\text{.}\)

Por ejemplo, comenzando con\(\mathbf x_0 = \twovec{1}{0}\text{,}\) encontramos\(\mathbf x_1 = A\mathbf x_{0} = \twovec{2}{1}\text{.}\) El componente de\(\mathbf x_1\) tener el mayor valor absoluto es\(m_1=2\) así que multiplicamos por\(\frac{1}{m_1} = \frac12\) para obtener\(\overline{\mathbf x}_1 = \twovec{1}{\frac12}\text{.}\) Entonces\(\mathbf x_2 = A\overline{\mathbf x}_1 = \twovec{\frac52}{2}\text{.}\) Ahora el componente que tiene el mayor valor absoluto es\(m_2=\frac52\) así que multiplicamos por\(\frac25\) para obtener \(\overline{\mathbf x}_2 = \twovec{1}{\frac45}\text{.}\)

La secuencia resultante de vectores\(\overline{\mathbf x}_k\) se muestra en la figura. Observe cómo los vectores\(\overline{\mathbf x}_k\) ahora se acercan al autovector\(\mathbf v_1\text{.}\) De esta manera, encontramos el autovector\(\mathbf v=\twovec{1}{1}\) de la matriz\(A\text{.}\) Este es el método de potencia para encontrar un autovector asociado al autovalor dominante de una matriz.

Actividad 5.2.2.

Comencemos considerando la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 0.5 & 0.2 \\ 0.4 & 0.7 \\ \end{array}\right]\) y el vector inicial\(\mathbf x_0 = \twovec{1}{0}\text{.}\)

1. Calcular el vector\(\mathbf x_1 = A\mathbf x_0\text{.}\)
2. Encuentra\(m_1\text{,}\) el componente de\(\mathbf x_1\) que tiene el mayor valor absoluto. Entonces formulario\(\overline{\mathbf x}_1 = \frac 1{m_1} \mathbf x_1\text{.}\) Observe que el componente que tiene el mayor valor absoluto de\(\overline{\mathbf x}_1\) es\(1\text{.}\)
3. Encuentra el vector\(\mathbf x_2 = A\overline{\mathbf x}_1\text{.}\) Identificar el componente\(m_2\) de\(\mathbf x_2\) tener el mayor valor absoluto. Luego forma\(\overline{\mathbf x}_2 = \frac1{m_2}\overline{\mathbf x}_1\) para obtener un vector en el que el componente con el mayor valor absoluto es\(1\text{.}\)
4. La celda de Sage a continuación define una función que implementa el método power. Defina la matriz\(A\) y el vector inicial\(\mathbf x_0\) a continuación. La potencia de comando (A, x0, N) imprimirá el multiplicador\(m\) y los vectores\(\overline{\mathbf x}_k\) para\(N\) los pasos del método de potencia.

   ¿Cómo identifica este cálculo un vector propio de la matriz?\(A\text{?}\)

5. ¿Cuál es el valor propio correspondiente de este vector propio?
6. ¿Cómo nos\(m_k\) dicen los valores de los multiplicadores el valor propio asociado al vector propio que hemos encontrado?
7. Consideremos ahora la matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} -5.1 & 5.7 \\ -3.8 & 4.4 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Utilice el método power para encontrar el valor propio dominante\(A\) y un autovector asociado.

Observe que el método power nos da no sólo un autovector\(\mathbf v\) sino también su propio valor asociado. Al igual que en la actividad, consideremos la matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} -5.1 & 5.7 \\ -3.8 & 4.4 \\ \end{array}\right] \text{,}\) que tiene eigenvector\(\mathbf v=\twovec{3}{2}\text{.}\) El primer componente tiene el mayor valor absoluto así que multiplicamos por\(\frac13\) para obtener\(\overline{\mathbf v}=\twovec{1}{\frac23}\text{.}\) Cuando\(A\text{,}\) multiplicamos por tenemos\(A\overline{\mathbf v} = \twovec{-1.30}{-0.86}\text{.}\) Observe que el primer componente todavía tiene el mayor valor absoluto por lo que el multiplicador\(m=-1.3\) es el valor propio\(\lambda\) correspondiente al vector propio. Esto demuestra el hecho de que los multiplicadores se\(m_k\) acercan al valor propio\(\lambda\) que tiene el mayor valor absoluto.

Observe que el método power requiere que escojamos un vector inicial\(\mathbf x_0\text{.}\) Para la mayoría de las elecciones, este método encontrará el valor propio que tiene el mayor valor absoluto. Sin embargo, una desafortunada elección de\(\mathbf x_0\) puede que no. Por ejemplo, si hubiéramos elegido\(\mathbf x_0 = \mathbf v_2\) en nuestro ejemplo anterior, los vectores en la secuencia no\(\mathbf x_k = A^k\mathbf x_0=\lambda_2^k\mathbf v_2\) detectarán el autovector\(\mathbf v_1\text{.}\) Sin embargo, suele suceder que nuestra suposición inicial\(\mathbf x_0\) tiene alguna contribución de\(\mathbf v_1\) que nos permite encontrarla.

El método del poder, como se presenta aquí, fallará para ciertas matrices desafortunadas. Esto se examina en el Ejercicio 5.2.4.5 junto con un medio para mejorar el método de potencia para trabajar para todas las matrices.

Encontrar otros valores propios

El método power da una técnica para encontrar el valor propio dominante de una matriz. Podemos modificar el método para encontrar los otros valores propios también.

Actividad 5.2.3.

La clave para encontrar el valor propio de\(A\) tener el valor absoluto más pequeño es señalar que los vectores propios de\(A\) son los mismos que los de\(A^{-1}\text{.}\)

1. Si\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A\) con vector propio asociado\(\lambda\text{,}\) explicar por qué\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A^{-1}\) con autovalor asociado\(\lambda^{-1}\text{.}\)
2. Explicar por qué el valor propio de\(A\) tener el valor absoluto más pequeño es el recíproco del valor propio dominante de\(A^{-1}\text{.}\)
3. Explicar cómo utilizar el método de poder aplicado\(A^{-1}\) para encontrar el valor propio de\(A\) tener el valor absoluto más pequeño.
4. Si aplicamos el método power a\(A^{-1}\text{,}\) comenzamos con un vector inicial\(\mathbf x_0\) y generamos la secuencia No\(\mathbf x_{k+1} = A^{-1}\mathbf x_k\text{.}\) es computacionalmente eficiente computar\(A^{-1}\text{,}\) sin embargo, así que en su lugar resolvemos la ecuación\(A\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k\text{.}\) Explicar por qué una\(LU\) factorización de\(A\) es útil para implementar el método de potencia aplicado a\(A^{-1}\text{.}\)
5. La siguiente celda de Sage define un comando llamado inverse_power que aplica el método power a Es\(A^{-1}\text{.}\) decir, inverse_power (A, x0, N) imprime los vectores\(\mathbf x_k\text{,}\) donde\(\mathbf x_{k+1} = A^{-1}\mathbf x_k\text{,}\) y multiplicadores\(\frac{1}{m_k}\text{,}\) que se aproximan al valor propio de\(A\text{.}\) Utilícelo para encontrar el valor propio de\(A=\left[\begin{array}{rr} -5.1 & 5.7 \\ -3.8 & 4.4 \\ \end{array}\right]\) tener el valor absoluto más pequeño.
6. El método de potencia inversa sólo funciona si\(A\) es invertible. Si no\(A\) es invertible, ¿cuál es su valor propio teniendo el valor absoluto más pequeño?
7. Utilice el método power y el método de power inverso para encontrar los valores propios y los vectores propios asociados de la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} -0.23 & -2.33 \\ -1.16 & 1.08 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

Con el método power y el método de power inverso, ahora podemos encontrar los valores propios de una matriz\(A\) que tiene los valores absolutos más grandes y más pequeños. Con una modificación más, podemos encontrar todos los valores propios de\(A\text{.}\)

Actividad 5.2.4.

Recuerda que el valor absoluto de un número nos dice a qué distancia se encuentra ese número\(0\) en la recta numérica real. Por lo tanto, podemos pensar que el método de potencia inversa nos dice el valor propio más cercano a\(0\text{.}\)

1. Si\(\mathbf v\) es un valor propio de\(A\) con el valor propio asociado\(\lambda\text{,}\) explicar por qué\(\mathbf v\) es un vector propio de\(A - sI\) donde\(s\) es algún escalar.
2. ¿Cuál es el valor propio de\(A-sI\) asociado al vector propio\(\mathbf v\text{?}\)
3. Explicar por qué el valor propio de\(A\) más cercano a\(s\) es el valor propio de\(A-sI\) más cercano a\(0\text{.}\)
4. Explicar por qué aplicar el método de potencia inversa\(A-sI\) para dar el valor propio de\(A\) más cercano a\(s\text{.}\)
5. Considerar la matriz\(A = \left[\begin{array}{rrrr} 3.6 & 1.6 & 4.0 & 7.6 \\ 1.6 & 2.2 & 4.4 & 4.1 \\ 3.9 & 4.3 & 9.0 & 0.6 \\ 7.6 & 4.1 & 0.6 & 5.0 \\ \end{array}\right] \text{.}\) Si usamos el método power y el método de power inverso, encontramos dos valores propios,\(\lambda_1=16.35\) y\(\lambda_2=0.75\text{.}\) Viendo estos valores propios en una recta numérica, sabemos que los otros valores propios se encuentran en el rango entre\(-\lambda_1\) y\(\lambda_1\text{,}\) como sombreados en la Figura 5.2.1.

   

   Figura 5.2.1. El rango de valores propios de\(A\text{.}\)

   La celda de Sage a continuación tiene una función find_closest_eigenvalue (A, s, x, N) que implementa\(N\) pasos del método de potencia inversa usando la matriz\(A-sI\) y un vector inicial\(x\text{.}\) Esta función imprime aproximaciones a los autovalores y vectores propios de\(A\text{.}\) Al intentar diferentes valores en las regiones grises de la línea numérica, encuentre los otros dos valores propios de\(A\text{.}\)
6. Escribir una lista de los cuatro valores propios de\(A\) en orden creciente.

Claramente existen restricciones sobre las matrices a las que se aplica esta técnica. Hemos estado haciendo la suposición leve de que los valores propios de\(A\) son reales y distintos. Si\(A\) tiene valores propios repetidos o complejos, será necesario utilizar alguna otra técnica.

Resumen

Hemos explorado el método power como una herramienta para aproximar numéricamente los valores propios y los vectores propios de una matriz.

• Después de elegir un vector inicial\(\mathbf x_0\text{,}\) definimos la secuencia\(\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k\text{.}\) Como\(k\) se vuelve cada vez más grande, la dirección de los vectores se aproxima\(\mathbf x_k\) cada vez más a la dirección del espacio propio correspondiente al valor propio\(\lambda_1\) que tiene el mayor valor absoluto.
• Normalizamos los vectores\(\mathbf x_k\) multiplicando por\(\frac{1}{m_k}\text{,}\) dónde\(m_k\) está el componente que tiene el mayor valor absoluto. De esta manera, los vectores se\(\overline{\mathbf x}_k\) acercan a un vector propio asociado a\(\lambda_1\text{.}\) Los multiplicadores se\(m_k\) acercan al valor propio\(\lambda_1\text{.}\)
• Para encontrar el valor propio que tiene el valor absoluto más pequeño, aplicamos el método power usando la matriz\(A^{-1}\text{.}\)
• Para encontrar el valor propio más cercano a algún número\(s\text{,}\) aplicamos el método power usando la matriz\((A-sI)^{-1}\text{.}\)

Ejercicios 5.2.4Ejercicios

Esta celda Sage tiene los comandos power, inverse_power y find_closest_eigenvalue que hemos desarrollado en esta sección. Después de evaluar esta celda, estos comandos estarán disponibles en cualquier otra celda de esta página.

1

Supongamos que\(A\) es una matriz que tiene valores propios\(-3\text{,}\)\(-0.2\text{,}\)\(1\text{,}\) y\(4\text{.}\)

1. ¿Cuáles son los valores propios de\(A^{-1}\text{?}\)
2. ¿Cuáles son los valores propios de\(A+7I\text{?}\)

2

Utilice los comandos power, inverse_power y find_closest_eigenvalue para aproximar los valores propios y los vectores propios asociados de las siguientes matrices.

1. \(A= \left[\begin{array}{rr} -2 & -2 \\ -8 & -2 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
2. \(A= \left[\begin{array}{rr} 0.6 & 0.7 \\ 0.5 & 0.2 \\ \end{array}\right] \text{.}\)
3. \(A= \left[\begin{array}{rrrr} 1.9 & -16.0 & -13.0 & 27.0 \\ -2.4 & 20.3 & 4.6 & -17.7 \\ -0.51 & -11.7 & -1.4 & 13.1 \\ -2.1 & 15.3 & 6.9 & -20.5 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

3

Utiliza las técnicas que hemos visto en esta sección para encontrar los valores propios de la matriz

\ begin {ecuación*} A=\ left [\ begin {array} {rrrrr} -14.6 & 9.0 & -14.1 & 5.8 & 13.0\\ 27.8 & -4.2 & 16.0 & 0.9 & -21.3\\ -5.5 & 3.4 & 3.4 & 3.3 & 1.1\\ -25.4 & 11.3 & -15.4 & 4.7 & 20.3\\ -33.7 & 14.8 & -22.5 & 9.7 & amp; 26.6\\\ end {array}\ derecha]\ text {.} \ end {ecuación*}

4

Considerar la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ -4 & 0 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

1. Describir lo que sucede si aplicamos el método de potencia y el método de potencia inversa usando el vector inicial\(\mathbf x_0 = \twovec{1}{0}\text{.}\)
2. Encuentra los valores propios de esta matriz y explica este comportamiento observado.
3. ¿Cómo podemos aplicar las técnicas de esta sección para encontrar los valores propios de\(A\text{?}\)

5

Hemos visto que la matriz\(A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right]\) tiene valores propios\(\lambda_1 = 3\)\(\lambda_2=-1\) y vectores propios asociados\(\mathbf v_1 = \twovec{1}{1}\) y\(\mathbf v_2=\twovec{-1}{1}\text{.}\)

1. Describir lo que sucede cuando aplicamos el método de potencia inversa usando el vector inicial\(\mathbf x_0 = \twovec{1}{0}\text{.}\)
2. Explique por qué sucede esto y brinde un contraste con cómo suele funcionar el método de poder.
3. ¿Cómo podemos modificar el método de poder para dar el valor propio dominante en este caso?

6

Supongamos que\(A\) es una\(2\times2\) matriz con valores propios\(4\)\(-3\) y y que\(B\) es una\(2\times2\) matriz con valores propios\(4\) y\(1\text{.}\) si aplicamos el método power para encontrar el valor propio dominante de estas matrices con el mismo grado de precisión, qué matriz requieren más pasos en el algoritmo? Explica tu respuesta.

7

Supongamos que aplicamos el método power a la matriz\(A\) con un vector inicial\(\mathbf x_0\) y encontramos el valor propio\(\lambda=3\) y el autovector\(\mathbf v\text{.}\) Supongamos que luego aplicamos el método power nuevamente con un vector inicial diferente y encontramos el mismo valor propio\(\lambda=3\) pero un vector propio diferente \(\mathbf w\text{.}\)¿Qué podemos concluir sobre la matriz\(A\) en este caso?

8

El método de poder que hemos desarrollado sólo funciona si la matriz tiene valores propios reales. Supongamos que\(A\) es una\(2\times2\) matriz que tiene un valor propio complejo\(\lambda = 2+3i\text{.}\) ¿Qué pasaría si aplicamos el método power a\(A\text{?}\)

9

Considerar la matriz\(A=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right] \text{.}\)

1. Encuentra los valores propios y los vectores propios asociados de\(A\text{.}\)
2. Hacer una predicción sobre lo que sucede si aplicamos el método power y el método de power inverso para encontrar valores propios de\(A\text{.}\)
3. Verifica tu predicción usando Sage.