1.1: Introducción a las Ecuaciones Lineales
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- ¿Cuál es uno de los hábitos molestos de los matemáticos?
- ¿Cuál es la diferencia entre constantes y coeficientes?
- ¿Puede ser un coeficiente en una ecuación lineal\(0\)?
Comenzaremos esta sección examinando un problema que probablemente ya sepas resolver.
Supongamos que un frasco contiene canicas rojas, azules y verdes. Se le dice que hay un total de 30 canicas en el frasco; hay el doble de canicas rojas que las verdes; el número de canicas azules es el mismo que la suma de las canicas rojas y verdes. ¿Cuántas canicas de cada color hay?
Solución
Podríamos intentar resolver esto con algún ensayo y error, y probablemente obtendríamos la respuesta correcta sin demasiado trabajo. Sin embargo, esto no se prestará a aprender una buena técnica para resolver problemas mayores, así que seamos más matemáticos al respecto.
Vamos a\(r\) representar el número de canicas rojas, y dejar\(b\) y\(g\) denotar el número de canicas azules y verdes, respectivamente. Podemos usar las declaraciones dadas sobre las canicas en el frasco para crear algunas ecuaciones.
Ya que sabemos que hay 30 canicas en el frasco, sabemos que\[\label{eq:rbg30}r+b+g=30. \] Además, se nos dice que hay el doble de canicas rojas que las verdes, entonces sabemos que\[\label{eq:r2g}r=2g. \] Por último, sabemos que el numero de canicas azules es el mismo que la suma de las canicas rojas y verdes, entonces tenemos\[\label{eq:brg}b = r+g. \]
A partir de esta etapa, no hay una forma “correcta” de proceder. Más bien, hay muchas formas de usar esta información para encontrar la solución. Una forma es combinar ideas a partir de ecuaciones\(\eqref{eq:r2g}\) y\(\eqref{eq:brg}\); en\(\eqref{eq:brg}\) sustitución\(r\) con\(2g\). Esto nos da\[\label{eq:b3g} b = 2g+g = 3g. \] Podemos entonces combinar ecuaciones\(\eqref{eq:rbg30}\),\(\eqref{eq:r2g}\) y\(\eqref{eq:b3g}\)\(r\) reemplazando\(\eqref{eq:rbg30}\) con\(2g\) como hicimos antes, y reemplazando\(b\) con\(3g\) para obtener\[\begin{align} r+b+g &= 30 \nonumber\\ 2g + 3g+g &=30 \nonumber \\ 6g&=30 \nonumber \\ \label{eq:g5} g&=5 \end{align} \]
Ahora podemos usar la ecuación\(\eqref{eq:g5}\) para encontrar\(r\) y\(b\); sabemos de\(\eqref{eq:r2g}\) eso\(r = 2g = 10\) y luego desde entonces\(r+b+g = 30\), lo encontramos fácilmente\(b = 15\).
Los matemáticos suelen ver soluciones a problemas dados y luego preguntan “¿Y si\(\ldots\)?” Es un hábito molesto que haríamos bien en desarrollar —deberíamos aprender a pensar como matemático. ¿Cuáles son los tipos correctos de preguntas “y pasaría si” para hacer? Aquí hay otro hábito molesto de los matemáticos: a menudo hacen preguntas “equivocadas”. Es decir, a menudo hacen preguntas y encuentran que la respuesta no es particularmente interesante. Pero hacer suficientes preguntas a menudo lleva a algunas buenas preguntas “correctas”. Así que no tengas miedo de hacer algo “mal”; nosotros los matemáticos lo hacemos todo el tiempo.
Entonces, ¿cuál es una buena pregunta para hacer después de ver Ejemplo\(\PageIndex{1}\)? Aquí hay dos posibles preguntas:
- ¿De verdad tuvimos que llamar “\(r\)” a las bolas rojas? ¿Podríamos llamarlos “\(q\)”?
- ¿Y si tuviéramos 60 bolas al inicio en lugar de 30?
Veamos la primera pregunta. ¿Cambiaría la solución a nuestro problema si llamáramos a las bolas rojas\(q\)? Por supuesto que no. Al final, lo encontraríamos\(q = 10\), y sabríamos que esto significaba que teníamos 10 bolas rojas.
Ahora veamos la segunda pregunta. Supongamos que teníamos 60 bolas, pero las otras relaciones permanecieron igual. ¿Cómo cambiaría la situación y la solución? Comparemos las ecuaciones “originales” con las “nuevas” ecuaciones.
| Original | Nuevo |
|---|---|
| \(r+b+g=30\) | \(r+b+g=60\) |
| \(r=2g\) | \(r=2g\) |
| \(b=r+g\) | \(b=r+g\) |
Mesa\(\PageIndex{1}\)
Al examinar estas ecuaciones, vemos que nada ha cambiado excepto la primera ecuación. No es demasiado tramo de imaginación ver que resolveríamos este nuevo problema exactamente de la misma manera que resolvimos el original, excepto que tendríamos el doble de cada tipo de pelota.
Una conclusión de responder a estas dos preguntas es esta: no importa cómo llamemos nuestras variables, y aunque cambiar las constantes en las ecuaciones cambia la solución, en realidad no cambian el método de cómo resolvemos estas ecuaciones.
De hecho, es un gran descubrimiento darnos cuenta de que lo único que nos importan son las constantes y los coeficientes de las ecuaciones. Al manejar sistemáticamente estos, podemos resolver cualquier conjunto de ecuaciones lineales de una manera muy agradable. Antes de continuar, primero debemos definir qué es una ecuación lineal.
Una ecuación lineal es una ecuación que se puede escribir en la forma\[a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n = c \nonumber \] donde\(x_i\) son variables (las incógnitas), los coeficientes\(a_i\) son, y\(c\) es una constante.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que involucran las mismas variables.
Una solución a un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores para las variables de\(x_i\) tal manera que cada ecuación en el sistema se satisface.
Entonces en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), cuando respondimos “¿cuántas canicas de cada color hay? ”, también estábamos respondiendo “encontrar una solución a cierto sistema de ecuaciones lineales”.
Los siguientes son ejemplos de ecuaciones lineales:
\[\begin{align}\begin{aligned} 2x+3y-7z&=29\\ x_1+\frac72x_2+x_3-x_4+17x_5&=\sqrt[3]{-10}\\ y_1+14^2y_4+4&=y_2+13-y_1\\ \sqrt{7}r+\pi s +\frac{3t}{5}&= \cos(45^\circ)\end{aligned}\end{align} \nonumber \]
Observe que los coeficientes y constantes pueden ser fracciones y números irracionales (like\(\pi\),\(\sqrt[3]{-10}\) y\(\cos(45^\circ)\)). Las variables sólo vienen en forma de\(a_ix_i\); es decir, sólo una variable multiplicada por un coeficiente. (Tenga en cuenta que\(\frac{3t}{5} = \frac35t\), sólo una variable multiplicada por un coeficiente.) Además, realmente no importa de qué lado de la ecuación pongamos las variables y las constantes, aunque la mayoría de las veces las escribimos con las variables de la izquierda y las constantes a la derecha.
No consideraríamos que la colección de ecuaciones anterior constituyera un sistema de ecuaciones, ya que cada ecuación utiliza variables con diferentes nombres. Un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales es\[\begin{align}\begin{aligned} x_1-x_2+x_3+x_4&=1\\ 2x_1+3x_2+x_4 &= 25\\ x_2+x_3&=10\end{aligned}\end{align} \nonumber \]
Es importante notar que no todas las ecuaciones utilizaron todas las variables (es más exacto decir que los coeficientes pueden ser 0, por lo que la última ecuación podría haberse escrito como\(0x_1+x_2+x_3+0x_4 = 10\)). Además, el hecho de que tengamos cuatro incógnitas no significa que tengamos que tener cuatro ecuaciones. Podríamos haber tenido menos, incluso solo uno, y podríamos haber tenido más.
Para tener una mejor idea de lo que es una ecuación lineal, señalamos algunos ejemplos de lo que no son ecuaciones lineales.
\[\begin{align}\begin{aligned} 2xy+z&=1\\ 5x^2+2y^5&=100\\ \frac1x+\sqrt{y}+24z&=3\\ \sin^2x_1+\cos^2x_2 &= 29\\ 2^{x_1} + \ln x_2 &= 13\end{aligned}\end{align} \nonumber \]
El primer ejemplo no es una ecuación lineal ya que las variables\(x\) y\(y\) se multiplican juntas. La segunda no es una ecuación lineal porque las variables se elevan a potencias distintas a 1; eso también es un problema en la tercera ecuación (recuerda eso\(1/x = x^{-1}\) y\(\sqrt{x} = x^{1/2}\)). Nuestras variables no pueden ser el argumento de la función como\(\sin\)\(\ln\),\(\cos\) ni tampoco nuestras variables pueden ser levantadas como exponentes.
En esta etapa, todavía tenemos que discutir cómo encontrar de manera eficiente una solución a un sistema de ecuaciones lineales. Ese es un objetivo para las próximas secciones. En este momento nos enfocamos en identificar ecuaciones lineales. También es útil “agilizar” resolviendo algunos sistemas de ecuaciones utilizando cualquier método que tengamos a mano para refrescar nuestra memoria sobre el proceso básico.