1.5.1: Ejercicios 1.5

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En Ejercicios$\PageIndex{1}$ -$\PageIndex{5}$, encuentra la solución del problema dado por:

crear un sistema apropiado de ecuaciones lineales
formando la matriz aumentada que corresponde a este sistema
poner la matriz aumentada en forma de escalón de fila reducida
interpretar la forma de escalón de fila reducida de la matriz como una solución

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Un granjero mira por su ventana a sus gallinas y cerdos. Le dice a su hija que ve 62 cabezas y 190 piernas. ¿Cuántos pollos y cerdos tiene el granjero?

Contestar: 29 pollos y 33 cerdos

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Una señora compra 20 baratijas en una venta de patio. El costo de cada baratija es de $0.30 o $0.65. Si gasta 8.80 dólares, ¿cuántos de cada tipo de baratija compra?

Contestar: 12 $0.30 baratijas, 8 $0.65 baratijas

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Un carpintero puede hacer dos tamaños de mesa, grande y venti. La mesa grande requiere 4 patas de mesa y 1 tablero de mesa; el venti requiere 6 patas de mesa y 2 tapas de mesa. Después de hacer el trabajo, cuenta refacciones en su almacén y se da cuenta de que le sobran 86 mesas, y 300 patas. ¿Cuántas mesas de cada tipo puede construir y usar exactamente todos sus materiales?

Contestar: 42 mesas grandes, 22 mesas venti

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Un frasco contiene 100 canicas. Sabemos que hay el doble de mármoles verdes que rojos; que el número de canicas azules y amarillas juntas es el mismo que el número de canicas verdes; y que tres veces el número de canicas amarillas junto con las canicas rojas da los mismos números que las canicas azules. ¿Cuántos de cada color de mármol hay en el frasco?

Contestar: 35 azules, 40 verdes, 20 rojos, 5 amarillos

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Una misión de rescate cuenta con 85 sándwiches, 65 bolsas de papas fritas y 210 galletas. Saben por experiencia que los hombres comerán 2 sándwiches, 1 bolsa de papas fritas y 4 galletas; las mujeres comerán 1 sándwich, una bolsa de papas fritas y 2 galletas; los niños comerán media arena, una bolsa de papas fritas y 3 galletas. Si quieren usar toda su comida arriba, ¿a cuántos hombres, mujeres y niños pueden alimentar?

Contestar: 30 hombres, 15 mujeres, 20 niños

En Ejercicios$\PageIndex{6}$ -$\PageIndex{15}$, encuentra el polinomio con el grado más pequeño que pasa por los puntos dados.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$(1,3)$ and $(3,15)$

Contestar: $f(x) = 6x-3$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$(-2,14)$ and $(3,4)$

Contestar: $f(x) = -2x+10$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$(1,5)$, $(-1,3)$ and $(3,-1)$

Contestar: $f(x) = -x^2+x+5$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$(-4,-3)$, $(0,1)$ and $(1,4.5)$

Contestar: $f(x) = \frac12x^2+3x+1$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$(-1,-8)$, $(1,-2)$ and $(3,4)$

Contestar: $f(x) = 3x-5$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$(-3,3)$, $(1,3)$ and $(2,3)$

Contestar: $f(x) = 3$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$(-2,15)$, $(-1,4)$, $(1,0)$ and $(2,-5)$

Contestar: $f(x) = -x^3+x^2-x+1$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$(-2,-7)$, $(1,2)$, $(2,9)$ and $(3,28)$

Contestar: $f(x) = x^3+1$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$(-3,10)$, $(-1,2)$, $(1,2)$ and $(2,5)$

Contestar: $f(x) = x^2+1$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$(0,1)$, $(-3,-3.5)$, $(-2,-2)$ and $(4,7)$

Contestar: $f(x) = \frac32x+1$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

La función exponencial general tiene la forma$f(x)= ae^{bx}$, donde$a$ y$b$ son constantes y$e$ es la constante de Euler ($\approx$2.718). Queremos encontrar la ecuación de la función exponencial que pasa por los puntos$(1,2)$ y$(2,4)$.

Mostrar por qué no podemos simplemente sustituir en valores para$x$ y$y$ en$y = ae^{bx}$ y resolver usando las técnicas que utilizamos para polinomios.
Mostrar cómo la igualdad nos$y = ae^{bx}$ lleva a la ecuación lineal$\ln y = \ln a + bx$.
Utilizar las técnicas que desarrollamos para resolver por las incógnitas$\ln a$ y$b$.
Conocer$\ln a$, encontrar$a$; encontrar la función exponencial$f(x) = ae^{bx}$ que pasa por los puntos$(1,2)$ y$(2,4)$.

Contestar

La sustitución produce las ecuaciones$2 = ae^{b}$ y$4 = ae^{2b}$; estas no son ecuaciones lineales.
$y=ae^{bx}$implica eso$\ln y = \ln (ae^{bx}) = \ln a + \ln e^{bx} = \ln a + bx$.
Conectando los puntos para$x$ y$y$ en la ecuación$\ln y = \ln a + bx$, tenemos ecuaciones\[\begin{array}{ccccc} \ln a & + & b & = & \ln 2 \\ \ln a & + & 2b & = & \ln 4\\ \end{array}. \nonumber \] Para resolver,
\[\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{\ln 2}\\{1}&{2}&{\ln 4}\end{array}\right]\qquad\overrightarrow{\text{rref}}\qquad\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{\ln 2}\end{array}\right] \nonumber \] Por lo tanto$\ln a = 0$ y$b = \ln 2$.
Ya que$\ln a = 0$, eso lo sabemos$a = e^0 = 1$. Así es nuestra función exponencial$f(x) = e^{x\ln 2}$.

Ejercicio$\PageIndex{17}$

En un partido de futbol, se anotan 24 puntos de 8 ocasiones anotadoras. El número de patadas de puntos extra exitosas es igual al número de conversiones exitosas de dos puntos. Encuentra todas las formas en que los puntos pueden haber sido anotados en este juego.

Contestar: La matriz aumentada de este sistema es$\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{1}&{1}&{1}&{8}\\{6}&{1}&{2}&{3}&{24}\\{0}&{1}&{-1}&{0}&{0}\end{array}\right]$ From this we find the solution \[\begin{align}\begin{aligned} t&=\frac83-\frac13f\\ x&=\frac83-\frac13f\\ w&=\frac83-\frac13f.\end{aligned}\end{align} \nonumber \] La única vez que cada una de estas variables son enteros no negativos es cuando$f=2$ o$f=8$. Si$f=2$, entonces tenemos 2 touchdowns, 2 puntos extra y 2 conversiones de dos puntos (y 2 goles de campo); esto no tiene sentido ya que los puntos extra y las conversiones de dos puntos siguen a los touchdowns. Si$f=8$, entonces no tenemos touchdowns, puntos extra o conversiones de dos puntos (solo 8 goles de campo). Esta es la única solución; todos los puntos se anotaron a partir de goles de campo.

Ejercicio$\PageIndex{18}$

En un partido de futbol, se anotan 29 puntos de 8 ocasiones anotadoras. Hay 2 patadas de puntos extra más exitosas que conversiones exitosas de dos puntos. Encuentra todas las formas en que los puntos pueden haber sido anotados en este juego.

Contestar: La matriz aumentada de este sistema es$\left[\begin{array}{ccccc}{1}&{1}&{1}&{1}&{8}\\{6}&{1}&{2}&{3}&{29}\\{0}&{1}&{-1}&{0}&{2}\end{array}\right]$. A partir de esto encontramos la solución\[\begin{align}\begin{aligned} t&=4-\frac13f\\ x&=3-\frac13f\\ w&=1-\frac13f.\end{aligned}\end{align} \nonumber \] La única vez que cada una de estas variables son enteros no negativos es cuando$f=0$ o$f=3$. Si$f=0$, entonces tenemos 4 touchdowns, 3 puntos extra y 1 conversiones de dos puntos (sin goles de campo). Si$f=3$, entonces tenemos 3 touchdowns, 2 puntos extra y no hay dos conversiones de puntos (y 3 goles de campo).

Ejercicio$\PageIndex{19}$

En un juego de basquetbol, donde los puntos se anotan ya sea por un tiro de 3 puntos, un tiro de 2 puntos o un tiro libre de 1 punto, se anotaron 80 puntos de 30 tiros exitosos. Encuentra todas las formas en que los puntos pueden haber sido anotados en este juego.

Contestar: Que$x_1$, $x_2$ and $x_3$ represent the number of free throws, 2 point and 3 point shots taken. The augmented matrix from this system is $\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{30}\\{1}&{2}&{3}&{80}\end{array}\right]$. F rom esto encontremos\[\begin{align}\begin{aligned} x_1&=-20+x_3\\ x_2&=50-2x_3.\end{aligned}\end{align} \nonumber \] la solución Para$x_2$ que$x_1$ y no sea negativo, necesitamos$20\leq x_3\leq 25$. De esta manera hay 6 escenarios diferentes: el “primero” es donde se realizan 20 tiros de tres puntos, no hay tiros libres, y 10 tiros de dos puntos; el “último” es donde se realizan 25 tiros de tres puntos, 5 tiros libres, y no dos tiros puntuales.

Ejercicio$\PageIndex{20}$

En un juego de basquetbol, donde los puntos se anotan ya sea por un tiro de 3 puntos, un tiro de 2 puntos o un tiro libre de 1 punto, se anotaron 110 puntos de 70 tiros exitosos. Encuentra todas las formas en que los puntos pueden haber sido anotados en este juego.

Contestar: Que$x_1$, $x_2$ and $x_3$ represent the number of free throws, 2 point and 3 point shots taken. The augmented matrix from this system is $\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{70}\\{1}&{2}&{3}&{110}\end{array}\right]$. From this we find the solution \[\begin{align}\begin{aligned} x_1&=30+x_3\\ x_2&=40-2x_3.\end{aligned}\end{align} \nonumber \]$x_2$ Para que no sea negativo, necesitamos$x_3\leq 20$. Así hay 21 escenarios diferentes: el “primero” es donde se realizan 0 tiros de tres puntos ($x_3=0$, 30 tiros libres y 40 tiros de dos puntos; el “último” es donde se realizan 20 tiros de tres puntos, 50 tiros libres, y no dos tiros puntuales.

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Describir las ecuaciones de las funciones lineales que pasan por el punto (1,3). Dar 2 ejemplos.

Contestar: Let$y = ax+b$; all linear functions through (1,3) come in the form $y = (3-b)x+b$. Examples: $b=0$ yields $y = 3x$; $b=2$ yields $y=x+2$.

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Describir las ecuaciones de las funciones lineales que pasan por el punto (2,5). Dar 2 ejemplos.

Contestar: Let$y = ax+b$; all linear functions through (2,5) come in the form $y = (2.5-\frac12b)x+b$. Examples: $b=1$ yields $y = 2x+1$; $b=-1$ yields $y=3x-1$.

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Describir las ecuaciones de las funciones cuadráticas que pasan por los puntos$(2,-1)$ and (1,0). Give 2 examples.

Contestar: Let$y = ax^2+bx+c$; we find that $a = -\frac12+\frac12 c$ and $b = \frac12-\frac32c$. Examples: $c=1$ yields $y = -x+1$; $c=3$ yields $y=x^2-4x+3$.

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Describir las ecuaciones de las funciones cuadráticas que pasan por los puntos$(-1,3)$ and (2,6). Give 2 examples.

Contestar: Let$y = ax^2+bx+c$; we find that $a = 2-\frac12 c$ and $b = -1+\frac12c$. Examples: $c=0$ yields $y = 2x^2-x$; $c=-2$ yields $y=3x^2-2x-2$.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)