1.5: Aplicaciones de Sistemas Lineales
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- ¿Cómo aparecen la mayoría de los problemas “en el mundo real”?
- Las incógnitas en un problema también se llaman ¿qué?
- ¿Cuántos puntos se necesitan para determinar los coeficientes de un polinomio de 5to grado?
Hemos iniciado este capítulo abordando el tema de encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineales. En secciones posteriores, definimos matrices para almacenar información de ecuaciones lineales; describimos cómo podemos manipular matrices sin cambiar las soluciones; describimos cómo manipular matrices de manera eficiente para que se pueda encontrar fácilmente una solución de trabajo.
No debemos perder de vista que nuestro trabajo en las secciones anteriores estuvo dirigido a encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales. En esta sección, aprenderemos a aplicar lo que hemos aprendido para resolver realmente algunos problemas.
Muchos, muchos, muchos problemas que son abordados por ingenieros, empresarios, científicos y matemáticos se pueden resolver configurando adecuadamente sistemas de ecuaciones lineales. En esta sección destacamos solo algunos de la amplia variedad de problemas que el álgebra matricial puede ayudarnos a resolver.
Empezamos con un ejemplo sencillo.
Un frasco contiene canicas\(100\) azules, verdes, rojas y amarillas. Hay el doble de mármoles amarillos que azules; hay\(10\) más canicas azules que rojas; la suma de los mármoles rojos y amarillos es la misma que la suma del azul y el verde. ¿Cuántas canicas de cada color hay?
Solución
Llamemos al número de bolas azules\(b\), y al número de las otras bolas\(g\),\(r\) y\(y\), cada una representando lo obvio. Ya que sabemos que tenemos 100 canicas, tenemos la ecuación\[b+g+r+y=100. \nonumber \] La siguiente oración en nuestra declaración de problemas nos permite crear tres ecuaciones más.
Nos dicen que hay el doble de mármoles amarillos que azules. Una de las dos ecuaciones siguientes es correcta, con base en esta afirmación; ¿cuál es? \[2y=b \quad\quad \text{or} \quad\quad2b=y \nonumber \]
La primera ecuación dice que si tomamos el número de mármoles amarillos, entonces lo doblamos, tendremos el número de canicas azules. Eso no es lo que nos dijeron. La segunda ecuación establece que si tomamos el número de canicas azules, entonces lo duplicamos, tendremos el número de mármoles amarillos. Esto es lo que nos dijeron.
El siguiente enunciado de “hay 10 canicas azules más como rojas” se puede escribir como cualquiera ¿\[b=r+10 \quad\quad \text{or} \quad\quad r=b+10. \nonumber \]Cuál es?
La primera ecuación dice que si tomamos el número de canicas rojas, luego sumamos 10, tendremos el número de canicas azules. Esto es lo que nos dijeron. La siguiente ecuación es incorrecta; implica que hay más canicas rojas que azules.
El enunciado final nos dice que la suma de los mármoles rojos y amarillos es la misma que la suma de los mármoles azules y verdes, dándonos la ecuación\[r+y=b+g. \nonumber \]
Tenemos cuatro ecuaciones; en conjunto, son\[\begin{align}\begin{aligned} b+g+r+y&= 100\\ 2b&=y\\ b&=r+10\\ r+y&=b+g.\\ \end{aligned}\end{align} \nonumber \]
Queremos escribir estas ecuaciones de manera estándar, con todas las incógnitas a la izquierda y las constantes a la derecha. Escribirlos también para que las variables aparezcan en el mismo orden en cada ecuación (usaremos el orden alfabético para hacerlo simple). Ahora tenemos\[\begin{align}\begin{aligned} b+g+r+y&=100\\2b-y&=0\\b-r&=10\\-b-g+r+y&=0\\ \end{aligned}\end{align} \nonumber \]
Para encontrar la solución, formemos la matriz aumentada apropiada y pongamos en forma de escalón de fila reducida. Lo hacemos aquí, sin mostrar los pasos.
\[\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{1}&{1}&{1}&{100}\\{2}&{0}&{0}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{-1}&{0}&{10}\\{-1}&{-1}&{1}&{1}&{0}\end{array}\right]\qquad\overrightarrow{\text{rref}}\qquad\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{0}&{0}&{0}&{20}\\{0}&{1}&{0}&{0}&{30}\\{0}&{0}&{1}&{0}&{10}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{40}\end{array}\right] \nonumber \]
Interpretamos a partir de la forma escalonada de fila reducida de la matriz que tenemos 20 canicas azules, 30 verdes, 10 rojas y 40 amarillas.
Aunque tuvieras un poco de dificultad con el ejemplo anterior, en realidad, este tipo de problemas es bastante sencillo. Las incógnitas eran fáciles de identificar, las ecuaciones eran bastante sencillas de escribir (quizás un poco complicadas para algunos), y solo se dio la información necesaria.
La mayoría de los problemas que enfrentamos en el mundo no nos acercan de esta manera; la mayoría de los problemas no se acercan a nosotros en forma de “Aquí hay una ecuación. Resuélvala”. Más bien, la mayoría de los problemas vienen en la forma de:
Aquí hay un problema. Quiero la solución. Para ayudar, aquí hay mucha información. Puede que sea suficiente; puede ser demasiado; puede que no sea suficiente. Enfréntate lo que necesitas; solo dame la solución.
Ante este tipo de problemas, ¿cómo procedemos? Como gran parte de lo que hemos hecho en el pasado, no hay una sola manera “correcta”. No obstante, hay algunos pasos que nos pueden guiar. No tienes que seguir estos pasos, “paso a paso”, pero si encuentras que estás teniendo dificultades para resolver un problema, trabajar en estos pasos puede ayudar.
Si bien los principios aquí descritos ayudarán a uno a resolver cualquier tipo de problema, estos pasos están escritos específicamente para resolver problemas que involucran solo ecuaciones lineales.
- Entender el problema. ¿Qué es exactamente lo que se está preguntando?
- Identificar las incógnitas. ¿Qué estás tratando de encontrar? ¿Qué unidades están involucradas?
- Dale nombres a tus incógnitas (estas son tus variables).
- Usa la información dada para escribir tantas ecuaciones como puedas que involucren estas variables.
- Usa las ecuaciones para formar una matriz aumentada; usa la eliminación gaussiana para poner la matriz en forma de escalón de fila reducida.
- Interpretar la forma de escalón de fila reducida de la matriz para identificar el soluon.
- Asegurar que la solución tenga sentido en el contexto del problema.
Habiendo identificado algunos pasos, pongámoslos en práctica con algunos ejemplos.
Una sala de conciertos tiene asientos dispuestos en tres secciones. Como parte de una promoción especial, los invitados recibirán dos de tres premios. Los invitados sentados en las secciones primera y segunda recibirán el Premio A, los invitados sentados en las secciones segunda y tercera recibirán el Premio B, y los invitados sentados en las secciones primera y tercera recibirán el Premio C. Los promotores de conciertos informaron a los gerentes de la sala de conciertos sobre sus planes, y preguntaron cuántos asientos había en cada una sección. (Los promotores quieren almacenar los premios para cada sección por separado para facilitar su distribución). Los directivos, pensando que estaban siendo de ayuda, dijeron a los promotores que necesitarían premios\(105\) A, premios\(103\) B y premios\(88\) C, y desde entonces no han estado disponibles para obtener más ayuda. ¿Cuántos asientos hay en cada sección?
Solución
Antes de que nos precipitemos y empecemos a hacer ecuaciones, debemos tener claro lo que se está pidiendo. La frase final pregunta: “¿Cuántos escaños hay en cada sección?” Esto nos dice cuáles deben ser nuestras incógnitas: debemos nombrar nuestras incógnitas por el número de asientos en cada sección. Dejar\(x_1\),\(x_2\) y\(x_3\) denotar el número de escaños en las secciones primera, segunda y tercera, respectivamente. Esto abarca los dos primeros pasos de nuestra técnica general de resolución de problemas.
(Es tentador, quizás, nombrar nuestras variables por el número de premios entregados. No obstante, cuando pensamos más en esto, nos damos cuenta de que ya sabemos esto —esa información se nos da. Más bien, deberíamos nombrar nuestras variables para las cosas que no sabemos.)
Teniendo nuestras incógnitas identificadas y las variables nombradas, ahora procedemos a formar ecuaciones a partir de la información dada. Saber que el Premio A va a los invitados en la primera y segunda sección y que necesitaremos 105 de estos premios nos dice\[x_1+x_2 = 105. \nonumber \] Procediendo de manera similar, obtenemos dos ecuaciones más,\[x_2+x_3 = 103\quad\text{ and }\quad x_1+x_3 = 88. \nonumber \] Así nuestro sistema lineal es\[\begin{array}{rcl}x_1+x_2&=&105\\x_2+x_3&=&103\\x_1+x_3&=&88\\ \end{array} \nonumber \] y la matriz aumentada correspondiente es
\[\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{0}&{105}\\{0}&{1}&{1}&{103}\\{1}&{0}&{1}&{88}\end{array}\right] \nonumber \]
Para resolver nuestro sistema, pongamos esta matriz en forma de escalón de fila reducida.
\[\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{0}&{105}\\{0}&{1}&{1}&{103}\\{1}&{0}&{1}&{88}\end{array}\right]\qquad\overrightarrow{\text{rref}}\qquad\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{45}\\{0}&{1}&{0}&{60}\\{0}&{0}&{1}&{43}\end{array}\right] \nonumber \]
Ya podemos leer nuestra solución. El primer tramo tiene 45 asientos, el segundo tiene 60 asientos y el tercero tiene 43 asientos.
Una señora realiza un viaje en bote motorizado de 2 millas por el río Highwater, sabiendo que el viaje tomará 30 minutos. Ella le pregunta al piloto de barco “¿Qué tan rápido fluye este río?” Él responde “No tengo idea, señora. Yo solo conduzco el bote”.
Ella piensa por un momento, luego pregunta “¿Cuánto dura el viaje de regreso?” Él responde “Lo mismo; media hora”. Ella da seguimiento con el comunicado, “Ya que ambas piernas toman el mismo Me, no se debe conducir el bote a la misma velocidad”.
“Naw”, dijo el piloto. “Si bien realmente no sé exactamente qué tan rápido voy, sí sé que como no llevamos turistas, conduzco el barco el doble de rápido”.
La señora se aleja satisfecha; sabe lo rápido que fluye el río.
(¿Qué tan rápido fluye?)
Solución
Este problema nos obliga a pensar qué información se da y cómo usarla para encontrar lo que queremos saber. De hecho, para encontrar la solución, ¡encontraremos información extra que no nos pidieron!
Se nos pide que encontremos qué tan rápido se mueve el río (paso 1). Para encontrar esto, debemos reconocer que, en cierto sentido, hay tres velocidades en funcionamiento en los viajes en barco: la velocidad del río (que queremos encontrar), la velocidad de la embarcación y la velocidad a la que realmente viajan.
Sabemos que cada tramo del viaje dura media hora; si toma media hora cubrir 2 millas, entonces deben estar viajando a 4 mph, por trayecto.
Las otras dos velocidades son incógnitas, pero están relacionadas con las velocidades generales. Llamemos a la velocidad del río\(r\) y a la velocidad de la lancha\(b\). (Y debemos tener cuidado. Por la conversación, sabemos que el barco viaja a dos velocidades distintas. Entonces diremos que\(b\) representa la velocidad de la embarcación cuando viaja río abajo, por lo que\(2b\) representa la velocidad de la embarcación cuando viaja aguas arriba). Dejemos que nuestra velocidad se mida en las unidades de millas/hora (mph) como usamos anteriormente (pasos 2 y 3).
¿Cuál es la tasa de la gente en el barco? Cuando viajan aguas abajo, su tasa es la suma de la velocidad del agua y la velocidad de la embarcación. Dado que su velocidad general es de 4 mph, tenemos la ecuación\(r+b=4\).
Cuando la embarcación regresa yendo contra la corriente, su velocidad general es la tasa de la embarcación menos la tasa del río (ya que el río está trabajando contra la embarcación). El viaje general todavía se realiza a 4 mph, así que tenemos la ecuación\(2b-r=4\). (Recordemos: el barco viaja dos veces más rápido que antes.)
La matriz aumentada correspondiente es
\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{4}\\{2}&{-1}&{4}\end{array}\right] \nonumber \]
Tenga en cuenta que decidimos dejar que la primera columna contenga los coeficientes de\(b\).
Poner esta matriz en forma de escalón de fila reducida nos da:
\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{4}\\{2}&{-1}&{4}\end{array}\right]\qquad\overrightarrow{\text{rref}}\qquad\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{8/3}\\{0}&{1}&{4/3}\end{array}\right] \nonumber \]
Terminamos interpretando esta solución: la velocidad de la embarcación (que va aguas abajo) es de 8/3 mph, o\(2.\overline{6}\) mph, y la velocidad del río es 4/3 mph, o\(1.\overline{3}\) mph. Todo lo que realmente queríamos saber era la velocidad del río, a unos 1.3 mph.
Encuentra la ecuación de la función cuadrática que pasa por los puntos\((−1,\: 6)\),\((1,\: 2)\) y\((2,\: 3)\).
Solución
Esto puede no parecer un problema “lineal” ya que estamos hablando de una función cuadrática, pero un examen más detallado demostrará que realmente lo es.
Normalmente escribimos funciones cuadráticas como\(y=ax^2+bx+c\) dónde\(a\),\(b\) y\(c\) son los coeficientes; en este caso, son nuestras incógnitas. Tenemos tres puntos; consideremos el punto\((-1,6)\). Esto nos dice directamente que si\(x=-1\), entonces\(y=6\). Por lo tanto, eso lo sabemos\(6=a(-1)^2+b(-1)+c\). Escribiendo esto en una forma más estándar, tenemos la ecuación lineal\[a - b+c=6. \nonumber \]
El segundo punto nos dice eso\(a(1)^2+b(1)+c = 2\), que podemos simplificar como\(a+b+c=2\), y el último punto nos dice\(a(2)^2+b(2)+c = 3\), o\(4a+2b+c=3\). Así nuestro sistema lineal es\[\begin{array}{rcl} a-b+c&=&6\\ a+b+c&=&2\\ 4a+2b+c&=&3.\\ \end{array} \nonumber \]
Nuevamente, para resolver nuestro sistema, encontramos la forma de escalón de fila reducida de la matriz aumentada correspondiente. Aquí no mostramos los pasos, solo el resultado final.
\[\left[\begin{array}{cccc}{1}&{-1}&{1}&{6}\\{1}&{1}&{1}&{2}\\{4}&{2}&{1}&{3}\end{array}\right]\qquad\overrightarrow{\text{rref}}\qquad\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}&{-2}\\{0}&{0}&{1}&{3}\end{array}\right] \nonumber \]
Esto nos dice eso\(a=1\),\(b=-2\) y\(c=3\), dándonos la función cuadrática\(y=x^2-2x+3\).
Una cosa interesante del ejemplo anterior es que nos confirma algo que quizás hayamos sabido desde hace tiempo (pero no sabíamos por qué era cierto). ¿Por qué necesitamos dos puntos para encontrar la ecuación de la línea? Porque en la ecuación de la línea a, tenemos dos incógnitas, y por lo tanto necesitaremos dos ecuaciones para encontrar valores para estas incógnitas.
Una cuadrática tiene tres incógnitas (los coeficientes del\(x^2\) término y el\(x\) término, y la constante). Por lo tanto necesitaremos tres ecuaciones, y por lo tanto necesitaremos tres puntos.
¿Qué pasa si tratamos de encontrar la función cuadrática que pasa por 3 puntos que están todos en la misma línea? La respuesta rápida es que obtendrás la ecuación de una línea; no hay una función cuadrática que pase por 3 puntos colineales. ¡Pruébalo y mira! (Elige puntos fáciles, como\((0,0)\),\((1,1)\) y\((2,2)\). Encontrarás que el coeficiente del\(x^2\) término es 0.)
Por supuesto, podemos hacer el mismo tipo de cosas para encontrar polinomios que pasen por 4, 5, etc., puntos. En general, si se le dan\(n+1\) puntos, un polinomio que pase por todos los\(n+1\) puntos tendrá grado como máximo\(n\).
Una mujer tiene 32 billetes de $1, $5 y $10 en su bolso, lo que le da un total de $100. ¿Cuántos billetes de cada denominación tiene?
Solución
Nombremos nuestras incógnitas\(x\),\(y\) y\(z\) para las nuestras, cincos y decenas, respectivamente (es tentador llamarlas\(o\),\(f\) y\(t\), pero\(o\) se parece demasiado a 0). Sabemos que hay un total de 32 billetes, entonces tenemos la ecuación También\[x+y+z = 32. \nonumber \] sabemos que tenemos 100 dólares, entonces tenemos la ecuación\[x+5y+10z = 100. \nonumber \] Tenemos tres incógnitas pero sólo dos ecuaciones, entonces sabemos que no podemos esperar una solución única. Tratemos de resolver este sistema de todos modos y veamos qué obtenemos.
Poniendo el sistema en una matriz y luego encontrando la forma de escalón de fila reducida, tenemos
\[\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{32}\\{1}&{5}&{10}&{100}\end{array}\right]\qquad\overrightarrow{\text{rref}}\qquad\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{-\frac{5}{4}}&{15}\\{0}&{1}&{\frac{9}{4}}&{17}\end{array}\right] \nonumber \]
Al leer de nuestra matriz reducida, tenemos el conjunto de soluciones infinitas\[\begin{align}\begin{aligned} x &=15+\frac54z\\ y&=17 - \frac94z\\ z & \text{ is free.}\end{aligned}\end{align} \nonumber \]
Si bien tenemos infinitas soluciones, la mayoría de estas soluciones realmente no tienen sentido en el contexto de este problema. (\(z = \frac12\)El ajuste no tiene sentido, por tener medio billete de diez dólares no nos da $5. De igual manera, tener\(z = 8\) no tiene sentido, pues entonces tendríamos billetes de “\(-1\)” $5.) Por lo que debemos asegurarnos de que nuestra elección de\(z\) no nos dé fracciones de billetes ni montos negativos de billetes.
Para evitar fracciones,\(z\) debe ser un múltiplo de 4 (\(-4, 0, 4, 8, \ldots\)). Por supuesto,\(z\geq 0\) para un número negativo no tendría sentido. Si\(z = 0\), entonces tenemos 15 billetes de un dólar y 17 billetes de cinco dólares, dándonos $100. Si\(z = 4\), entonces tenemos\(x = 20\) y\(y = 8\). Ya mencionamos que\(z=8\) no tiene sentido, ni tampoco tiene ningún valor de\(z\) dónde\(z\geq 8\).
Entonces parece que tenemos dos respuestas; una con\(z=0\) y otra con\(z=4\). Por supuesto, por la declaración del problema, se nos hace creer que la señora tiene al menos un billete de $10, así que probablemente la “mejor” respuesta es que tenemos 20 billetes de $1, 8 billetes de 5 dólares y 4 billetes de $10. El verdadero objetivo de este ejemplo, sin embargo, es abordar cómo pueden aparecer infinitas soluciones en una situación del mundo real, y cómo pueden resultar las cosas suprimentes.
En un partido de futbol, los equipos pueden sumar puntos a través de touchdowns por valor de 6 puntos, puntos extra (que siguen a touchdowns) por valor de 1 punto, dos conversiones de puntos (que también siguen touchdowns) por valor de 2 puntos y goles de campo, por valor de 3 puntos. Se le dice que en un partido de futbol, los dos equipos competidores anotaron en 7 ocasiones, dando una puntuación total de 24 puntos. A cada touchdown le siguió un punto extra exitoso o una conversión de dos puntos. ¿De qué manera se obtuvieron estos puntos?
Solución
La pregunta pregunta cómo se anotaron los puntos; podemos interpretar esto como preguntar cuántos touchdowns, puntos extra, dos conversiones de puntos y goles de campo se anotaron. Tendremos que asignar nombres de variables a nuestras incógnitas; vamos a\(t\) representar el número de t ouchdowns anotados; let\(x\) representar el número de e x tra puntos anotados, dejar\(w\) representar el número de t w o conversiones de puntos, y vamos a\(f\) representar el número de goles de f ield anotados.
Ahora abordamos el tema de escribir ecuaciones con estas variables utilizando la información dada. Ya que tenemos un total de 7 ocasiones de anotación, sabemos que\[t+x+w+f=7. \nonumber \] El total de puntos anotados es de 24; considerando el valor de cada tipo de oportunidad de anotación, podemos escribir la ecuación\[6t+x+2w+3f = 24. \nonumber \] Finalmente, sabemos que a cada touchdown le siguió un punto extra exitoso o conversión de dos puntos. Esto es sutil, pero nos dice que el número de touchdowns es igual a la suma de puntos extra y dos conversiones de puntos. En otras palabras,\[t = x+w. \nonumber \]
Para resolver nuestro problema, colocamos estas ecuaciones en una matriz y colocamos la matriz en forma de escalón de fila reducida. Al hacerlo, encontramos
\[\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{1}&{1}&{1}&{7}\\{6}&{1}&{2}&{3}&{24}\\{1}&{-1}&{-1}&{0}&{0}\end{array}\right]\qquad\overrightarrow{\text{rref}}\qquad\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{0}&{0}&{0.5}&{3.5}\\{0}&{1}&{0}&{1}&{4}\\{0}&{0}&{1}&{-0.5}&{-0.5}\end{array}\right] \nonumber \]
Por lo tanto,\[\begin{align}\begin{aligned} t &=3.5-0.5f\\ x&=4-f\\ w&=-0.5+0.5f. \\ \end{aligned}\end{align} \nonumber \] sabemos que Reconocemos que esto significa que hay “soluciones infinitas”, pero claro que la mayoría de estas no tendrán sentido en el contexto de un verdadero partido de fútbol. Debemos aplicar alguna lógica para darle sentido a la situación.
Progresando en ningún orden en particular, considere la segunda ecuación,\(x = 4-f\). Para que podamos tener un número positivo de puntos extra, debemos tener\(f\leq 4\). (Y por supuesto, necesitamos\(f\geq 0\), también.) Por lo tanto, de inmediato sabemos que tenemos un total de sólo 5 posibilidades, donde\(f = 0\),\(1\),\(2\),\(3\) o\(4\).
A partir de la primera y tercera ecuaciones, vemos que si\(f\) es un número par, entonces\(t\) y ambas\(w\) serán fracciones (por ejemplo, si\(f=0\), entonces\(t = 3.5\)) lo que no tiene sentido. Por lo tanto, nos quedamos abajo a dos posibles soluciones,\(f = 1\) y\(f=3\).
Si\(f=1\), tenemos 3 touchdowns, 3 puntos extra, no hay dos conversiones de puntos, y (por supuesto), 1 gol de campo. (¡Verifica para asegurarte de que da 24 puntos!) Si\(f=3\), entonces tenemos 2 touchdowns, 1 punto extra, 1 conversión de dos puntos, y (por supuesto) 3 goles de campo. Nuevamente, verifique para asegurarse de que esto nos da 24 puntos. Además, debemos verificar cada solución para asegurarnos de que tenemos un total de 7 ocasiones de anotación y que cada touchdown podría ir seguido de un punto extra o una conversión de dos puntos.
Hemos visto una variedad de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales. Haríamos bien en recordarnos las formas en que vienen las soluciones a los sistemas lineales: puede haber exactamente una solución, soluciones infinitas, o ninguna solución. Si bien sí vimos algunos ejemplos en los que parecía que solo teníamos 2 soluciones, esto se debió a que estábamos restringiendo nuestras soluciones para que “tuvieran sentido” dentro de un contexto determinado.
También debemos recordarnos que las ecuaciones lineales son inmensamente importantes. Los ejemplos que consideramos aquí hacen preguntas fundamentalmente simples como “¿Qué tan rápido se mueve el agua?” o “¿Cuál es la función cuadrática que pasa por estos tres puntos?” o “¿Cómo se anotaron los puntos en un partido de fútbol?” ¡Las situaciones “importantes” reales hacen preguntas mucho más difíciles que muchas veces requieren miles de ecuaciones! (Gauss inició el estudio sistemático de resolver sistemas de ecuaciones lineales mientras intentaba predecir el siguiente avistamiento de un cometa; necesitaba resolver un sistema de ecuaciones lineales que tuviera 17 incógnitas. Hoy en día, esta es una situación relativamente fácil de manejar con la ayuda de computadoras, pero hacerlo a mano es un verdadero dolor). Una vez que entendemos los fundamentos de la resolución de sistemas de ecuaciones, podemos pasar a considerar la resolución de sistemas de ecuaciones más grandes; este texto se enfoca en hacernos entender los fundamentos.